Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Toạ độ của vecto

Nguyễn Thị Thuỳ Linh Ngày: 24-09-2024 Lớp 10

5 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Toạ độ của vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Toạ độ của vecto

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ

Giải toán lớp 10 trang 38 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 38 Toán lớp 10:

Khởi động trang 38 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Bàn cờ được chia thành 8 hàng (1-8) và 8 cột (a-h) đánh số như hình vẽ.

Do đó mỗi quân cờ xác định khi biết số hàng và số cột, tương ứng với cặp số (x;y) trong đó x là số hàng, y là số cột.

Khi đó hai mã đen có vị trí là (8;b) và (4;e)

Hai mã trắng có vị trí là (3;c) và (3;f)

Cách 2:

Đặt gốc tọa độ tại góc dưới, bên trái của bàn cờ. Coi mỗi ô vuông là 1 đơn vị.

Ta xác định được tọa độ của các con mã như sau:

Hai mã đen có tọa độ lần lượt là (2;8), (5;4)

Hai mã trắng có tọa độ lần lượt là (3;3) và (6;3)

Khám phá 1 trang 38 Toán lớp 10: Nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của vectơ trên trục $O x$ và vectơ $\vec{j}$ trên trục $O y$ (hình 1)

Khám phá 1 trang 38 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

+) Vectơ có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục $O x$ và cùng chiều với $O x$

+) Vectơ $\vec{j}$ có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục $O y$ và cùng chiều với $O y$

Khám phá 2 trang 38 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ và gọi $A_{1}, A_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt ${\vec{O A}}_{1} = x \vec{i}$ , ${\vec{O A}}_{2} = y \vec{j}$ . Biểu diễn vectơ $\vec{a}$ theo hai vectơ và $\vec{j}$

Khám phá 2 trang 38 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$

Bước 2: Dựa vào hình vẽ tìm x,y

Bước 3: Biểu diễn vectơ $\vec{a}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{O A} = \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}}$

Dựa vào hình vẽ ta thấy ${\vec{O A}}_{1} = 3 \vec{i}$ và ${\vec{O A}}_{2} = 2 \vec{j}$

Vậy $\vec{a} = \vec{O A} = \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} = 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$

Giải toán lớp 10 trang 39 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 3 trang 39 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ $\vec{O M}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ điểm M(x;y) xác định $M_{1}, M_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành và trục tung

Bước 2: Tìm m, n sao cho $\vec{O M_{1}} = m . \vec{i}; \vec{O M_{2}} = n . \vec{j}$

Bước 3: Dựa vào quy tắc hình bình hành, suy ra tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ theo $\vec{i}; \vec{j}$ .

Lời giải:

Cho điểm M(x;y) bất kì, xác định $M_{1}, M_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành và trục tung

Dễ thấy $\vec{O M_{1}} = x \vec{i}; \vec{O M_{2}} = y \vec{j}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{O M} = \vec{O M_{1}} + \vec{O M_{2}} = x \vec{i} + y \vec{j}$

Vậy tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ là (x;y), trùng với tọa độ điểm M.

Giải toán lớp 10 trang 40 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 40 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm $D (- 1; 4), E (0; - 3), F (5; 0)$

a) Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{O D}, \vec{O E}, \vec{O F}$ .

c) Vẽ và tìm tọa độ hai vectơ đơn vị và $\vec{j}$ lần lượt trên hai trục tọa độ Ox và Oy

Lời giải:

Thực hành 1 trang 40 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Vì tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:

$\vec{O D} = (- 1; 4), \vec{O E} = (0; - 3), \vec{O F} = (5; 0)$

Thực hành 1 trang 40 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ và $\vec{j}$ là

và $\vec{j} = (0; 1)$

Vận dụng 1 trang 40 Toán lớp 10: Một máy bay đang cất cánh với vận tốc 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc $30^{\circ}$ (hình 7)

a) Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD

b) Biểu diễn vận tốc $\vec{v}$ theo hai vectơ và $\vec{j}$

c) Tìm tọa độ của $\vec{v}$

Vận dụng 1 trang 40 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

a) Vận tốc 240 km/h nên $| \vec{v} | = A C = 240$

Áp dụng các tính chất trong tam giác vuông ta có

$A B = D C = A C . \cos (\hat{C A B}) = 240. \cos (30^{\circ}) = 120 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A D = B C = A C . \sin (\hat{C A B}) = 240. \sin (30^{\circ}) = 120$

b) Xem A là gốc tọa độ nên ta có $\vec{A B} = 120 \vec{i}, \vec{A D} = 120 \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}, \vec{v} = \vec{A C} = 120 \vec{i} + 120 \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}$

