Luyện tập 3 trang 90 Toán 10 Tập 1 | Cánh diều Giải toán lớp 10

1.1 K

Với giải Luyện tập 3 trang 90 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh AB+AC=3AG .

Lời giải:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh vectơ AB + vectơ AC =3.vectơ AG

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+GB+GC=0.

Ta có:

AB+AC=AG+GB+AG+GC

=2AG+GB+GC

=2AG+GB+GC+AGAG

=3AG+GB+GC+AG

=3AG+GB+GC+GA

=3AG+0=3AG.

Vậy AB+AC=3AG.

Lý thuyết Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA+MB=2MI với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên IA+IB 0

Suy ra:

MA+MB MI+IA+MI+IB 

MI+MI+IA+IB 2MI+IA+IB

2MI+0 2MI.

 MA+MB = 2MI (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh MA+MB+MC+MD=2MN.

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

MA+MC=0

MB+MD=2MN

 MA+MB+MC+MD = MA+MC+MB+MD = 0+2MN = 2MN.

 MA+MB+MC+MD=2MN (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA+MB+MC=3MG với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: AA'+BB'+CC'=3GG'.

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

GA+GB+GC=0 và GA'+GB'+GC'=0

Theo quy tắc cộng vectơ ta có:

AA'=AG+GG'+G'A' (1)

BB'=BG+GG'+G'B' (2)

CC'=CG+GG'+G'C' (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

AA'+BB'+CC' = 3GG'+AG+BG+CG+GA'+GB'+GC'

3GG'+GAGBGC+GA'+GB'+GC'

3GG'GA+GB+GC+GA'+GB'+GC'

3GG'+0+0 = 3GG'

 AA'+BB'+CC'=3GG' (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để a = kb.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để AB=kAC.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi vectơ c có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn c=xa+yb.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt a=ABb=AC. Dựng các điểm M, N sao cho AM=13ABCN=2BC.

a) Phân tích CMAN theo các vectơ a và b.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: MI=CM. Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

a) Ta có:

+) CM = CA+AM = AC+13AB = 13a – b.

+) Vì CN=2BC  CN = 2BC  BC = 13BN  BN = 3BC.

 BN=3BC.

 AN = AB+BN = AB+3BC = AB+3ACAB = AB+3AC3AB 

2AB+3AC = –2a + 3b.

b) Ta có:

AI = AM+MI = 13AB+CM = 13a + 13a – b = 23a – b = 132a+3b

 AI = 13AN.

 I, A, N thẳng hàng.

Đánh giá

0

0 đánh giá