a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n}\overrightarrow{.u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}$

b) Gọi $M\left(x;y\right)$ là điểm di động trên $\mathrm{\Delta }$. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$

Phương pháp giải:

a)       +) Áp dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của vectơ tính tích vô hướng

          +) Dựa vào kết quả tích vô hướng các định phương (bằng 0 thì vuông góc)

b)       +) Xác định tỉ lệ giũa các tọa độ của hai vectơ để so sánh về phương

          +) Tính tích vô hướng để chứng minh vuông góc

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=a.b+b.(-a)=0$

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}$có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ có giá là đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

=> luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$

=> vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ có phương vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$

Giải toán lớp 10 trang 47 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ là vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm $M\left(x;y\right)$ thuộc $\mathrm{\Delta }$, tìm tọa độ của điểm M theo tọa độ của $M_0$ và $\overrightarrow{u}$

Phương pháp giải:

M và $M_0$ thuộc $\mathrm{\Delta }$ nên ${\overrightarrow{MM}}_0$ làm vectơ chỉ phương

Lời giải:

${\overrightarrow{MM}}_0=\left(x_0-x;y_0-y\right)$ mà $\mathrm{\Delta }$ nhận ${\overrightarrow{MM}}_0$làm vectơ chỉ phương nên ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_0-x=u_1\\ y_0-y=u_2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=x_0-u_1\\ y=y_0-u_2\end{array}$

Vậy $M\left(x_0-u_1;y_0-u_2\right)$

Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10: a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $B(-9;5)$ và nhận $\overrightarrow{v}=(8;-4)$ là vectơ chỉ phương

b) Tìm tọa độ điểm P trên $\mathrm{\Delta }$,biết P có tung độ bằng 1.

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-9+8t\\ y=5-4t\end{array}$

b) Thay $y=1$ vào phương trình $y=5-4t$ ta được $1=5-4t\Rightarrow t=1$

Thay $t=1$ vào phương trình $x=-9+8t$, ta được $x=-1$

Vậy $P(-1;1)$

Giải toán lớp 10 trang 48 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10: Một trò chơi đua xe ô tô vượt da mặt trên máy tính là xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm $M(1;1)$ với Vectơ vận tốc$\overrightarrow{v}=(40;30)$

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô

b) Tìm tọa độ của xe tương ứng với t = 2; t = 4

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}$

b) Thay $t=2$ vào phương trình$d:\{\begin{array}{l}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}$  ta được $\{\begin{array}{l}x=1+40.2=81\\ y=1+30.2=61\end{array}$

Vậy khi $t=2$ thì tọa độ của ô tô là $\left(81;61\right)$

Thay $t=4$ vào phương trình$d:\{\begin{array}{l}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}$  ta được $\{\begin{array}{l}x=1+40.4=161\\ y=1+30.4=121\end{array}$

Vậy khi $t=4$ thì tọa độ của ô tô là $\left(161;121\right)$

Khám phá 3 trang 48 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm $M\left(x;y\right)$ thuộc $\mathrm{\Delta }$, chứng tỏ rằng điểm $M\left(x;y\right)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$ax+by+c=0$ (với $c=-a{x}_0-b{y}_0$)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M qua $M_0$ và a,b

Bước 2: Thay vào phương trình

Lời giải:

$\mathrm{\Delta }$ nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$ là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

M và $M_0$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nên $\mathrm{\Delta }$ nhận ${\overrightarrow{MM}}_0$làm vectơ chỉ phương

${\overrightarrow{MM}}_0=\left(x_0-x;y_0-y\right)$, suy ra $\{\begin{array}{l}{x}_0-x=b\\ y_0-y=-a\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=x_0-b\\ y=y_0+a\end{array}$

Suy ra $M\left(x_0-u_1;y_0-u_2\right)$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình $ax+by+c=0$ ta có:

$a\left(x_0-b\right)+b\left(y_0+a\right)+c=\left(-ab+ba\right)+\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)=0$      (đúng vì $-a{x}_0-b{y}_0=c$)

Vậy $M(x;y)$ thỏa mãn phương trình đã cho

Giải toán lớp 10 trang 49 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(1;1)$và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$

b) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-7\right)$

c) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua hai điểm $M(4;0),N(0;3)$

Lời giải:

a) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(5;-3\right)$, nên ta có phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là :

 $\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-3t\end{array}$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$3(x-1)+5(y-1)=0\iff 3x+5y-8=0$

b) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-7\right)$, nên có phương trình tham số là:

$\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-7t\end{array}$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-7\right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow{n}=\left(7;2\right)$ và đi qua $O(0;0)$