Ta có $\vec{v} = 120 \vec{i} + 120 \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}$

Vậy tọa độ của vectơ $\vec{v}$ là $(120; 120 \frac{\sqrt{3}}{2})$

2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Khám phá 4 trang 40 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ theo hai vectơ , $\vec{j}$ như sau

a) Biểu diễn từng vectơ $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, k \vec{a}$ theo hai vectơ , $\vec{j}$

b) Tìm $\vec{a} . \vec{b}$ theo tọa độ của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Lời giải:

a) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + a_{2} \vec{j}) + (b_{1} + b_{2} \vec{j}) = (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) \\ \vec{a} - \vec{b} = (a_{1} + a_{2} \vec{j}) - (b_{1} + b_{2} \vec{j}) = (a_{1} - b_{1}) + (a_{2} - b_{2}) \\ k \vec{a} = k (a_{1} + a_{2} \vec{j}) = k a_{1} + k a_{2} \vec{j} \end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{a} . \vec{b} = (a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j}) . (b_{1} \vec{i} + b_{2} \vec{j}) \\ = a_{1} b_{1} {\vec{i}}^{2} + a_{1} b_{2} \vec{i} . \vec{j} + a_{2} b_{1} \vec{i} \vec{j} + a_{2} b_{2} {\vec{j}}^{2} \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} \end{array}$

Vì ${\vec{i}}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} = 1, {\vec{j}}^{2} = {| \vec{j} |}^{2} = 1, \vec{i} \vec{j} = 0$

Giải toán lớp 10 trang 41 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 41 Toán lớp 10: Cho hai vectơ $\vec{m} = (- 6; 1), \vec{n} = (0; 2)$

a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{m} + \vec{n}, \vec{m} - \vec{n}, 10 \vec{m}, - 4 \vec{n}$

b) Tính các tích vô hướng $\vec{m} . \vec{n}, (10 \vec{m}) . (- 4 \vec{n})$

Phương pháp giải:

Thực hành 2 trang 41 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{m} + \vec{n} = ((- 6 + 0); 1 + 2) = (- 6; 3) \\ \vec{m} - \vec{n} = ((- 6 - 0); (1 - 2)) = (- 6; - 1) \\ 10 \vec{m} = (10. (- 6); 10.1) = (- 60; 10) \\ - 4 \vec{n} = ((- 4) .0; (- 4) .2) = (0; - 8) \end{array}$

b) Ta có

$\vec{m} . \vec{n} = (- 6) .0 + 1.2 = 0 + 2 = 2$

Ta có $10 \vec{m} = (- 60; 10)$ và $- 4 \vec{n} = (0; - 8)$ nên $(10 \vec{m}) . (- 4 \vec{n}) = (- 60) .0 + 10. (- 8) = 0 - 80 = - 80$

Vận dụng 2 trang 41 Toán lớp 10: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\vec{v} = (10; - 8)$ (hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\vec{w} = (3, 5; 0)$ . Tìm tọa dộ của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$

Vận dụng 2 trang 41 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Với $\vec{v} = (v_{1}; v_{2}), \vec{w} = (w_{1}; w_{2})$ thì $\vec{v} + \vec{w}$ là $(v_{1} + w_{1}; v_{2} + w_{2})$

Lời giải:

$\vec{v} + \vec{w} = (10 + 3, 5; (- 8) + 0) = (13, 5; - 8)$

Vậy tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$ là $(13, 5; - 8)$

3. Áp dụng của toạ độ vecto

Khám phá 5 trang 41 Toán lớp 10: Cho hai điểm A(xA;yA),B(xB;yB). Từ biểu thức →AB=→OB−→OA, tìm tọa độ vectơ →AB theo tọa độ hai điểm A,B

Phương pháp giải:

Với →v=(v1;v2),→w=(w1;w2) thì →v+→w là (v1+w1;v2+w2)

Lời giải:

Ta có tọa độ vectơ →OB,→OA chính là tọa độ điểm B và A

Nên ta có →OB=(xB;yB),→OA=(xA;yA)

→AB=→OB−→OA=(xB;yB)−(xA;yA)=(xB−xA;yB−yA)

Giải toán lớp 10 trang 42 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 42 Toán lớp 10: Cho $E (9; 9), F (8; - 7), G (0; - 6)$ . Tìm tọa độ các vectơ $\vec{F E}, \vec{F G}, \vec{E G}$

Phương pháp giải:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Lời giải:

