Lời giải:

Do các vectơ đều nằm trên đường thẳng AB nên các vectơ này đều cùng phương với nhau.

Dễ thấy:

Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (từ trái sang phải.)

Các vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ cùng hướng (từ phải sang trái.)

Do đó, các cặp vectơ cùng hướng là:

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CA}$;  $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CB}$;$\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CB}$.

Các cặp vectơ ngược hướng là:

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$;

$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$;

$\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CB}$;

Bài 2 trang 82 Toán lớp 10: Cho đoạn thẳng MN có trung điểm là I.

a) Viết các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong ba điểm M, N, I.

b) vectơ nào bằng $\overrightarrow{MI}$?  Bằng $\overrightarrow{NI}$?

Lời giải:

a) Các vectơ đó là: $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IN},\overrightarrow{NI},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$.

b) Dễ thấy:

+) vectơ $\overrightarrow{IN}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{MI}$. Hơn nữa: $|\overrightarrow{IN}|=IN=MI=|\overrightarrow{MI}|$

$\Rightarrow \overrightarrow{IN}=\overrightarrow{MI}$

+) vectơ $\overrightarrow{IM}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{NI}$. Hơn nữa: $|\overrightarrow{IM}|=IM=NI=|\overrightarrow{NI}|$

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\overrightarrow{NI}$

Vậy $\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{NI}$.

Bài 3 trang 82 Toán lớp 10: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Tìm vectơ:

a) Cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$

b) Ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$

Lời giải:

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB.

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DC}$

a) vectơ $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) vectơ $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 4 trang 82 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3cm. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Ta có: $|\overrightarrow{AB}|=AB$ và $|\overrightarrow{AC}|=AC.$

Mà $AB=3,AC=3\sqrt{2}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=3;|\overrightarrow{AC}|=3\sqrt{2}$

Bài 5 trang 82 Toán lớp 10: Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$(Hình 47).

a) Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương.

b) Trong các cặp vectơ đó, cho biết chúng cùng hướng hay ngược hướng.

Lời giải:

Gọi a, b, c là các đường thẳng lần lượt chứa các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.

Khi đó: a, b, c lần lượt là giá của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$

a) Dễ thấy: a // b // c

$\Rightarrow$ Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ cùng phương với nhau.

Vậy các cặp vectơ cùng phương là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$.

b) Quan sát ba vectơ, ta thấy: vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng xuống còn vectơ $\overrightarrow{b}$ hướng lên trên.

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng, vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng, vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Lý thuyết Khái niệm vectơ

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ được vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Đối với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, ta gọi:

– Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

– Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$.

Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{x}}$, $\overrightarrow{\mathrm{y}}$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.$ 

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$ = 5.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Định nghĩa:

– Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ:

Trên hình vẽ các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{EF}}$ cùng phương với nhau.

Nhận xét: Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ:

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ cùng hướng. Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{EF}}$cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{EF}}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Liệt kê các cặp vectơ cùng hướng và ngược hướng trong hình bình hành ABCD. 

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // DC và AD // BC.

Các cặp vectơ cùng hướng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

Các cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

3. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}.$ 

Nhận xét:

– Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Khi cho trước vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}.$ 

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, khi đó:

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}//\mathrm{DC}\mathrm{và}\mathrm{AD}//\mathrm{BC}\\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD}\mathrm{và}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\end{array}\right.$

Ta lại có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ là hai cặp vectơ cùng hướng nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}\\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{array}\right.$.

4. Vectơ–không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AA}}$ và được gọi là vectơ – không.

Định nghĩa: Vectơ–không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{0}.$

Ta quy ước $\overrightarrow{0}.$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ và $\left|\overrightarrow{0}\right|$ = 0.

Nhận xét: Hai điểm A, B trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{BB}}$ là vectơ – không và $\left|\overrightarrow{\mathrm{BB}}\right|=0.$  

5. Biểu thị một số đại lượng có hướng bằng vectơ

Trong vật lý, một số đại lượng như trọng lực, vận tốc,… là đại lượng có hướng. Người ta dùng vectơ để biểu thị các đại lượng đó.

Ví dụ: Chọn trục tọa độ là trục Oy có chiều hướng lên trên, biểu điễn vectơ lực $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có điểm đặt tại gốc O trong hai trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có phương thẳng đứng chiều hướng xuống

b) $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có phương thẳng đứng hướng lên trên

Ta thấy vectơ lực $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ ở hai trường hợp cùng phương nhưng ngược hướng với nhau.

Bài giảng Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ - Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