Ta có phương trình tổng quát là

$7(x-0)+2(y-0)=0\iff 7x+2y=0$

c) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua hai điểm $M(4;0),N(0;3)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MN}=(-4;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;4)$

Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=3t\end{array}$

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là: $3(x-4)+4(x-0)=0\iff 3x+4y-12=0$

Vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10: Một người đã lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm $M(x;y)$ từ vị trí $A(1;2)$ chuyển động thẳng đều với Vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}=(3;-4)$

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ biểu diễn đường đi của điểm M

b) Tìm tọa độ của điểm M khi $\mathrm{\Delta }$ cắt trục hoành

Phương pháp giải:

a) Từ vectơ chỉ phương tìm vectơ pháp tuyến và viết phương trình tổng quát

VTCP (a;b) => VTPT: (-b; a) hoặc (b; -a)

b) M thuộc trục hoành thì M có tọa độ (m; 0)

Lời giải:

a) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left(3;-4\right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ và đi qua $A(1;2)$

Ta có phương trình tổng quát là

$4(x-1)+3(y-2)=0\iff 4x+3y-10=0$

b) Điểm M thuộc trục hoành nên tung độ bằng 0

Thay $y=0$ vào phương trình $4x+3y-10=0$ ta tìm được $x=\frac{5}{2}$

Vậy $\mathrm{\Delta }$ cắt trục hoành tại điểm $M\left(\frac{5}{2};0\right)$

Giải toán lớp 10 trang 51 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 51 Toán lớp 10: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong thực hành 2

Lời giải:

a) Ta có $3x+5y-8=0\iff y=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}x$

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3x+5y-8=0$ là $y=\frac{8}{5}-\frac{3}{5}x$

b) Ta có $7x+2y=0\iff y=-\frac{7}{2}x$

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $7x+2y=0$ là $y=-\frac{7}{2}x$

c) Ta có $3x+4y-12=0\iff y=3-\frac{3}{4}x$

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3x+4y-12=0$ là $y=3-\frac{3}{4}x$

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với vận tốc là 2 $m^3/h$ vào một cái bể đã chứa sẵn 5 $m^3$ nước.

a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ

b) Gọi $y=f(x)$là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này

c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d

Lời giải:

a) Thể tích nước trong bể được tính bằng công thức $y=5+2x$

b)                         

c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất $y=5+2x\iff 2x-y+5=0$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là $2x-y+5=0$

Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$, từ đó ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2)$

Khi $x=0$ thì $y=5$ nên đường thẳng đó đi qua điểm $(0;5)$

Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=5+2t\end{array}$

2. Vị trí tương đương đối của hai đường thẳng

Khám phá 4 trang 51 Toán lớp 10: Cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ một vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương  (hình 5a,b)

b) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương  (hình 5c,d)

c) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$vuông góc  (hình 5d)

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta có

a) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương thì hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ song song

b) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương thì hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ cắt nhau

c) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc thì hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ vuông góc

Giải toán lớp 10 trang 53 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_1$và $d_2$ trong các trường hợp sau:

a) $d_1:x-5y+9=0$ và $d_2:10x+2y+7=10$

b)  $d_1:3x-4y+9=0$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=1+3t\end{array}$

c) $d_1:\{\begin{array}{l}x=5+4t\\ y=4+3t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+8t\\ y=1+6t\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng

Bước 2: 

+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.

=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.

 2 đường thẳng trùng nhau nếu  A thuộc d2.

+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng

Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.

=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm

Lời giải:

a) $d_1$và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-5\right),\overrightarrow{n_2}=\left(10;2\right)$

Ta có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.10+(-5).2=0$ nên $\overrightarrow{n_1}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_2}$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-5y+9=0\\ 10x+2y+7=10\end{array}$ ta được nghiệm $\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{52}\\ y=\frac{93}{52}\end{array}$

Suy ra hai đường thẳng $d_1$và $d_2$ vuông góc và cắt nhau tại $M\left(-\frac{3}{52};\frac{93}{52}\right)$

b) $d_1$và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(3;-4\right),\overrightarrow{n_2}=\left(3,-4\right)$

$\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$và $d_2$song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A(1;1)$ thuộc $d_2$, thay tọa độ của A vào phương trình $d_1$, ta được $3.1-4.1+9=8\ne 0$, suy ra A không thuộc đường thẳng $d_1$

Vậy hai đường thẳng $d_1$và $d_2$ song song

c) $d_1$và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(3;-4\right),\overrightarrow{n_2}=\left(6;-8\right)$