Ta có

$\begin{array}{l} \vec{F E} = (x_{E} - x_{F}; y_{E} - y_{F}) = (9 - 8; 9 - (- 7)) = (1; 16) \\ \vec{F G} = (x_{G} - x_{F}; y_{G} - y_{F}) = (0 - 8; (- 6) - (- 7)) = (- 8; 1) \\ \vec{E G} = (x_{G} - x_{E}; y_{G} - y_{E}) = (0 - 9; (- 6) - 9) = (- 9; - 15) \end{array}$

Khám phá 6 trang 42 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB, $G (x_{G}; y_{G})$ là trọng tâm của tam giác ABC

a) Biểu thị vectơ $\vec{O M}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$

b) Biểu thị vectơ $\vec{O G}$ theo ba vectơ $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ và $\vec{O C}$

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

c) Thay tọa độ các điểm vào và xác định

Lời giải:

a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB, áp dụng tính chất trung điểm ta có:

$\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC, áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

$\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

c) Ta có $\vec{O A} = (x_{A}; y_{A}), \vec{O B} = (x_{B}; y_{B}), \vec{O C} = (x_{C}; y_{C})$

Suy ra:

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) = \frac{1}{2} [(x_{A}; y_{A}) + (x_{B}; y_{B})] \\ = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) = \frac{1}{3} [(x_{A}; y_{A}) + (x_{B}; y_{B}) + (x_{c}; y_{c})] \\ = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}) \end{array}$

Mà ta có tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ điểm M, nên ta có

Tọa độ điểm M là $(x_{M}; y_{M}) = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

Tọa độ điểm G là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

Giải toán lớp 10 trang 43 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 43 Toán lớp 10: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh $Q (7; - 2), R (- 4; 9)$ và $S (5; 8)$

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS

Phương pháp giải:

Tọa độ điểm M là $(\frac{x_{Q} + x_{S}}{2}; \frac{y_{Q} + y_{S}}{2})$

Tọa độ điểm G là $(\frac{x_{Q} + x_{R} + x_{S}}{3}; \frac{y_{Q} + y_{R} + y_{S}}{3})$

Lời giải:

a) $x_{M} = \frac{x_{Q} + x_{S}}{2} = \frac{7 + (- 2)}{2} = \frac{5}{2}; y_{M} = \frac{y_{Q} + y_{S}}{2} = \frac{(- 2) + 8}{2} = 3$

Vậy $M (\frac{5}{2}; 3)$

$x_{G} = \frac{x_{Q} + x_{S} + x_{R}}{3} = \frac{7 + (- 2) + (- 4)}{3} = \frac{1}{3}; y_{M} = \frac{y_{Q} + y_{S} + y_{R}}{3} = \frac{(- 2) + 8 + 9}{3} = 5$

Vậy $G (\frac{1}{3}; 5)$

Khám phá 7 trang 43 Toán lớp 10: Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ và hai điểm $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ . Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = . . . ?$

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} a_{1} = t b_{1} \\ a_{2} = t b_{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} b_{1} = k a_{1} \\ b_{2} = k a_{2} \end{cases} \Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = . . . ?$

c) $| \vec{a} | = \sqrt{{(\vec{a})}^{2}} = \sqrt{. ? .}$

d) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\vec{A B})}^{2}} = \sqrt{. ? .}$

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{. ? .}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ ( $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ )

Lời giải:

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} a_{1} = t b_{1} \\ a_{2} = t b_{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} b_{1} = k a_{1} \\ b_{2} = k a_{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} . k a_{2} - a_{2} . k a_{1} = 0$

c) $| \vec{a} | = \sqrt{{(\vec{a})}^{2}} = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$

d) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\vec{A B})}^{2}}$

$= \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

Giải toán lớp 10 trang 44 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 44 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh $D (2; 2), E (6; 2)$ và $F (2; 6)$

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D

b) Giải tam giác DEF

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ $\vec{D H}, \vec{E F}$

Bước 2: Dựa vào ứng dụng tọa độ của các phép toán vectơ (tính chất vuông góc)

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{E F} = (- 2; 4)$

Gọi tọa độ điểm H là $(x; y)$ ta có $\vec{D H} = (x - 2; y - 2), \vec{E H} = (x - 6; y - 2)$

H là chân đường cao nên $\vec{D H} ⊥ \vec{E F}$

$\begin{array}{l} \vec{D H} ⊥ \vec{E F} \Leftrightarrow (x - 2) . (- 2) + (y - 2) .4 = 0 \\ \Leftrightarrow - 2 x + 4 y - 4 = 0 \end{array}$ (1)