Ta có $a_1{b}_2-a_2{b}_1=3.(-8)-(-4).6=0$suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$và $d_2$song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A(1;1)$ thuộc $d_2$, thay tọa độ của A vào phương trình $d_1$, ta được $\{\begin{array}{l}1=5+4t\\ 1=4+3t\end{array}\iff t=-1$, suy ra A thuộc đường thẳng $d_1$

Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trùng nhau

Vận dụng 4 trang 53 Toán lớp 10: Viết phương trình đường thẳng $d_1$:

a) Đi qua điểm $A(2;3)$ và song song với đường thẳng $d_2:x+3y+2=0$

b) Đi qua điểm $B(4;-1)$ và vuông góc với đường thẳng $d_3:3x-y+1=0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số

Lời giải:

a) $d_1$ song song với đường thẳng $d_2:x+3y+2=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_2$ làm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$

$d_1$ đi qua điểm $A(2;3)$ nên ta có phương trình tổng quát

          $\left(x-2\right)+3.\left(y-3\right)=0\iff x+3y-11=0$

b) $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_3:3x-y+1=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_3$ làm vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(3;-1\right)$

$d_1$ đi qua điểm $B(4;-1)$ nên ta có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=4+3t\\ y=-1-t\end{array}$

3. Góc giữa hai đường thẳng

Giải toán lớp 10 trang 54 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 5 trang 54 Toán lớp 10: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\widehat{xOz}={38}^{\circ }$ (hình 6)

Tính số đo các góc $\widehat{xOt},\widehat{tOy}$ và $\widehat{yOz}$

Lời giải:

Ta có hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{tOy}$ đối đỉnh nên $\widehat{xOz}=\widehat{tOy}={38}^{\circ }$

hai góc $\widehat{xOt}$ và $\widehat{yOz}$ đối đỉnh nên $\widehat{xOt}=\widehat{yOz}$

$\widehat{xOz}$ và $\widehat{xOt}$ bù nhau nên $\widehat{xOt}={180}^{\circ }-\widehat{xOz}={180}^{\circ }-{38}^{\circ }={142}^{\circ }$

Vậy $\widehat{xOz}=\widehat{tOy}={38}^{\circ }$ và $\widehat{xOt}=\widehat{yOz}={142}^{\circ }$

Khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10: Cho hai đường thẳng

${\mathrm{\Delta }}_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$  (${a_1}^2+{b_1}^2>0$) và ${\mathrm{\Delta }}_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$  $\left({a_2}^2+{b_2}^2>0\right)$

có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$.

Tìm tọa độ $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$và tính $\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$

Phương pháp giải:

+) Tọa độ của $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ được xác định từ pjuowng trình tổng quát của hai đường thẳng

+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Lời giải:

+) Từ phương trình ${\mathrm{\Delta }}_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n_1}$ là $\left(a_1;b_1\right)$

+) Từ phương trình ${\mathrm{\Delta }}_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n_2}$ là $\left(a_2;b_2\right)$

+) $\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Giải toán lớp 10 trang 56 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ trong các trường hợp sau

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:x+3y-7=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:x-2y+3=0$

b)  ${\mathrm{\Delta }}_1:4x-2y+5=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=13+2t\end{array}$

c) ${\mathrm{\Delta }}_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\{\begin{array}{l}x=-7+2t\\ y=1-t\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho

Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Lời giải:

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;3\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2\right)$

Ta có $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|1.1+3.(-2)\right|}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}\approx 0,93\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)\approx {22}^{\circ }{8}^{\prime }$

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-2\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1\right)$

Ta có $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|4.2+(-2).(-1)\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2}\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=1\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=0^{\circ }$

c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;2\right)$

Ta có null

Suy ra $\left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={90}^{\circ }$

Vận dụng 5 trang 56 Toán lớp 10: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số $y=x$ và $y=2x+1$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyền

Bước 3: $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát

$y=x\iff d_1:x-y=0$, $y=2x+1\iff 2x-y+1=0$

Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1\right)$

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.2+(-1).(-1)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\Rightarrow \left(d_1,d_2\right)\approx {18}^{\circ }{26}^{\prime }$

Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng ${18}^{\circ }{26}^{\prime }$

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và cho điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$có hình chiếu vuông góc $H\left(x_H;y_H\right)$trên $\mathrm{\Delta }$(hình 9).

a)  Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$cùng phương và tìm tọa độ của chúng

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$.