Hai vectơ $\vec{E H}, \vec{E F}$ cùng phương

$\Leftrightarrow (x - 6) . (- 2) - (y - 2) .4 = 0 \Leftrightarrow - 2 x - 4 y + 20 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

${\begin{cases} - 2 x + 4 y - 4 = 0 \\ - 2 x - 4 y + 20 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy $H (4; 3)$

b) Ta có: $\vec{D E} = (4; 0), \vec{D F} = (0; 4), \vec{E F} = (- 4; 4)$

Suy ra: $D E = | \vec{D E} | = \sqrt{4^{2} + 0^{2}} = 4, D F = | \vec{D F} | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4$

$E F = | \vec{E F} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} \cos D = \cos (\vec{D E}, \vec{D F}) = \frac{\vec{D E} . \vec{D F}}{D E . D F} = \frac{4.0 + 0.4}{4.4} = 0 \Rightarrow \hat{D} = 90^{\circ} \\ \cos E = \cos (\vec{E D}, \vec{E F}) = \frac{\vec{E D} . \vec{E F}}{E D . E F} = \frac{(- 4) . (- 4) + 0.4}{4.4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{E} = 45^{\circ} \\ \hat{F} = 180^{\circ} - \hat{D} - \hat{E} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \end{array}$

Vận dụng 3 trang 44 Toán lớp 10: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ $B (50; 30)$ và $C (32; - 23)$ . Một con tàu đang neo đậu tại điểm $A (- 10; 20)$

a) Tính số đo của $\hat{B A C}$

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo

Vận dụng 3 trang 44 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{B C}$

Bước 2:

a) $\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C}$

b) $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$

Lời giải:

Vận dụng 3 trang 44 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

a) Ta có: $\vec{A B} = (60; 10), \vec{A C} = (42; - 43), \vec{B C} = (- 18; - 53)$

$\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{60.42 + 10. (- 43)}{\sqrt{60^{2} + 10^{2}} . \sqrt{42^{2} + {(- 43)}^{2}}} ≃ 0, 572 \Rightarrow \hat{B A C} \approx 55^{\circ} 8^{'}$

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{60^{2} + 10^{2}} = 10 \sqrt{37}$ (km)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $A C = | \vec{A C} | = \sqrt{42^{2} + {(- 43)}^{2}} = \sqrt{3613}$ (km)

Bài tập (trang 44, 45)

Bài 1 trang 44 Toán lớp 10: Trên trục $(O; \vec{e})$ cho các điểm A ,B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0

a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó

b) Hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng hướng hay ngược hướng?

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$

Bước 2: Xác định tỉ lệ tọa độ của các vectơ $\vec{A B} = k \vec{C D}$

Nếu $k > 0$ thì hai vectơ cùng hướng

Nếu $k < 0$ thì hai vectơ ngược hướng

Lời giải:

Bài 1 trang 44 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Ta có: Tọa độ các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ lần lượt là: -5; 5

Ta có $\vec{A B} = - \vec{C D}$

Vậy hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ ngược hướng

Giải toán lớp 10 trang 45 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 45 Toán lớp 10: Chứng minh rằng

a) $\vec{a} = (4; - 6)$ và $\vec{b} = (- 2; 3)$ là hai vectơ ngược hướng

b) $\vec{a} = (- 2; 3)$ và $\vec{b} = (- 8; 12)$ là hai vectơ cùng hướng

c) $\vec{a} = (0; 4)$ và $\vec{b} = (0; - 4)$ là hai vectơ đối nhau

Phương pháp giải:

Cho $\vec{A B} = k \vec{C D}$

Nếu $k > 0$ thì hai vectơ cùng hướng

Nếu $k < 0$ thì hai vectơ ngược hướng

Nếu $k = - 1$ thì hai vectơ đối nhau

Lời giải:

a) Ta thấy $4 = (- 2) . (- 2); - 6 = (- 2) .3 \Rightarrow \vec{a} = - 2 \vec{b}$

$- 2 < 0$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng (đpcm)

b) Ta thấy $- 8 = 4. (- 2); 12 = 4.3 \Rightarrow \vec{b} = 4 \vec{a}$

$4 > 0$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (đpcm)

c) Ta thấy $0 = - 1.0; 4 = (- 1) . (- 4) \Rightarrow \vec{a} = - \vec{b}$

Suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đối nhau (đpcm)

Bài 3 trang 45 Toán lớp 10: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = 2 \vec{i} + 7 \vec{j};$

b) $\vec{b} = - \vec{i} + 3 \vec{j};$

c) $\vec{c} = 4 \vec{i};$

d) $\vec{d} = - 9 \vec{j}$

Phương pháp giải:

Vectơ $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j}$ có tọa độ là $(a_{1}; a_{2})$

Lời giải:

a) Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là $(2; 7)$

b) Tọa độ của vectơ $\vec{b}$ là $(- 1; 3)$

c) Tọa độ của vectơ $\vec{c}$ là $(4; 0)$

d) Tọa độ của vectơ $\vec{d}$ là $(0; - 9)$

Bài 4 trang 45 Toán lớp 10: Cho bốn điểm $A (3; 5), B (4; 0), C (0; - 3), D (2; 2)$ . Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Phương pháp giải:

a) Điểm thuộc trục hoành có tung độ bằng 0

b) Điểm thuộc trục tung có hoành độ bằng 0

c) Điểm thuộc góc phần tư thứ nhất có tung độ bằng hoành độ

Lời giải:

a) Vì điểm thuộc hoành độ có tung độ bằng 0 nên ta có điểm C thuộc trục hoành

b) Vì điểm thuộc tung độ có hoành độ bằng 0 nên ta có điểm B thuộc trục tung

c) Vì điểm thuộc góc phần tư thứ nhất có tung độ bằng hoành độ nên ta có điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất là điểm D

Bài 5 trang 45 Toán lớp 10: Cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ . Tìm tọa độ

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục Oy

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc tọa độ

Lời giải:

Bài 5 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox nên tọa độ điểm H là $H (x_{0}; 0)$

b) M’ đối xứng với M qua trục Ox nên H là trung điểm của MM’

Suy ra $x_{M^{'}} = 2 x_{H} - x_{M} = 2 x_{0} - x_{0} = x_{0}; y_{M^{'}} = 2 y_{H} - y_{M} = 2.0 - y_{0} = - y_{0}$

Vậy tọa độ điểm M’ là $(x_{0}; - y_{0})$

c) K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy nên tọa độ điểm K là $K (0; y_{0})$

d) M’’ đối xứng với M qua trục Oy nên K là trung điểm của MM’’

Suy ra $x_{M^{″}} = 2 x_{K} - x_{M} = 2.0 - x_{0} = - x_{0}; y_{M^{″}} = 2 y_{K} - y_{M} = 2 y_{0} - y_{0} = y_{0}$

Vậy tọa độ điểm M’ là $(- x_{0}; y_{0})$

e) C đối xứng với M qua gốc tọa độ nên O là trung điểm của MC

Suy ra $x_{C} = 2 x_{O} - x_{M} = 2.0 - x_{0} = - x_{0}; y_{C} = 2 y_{O} - y_{M} = 2.0 - y_{0} = - y_{0}$

Vậy tọa độ điểm C là $(- x_{0}; - y_{0})$

Bài 6 trang 45 Toán lớp 10: Cho ba điểm $A (2; 2), B (3; 5), C (5; 5)$

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

c) Giải tam giác ABC

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Xác định tọa độ vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{D C}$

Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành $\vec{A B}$ = $\vec{D C}$ (hai vectơ bằng nhau thì tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau)

b) Áp dụng tính chất trung điểm

c) Sử dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Lời giải:

a) Gọi tọa độ của điểm D là $(x; y)$ ta có: $\vec{A B} = (1; 3)$ , $\vec{D C} = (5 - x; 5 - y)$

Để ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B}$ = $\vec{D C}$

Suy ra ${\begin{cases} 5 - x = 1 \\ 5 - y = 3 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy để ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $D (4; 2)$

b) Gọi M là giao điểm của hai đường chéo, suy ra M là trung điểm của AC

Suy ra: $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}; y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}$

Vậy tọa đọ giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD là $M (\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$

c) Ta có: $\vec{A B} = (1; 3), \vec{A C} = (3; 3), \vec{B C} = (2; 0)$

Suy ra: $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}, A C = | \vec{A C} | = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} = 2$

$\begin{array}{l} \cos A = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{1.3 + 3.3}{\sqrt{10} .3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \Rightarrow \hat{A} \approx 26^{\circ} 33^{'} \\ \cos B = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{(- 1) .2 + (- 3) 0}{\sqrt{10} .2} = - \frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow \hat{B} = 108^{\circ} 26^{'} \\ \hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{\circ} - 26^{\circ} 33^{'} - 108^{\circ} 26^{'} = 45^{\circ} 1^{'} \end{array}$