Chứng minh rằng $p=a{x}_0+b{y}_0+c$

c) Giải thích công thức $\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|p\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Phương pháp giải:

a) So sánh phương với vectơ chỉ phương

b)  Bước 1: Nhân tích vô hướng của hai vectơ

     Bước 2: Thay tọa độ điẻm H vào đường thẳng tìm mối liên hệ

c) Thay vào công thức kết quả đã tìm được ở câu b)

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}=\left(x_0-x_H;y_0-y_H\right)$

Mà H là hình chiếu vuông góc của $M_0$ trên $\mathrm{\Delta }$ nên $H{M}_0\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$

Mặt khác vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ cùng vuông góc với $\mathrm{\Delta }$

Suy ra $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$cùng phương (đpcm)

b) Ta có: $\overrightarrow{n}=(a;b)$ và $\overrightarrow{H{M}_0}=\left(x_0-x_H;y_0-y_H\right)$

Suy ra $p=\overrightarrow{n}.\overrightarrow{H{M}_0}=a\left(x_0-x_H\right)+b\left(y_0-y_H\right)=a{x}_0+b{y}_0-\left(a{x}_H+b{y}_H\right)$                (1)

Mà H  thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

Thay tọa độ điểm H vào phương trình $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ ta có:

$a{x}_H+b{y}_H+c=0\iff c=-\left(a{x}_H+b{y}_H\right)$

Thay $c=-\left(a{x}_H+b{y}_H\right)$ vào (1) ta có

$p=a{x}_0+b{y}_0+c$       (đpcm)

c) Ta có: $p=\overrightarrow{n}.\overrightarrow{H{M}_0}\iff \overrightarrow{H{M}_0}=\frac{p}{\overrightarrow{n}}\Rightarrow \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\frac{p}{\overrightarrow{n}}\right|\Rightarrow \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|p\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Giải toán lớp 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là $A(1;1),B(5;2),C(4;4)$. Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng AB, AC, BC

Bước 2: Đường của kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (tương tự các đường cao còn lại)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(3;3\right),\overrightarrow{BC}=\left(-1;2\right)$

+) Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right)$làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-4\right)$ và đi qua điểm $A(1;1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

$\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=0\iff x-4y+3=0$

Độ dài đường cao kẻ từ C chính là khoảng cách từ điểm C  đến đường thẳng AB

$d\left(C,AB\right)=\frac{\left|4-4.4+3\right|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{9\sqrt{17}}{17}$

+) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=\left(-1;2\right)$làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$ và đi qua điểm $B(5;2)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

$2\left(x-5\right)+\left(y-2\right)=0\iff 2x+y-12=0$

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A  đến đường thẳng BC

$d\left(A,BC\right)=\frac{\left|2.1+1-12\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$

+) Đường thẳng AC  nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left(3;3\right)$làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=\left(1;-1\right)$ và đi qua điểm $A(1;1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AC  là:

$\left(x-1\right)-\left(y-1\right)=0\iff x-y=0$

Độ dài đường cao kẻ từ B chính là khoảng cách từ điểm B  đến đường thẳng AC

$d\left(B,AC\right)=\frac{\left|5-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:4x-3y+2=0$ và $d_2:4x-3y+12=0$

Phương pháp giải:

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điềm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại

Lời giải:

Ta thấy hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia

Chọn điểm $A\left(0;4\right)\in d_2$, suy ra $d\left(d_1,d_2\right)=d\left(A,d_1\right)=\frac{\left|4.0-3.4+2\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:4x-3y+2=0$ và $d_2:4x-3y+12=0$ là 2

Bài tập (trang 57, 58)

Bài 1 trang 57 Toán lớp 10: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm $A(-1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$

b)  d đi qua điểm $B(4;-2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-2)$

c) d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k=-2$

d)  d đi qua hai điểm $Q(3;0)$và $R(0;2)$

Lời giải:

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$, nên có phương trình tham số là:

 $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ và đi qua $A(-1;5)$

Ta có phương trình tổng quát là

 $(x+1)-2(y-5)=0\iff x-2y+11=0$

b) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$, và đi qua điểm $B(4;-2)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :

$\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(4;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$(x-4)-2(y+2)=0\iff x-2y-8=0$

c) Đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$

d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k=-2$ nên ta có:

$1=-2.1+b\Rightarrow b=3$

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng $y=-2x+3$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là $y+2x-3=0$

Suy ra đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$, nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$ và đi qua điểm $P(1;1)$ nên ta có phương trình tham số của d là :

$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\end{array}$

 d) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $Q(3;0)$và $R(0;2)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{QR}=(-3;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$

Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=2t\end{array}$

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là: $2(x-3)+3(x-0)=\iff 2x+3y-6=0$

Bài 2 trang 57 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC biết $A(2;5),B(1;2)$ và $C(5;4)$