Bài 7 trang 45 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có các điểm $M (2; 2), N (3; 4), P (5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

b) Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và MNP trùng nhau

c) Giải tam giác ABC

Phương pháp giải:

a) Tọa độ trung điểm M của AB là: $M = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là: $G^{'} = (\frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3}; \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3})$

Lời giải:

a) Gọi tọa độ các điểm như sau: $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$

$M (2; 2), N (3; 4), P (5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA nên ta có:

${\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 x_{M} = 4 \\ x_{A} + x_{C} = 2 x_{P} = 10 \\ x_{C} + x_{B} = 2 x_{N} = 6 \\ y_{A} + y_{B} = 2 y_{M} = 4 \\ y_{A} + y_{C} = 2 y_{P} = 8 \\ y_{C} + y_{B} = 2 y_{N} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 4 \\ x_{C} - x_{B} = 6 \\ x_{C} + x_{B} = 6 \\ y_{A} + y_{B} = 4 \\ y_{C} - y_{B} = 4 \\ y_{C} + y_{B} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} = 4 \\ x_{B} = 0 \\ x_{C} = 6 \\ y_{A} = 3 \\ y_{B} = 1 \\ y_{C} = 5 \end{cases}$

Vậy các đỉnh của tam giác có tọa độ là $A (4; 3), B (0; 1), C (6; 5)$

b) Gọi $G (x_{G}; y_{G}), G^{'} (x_{G^{'}}; y_{G^{'}})$ là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có:

$\begin{array}{l} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{4 + 0 + 6}{3} = \frac{10}{3}; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{3 + 1 + 5}{3} = 3 \\ x_{G^{'}} = \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3} = \frac{2 + 3 + 5}{3} = \frac{10}{3}; y_{G^{'}} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3} = \frac{2 + 4 + 3}{3} = 3 \end{array}$

Suy ra $G (\frac{10}{3}; 3)$ và $G^{'} (\frac{10}{3}; 3)$ , tọa độ của chúng bằng nhau nên hai điểm G và G’ trùng nhau (đpcm)

c) Ta có: $\vec{A B} = (- 4; - 2), \vec{A C} = (2; 2), \vec{B C} = (6; 4)$

Suy ra: $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}, A C = | \vec{A C} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{13}$

$\begin{array}{l} \cos A = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{(- 4) .2 + (- 2) .2}{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{2}} = - \frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow \hat{A} \approx 161^{\circ} 33^{'} \\ \cos B = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{4.6 + 2.4}{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{13}} = \frac{8 \sqrt{65}}{65} \Rightarrow \hat{B} = 7^{\circ} 7^{'} \\ \hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{\circ} - 161^{\circ} 33^{'} - 7^{\circ} 7^{'} = 11^{\circ} 20^{'} \end{array}$

Bài 8 trang 45 Toán lớp 10: Cho hai điểm $A (1; 3), B (4; 2)$

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA=DB

b) Tính chu vi tam giác OAB

c) Chứng minh rằng OA vuông góc AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

Lời giải:

a) Gọi tọa độ điểm D là $(x; 0)$

Ta có: $\vec{D B} = (4 - x; 2) \Rightarrow D B = | \vec{D B} | = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 2^{2}}$

$\begin{array}{l} D A = D B \Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 2^{2}} \\ \Rightarrow {(1 - x)}^{2} + 3^{2} = {(4 - x)}^{2} + 2^{2} \\ \Rightarrow x^{2} - 2 x + 10 = x^{2} - 8 x + 20 \\ \Rightarrow 6 x = 10 \\ \Rightarrow x = \frac{5}{3} \end{array}$

Thay $x = \frac{5}{3}$ ta thấy thảo mãn phương trình

Vậy khi $D (\frac{5}{3}; 0)$ thì DA=DB

b) Ta có: $\vec{O A} = (1; 3) \Rightarrow O A = | \vec{O A} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$

$\vec{O B} = (4; 2) \Rightarrow O B = | \vec{O B} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{A B} = (3; - 1) \Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$

Chu vi tam giác OAB là

$C_{O A B} = O A + O B + A B = \sqrt{10} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} = 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{5}$

c) $\vec{O A} . \vec{A B} = 1.3 + 3. (- 1) = 0 \Rightarrow O A ⊥ A B$

Tam giác OAB vuông tại A nên diện tích của tam giác là

$S_{O A B} = \frac{1}{2} O A . A B = \frac{1}{2} \sqrt{10} . \sqrt{10} = 5$

Bài 9 trang 45 Toán lớp 10: Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong các trường hợp sau

a) $\vec{a} = (2; - 3), \vec{b} = (6; 4)$

b) $\vec{a} = (3; 2), \vec{b} = (5; - 1)$

c) $\vec{a} = (- 2; - 2 \sqrt{3}), \vec{b} = (3; \sqrt{3})$

Phương pháp giải:

+) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

+) $\vec{a} . \vec{b} = x_{a} . x_{b} + y_{a} . y_{b}$

+) $| \vec{a} | = \sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2}}$

Lời giải:

a) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{2.6 + (- 3) .4}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}} . \sqrt{6^{2} + 4^{2}}} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$

b) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{3.5 + 2. (- 1)}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}} . \sqrt{5^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$

c) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{(- 2) .3 + (- 2 \sqrt{3}) . \sqrt{3}}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{3^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 150^{\circ}$

Bài 10 trang 45 Toán lớp 10: Cho bốn điểm $A (7; - 3), B (8; 4), C (1; 5), D (0; - 2)$ . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính độ dài các cạnh thông qua độ dài vecto => tứ giác là hình thoi

Bước 2: Chỉ ra một góc vuông thông qua tích vô hướng => đpcm

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (1; 7), \vec{A D} = (- 7; 1), \vec{C D} = (- 1; - 7)$ , $\vec{B C} = (- 7; 1)$

Suy ra $A B = \vec{A B} = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = 5 \sqrt{2}, A D = \vec{A D} = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 1^{2}} = 5 \sqrt{2},$

$C D = \vec{C D} = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 7)}^{2}} = 5 \sqrt{2}$ , $B C = \vec{B C} = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = 5 \sqrt{2}$

$\Rightarrow A B = B C = C D = D A = 5 \sqrt{2}$ (1)

Mặt khác ta có

$\cos (\vec{A B}, \vec{A D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A D}}{A B . A D} = \frac{1. (- 7) + 7.1}{5 \sqrt{2} .5 \sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \hat{A} = 90^{\circ}$ (2)

Từ (1) và(2) suy ra ABCD là hình vuông (đpcm)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Tọa độ của vectơ

1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ

1.1. Trục tọa độ

Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ $\vec{e}$ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.

Ta kí hiệu trục đó là $(O; \vec{e})$ .

1.2. Hệ trục tọa độ

Hệ trục tọa độ $(O; \vec{i}, \vec{j})$ gồm hai trục $(O; \vec{i})$ và $(O; \vec{j})$ vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục $(O; \vec{i})$ được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục $(O; \vec{j})$ được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ $(O; \vec{i}, \vec{j})$ còn được kí hiệu là Oxy.

Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

1.3. Tọa độ của một vectơ

Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu $\vec{a} = (x; y)$ , x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ $\vec{a}$ .

Ví dụ:

+) Cho $\vec{a} = 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$ .

Ta có cặp số (3; 2) là tọa độ của vectơ $\vec{a}$ .

Ta kí hiệu là $\vec{a} = (3; 2)$ .

Trong đó: 3 là hoành độ của vectơ $\vec{a}$ và 2 là tung độ của vectơ $\vec{a}$ .

+) Cho $\vec{p} = - 5 \vec{j} = 0 \vec{i} - 5 \vec{j}$ .

Ta có cặp số (0; –5) là tọa độ của vectơ $\vec{p}$ .

Ta kí hiệu là $\vec{p} = (0; - 5)$ .

Trong đó 0 là hoành độ của vectơ $\vec{p}$ và –5 là tung độ của vectơ $\vec{p}$ .

Chú ý:

• $\vec{a} = (x; y) \Leftrightarrow \vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

• Nếu cho $\vec{a} = (x; y)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'})$ thì $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} \end{cases}$ .

Ví dụ:

+) Ta có $\vec{h} = (- 1; 7) \Leftrightarrow \vec{h} = - 1. \vec{i} + 7 \vec{j} = - \vec{i} + 7 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{a} = (x; y)$ và $\vec{b} = (2; - 4)$ . Khi đó $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 4 \end{cases}$ .

Nghĩa là, $\vec{a} = (2; - 4)$ .

1.4. Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ, cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ được gọi là tọa độ của điểm M.

Nhận xét:

• Nếu $\vec{O M} = (x; y)$ thì cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.

• M(x; y) $\Leftrightarrow \vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

Ví dụ:

+) Nếu $\vec{O M} = (- 3; 8)$ thì cặp số (–3; 8) là tọa độ của điểm M.

Ta kí hiệu là M(–3; 8).

Trong đó –3 là hoành độ của điểm M và 8 là tung độ của điểm M.

+) Cho điểm M(4; 9) $\Leftrightarrow \vec{O M} = 4 \vec{i} + 9 \vec{j}$ .

Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x_M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y_M. Khi đó ta viết M(x_M; y_M).

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm M, N, P được biểu diễn như hình bên.

a) Hãy biểu diễn các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}, \vec{O P}$ qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}$ và các điểm M, N, P.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

+) $\vec{O M} = 3 \vec{i} + 3 \vec{j}$ .

+) $\vec{O N} = - 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$ .

+) $\vec{O P} = 0 \vec{i} - 2 \vec{j}$ .

Vậy $\vec{O M} = 3 \vec{i} + 3 \vec{j}$ , $\vec{O N} = - 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$ , $\vec{O P} = 0 \vec{i} - 2 \vec{j}$ .

b) Từ kết quả ở câu a), ta có:

+) $\vec{O M} = 3 \vec{i} + 3 \vec{j}$ $\Rightarrow \vec{O M} = (3; 3)$

$\Rightarrow \vec{m} = \vec{O M} = (3; 3)$ và M(3; 3).

+) $\vec{O N} = - 3 \vec{i} + 2 \vec{j} \Rightarrow \vec{O N} = (- 3; 2)$

$\Rightarrow \vec{n} = \vec{O N} = (- 3; 2)$ và N(–3; 2).

+) $\vec{O P} = 0 \vec{i} - 2 \vec{j} \Rightarrow \vec{O P} = (0; - 2)$

$\Rightarrow \vec{p} = \vec{O P} = (0; - 2)$ và P(0; –2).

Vậy $\vec{m} = (3; 3), \vec{n} = (- 3; 2), \vec{p} = (0; - 2)$ và M(3; 3), N(–3; 2), P(0; –2).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ và số thực k. Khi đó:

(1) $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2})$ ;

(2) $\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2})$ ;

(3) $k \vec{a} = (k a_{1}; k a_{2})$ ;

(4) $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2}$ .

Ví dụ: Cho hai vectơ $\vec{a} = (10; - 8), \vec{b} = (2; 5)$ .

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, 2 \vec{a}, \vec{a} + 4 \vec{b}$

b) Tính các tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ , $2 \vec{a} . (- 4 \vec{b})$ .

Hướng dẫn giải

a) Với $\vec{a} = (10; - 8), \vec{b} = (2; 5)$ ta có:

+) $\vec{a} + \vec{b} = (10 + 2; - 8 + 5) = (12; - 3)$ ;

+) $\vec{a} - \vec{b} = (10 - 2; - 8 - 5) = (8; - 13)$ ;

+) $2 \vec{a} = (2.10; 2. (- 8)) = (20; - 16)$ ;

+) $4 \vec{b} = (4.2; 4.5) = (8; 20)$ .

Ta suy ra $\vec{a} + 4 \vec{b} = (10 + 8; - 8 + 20) = (18; 12)$ .

Vậy $\vec{a} + \vec{b} = (12; - 3)$ , $\vec{a} - \vec{b} = (8; - 13)$ , $2 \vec{a} = (20; - 16)$ , $\vec{a} + 4 \vec{b} = (18; 12)$ .

b) Với $\vec{a} = (10; - 8), \vec{b} = (2; 5)$ ta có:

+) $\vec{a} . \vec{b} = 10.2 + (- 8) .5 = 20 - 40 = - 20$ ;

+) Từ kết quả câu a), ta có $2 \vec{a} = (20; - 16)$ và $4 \vec{b} = (8; 20)$ .

Ta suy ra $2 \vec{a} = (20; - 16)$ và $- 4 \vec{b} = (- 8; - 20)$ .

Khi đó ta có $2 \vec{a} . (- 4 \vec{b}) = 20. (- 8) + (- 16) . (- 20) = - 160 + 320 = 160$ .

Vậy $\vec{a} . \vec{b} = - 20$ và $2 \vec{a} . (- 4 \vec{b}) = 160$ .

3. Áp dụng của tọa độ vectơ

3.1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Ta có: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7). Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{A C}, \vec{C B}, \vec{B A}$ .

Hướng dẫn giải

Với A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7) ta có:

• $\vec{A C} = (x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}) = (5 - 2; - 7 - 5) = (3; - 12)$ .

• $\vec{C B} = (x_{B} - x_{C}; y_{B} - y_{C}) = (- 1 - 5; 1 - (- 7)) = (- 6; 8)$ .

• $\vec{B A} = (x_{A} - x_{B}; y_{A} - y_{B}) = (2 - (- 1); 5 - 1) = (3; 4)$ .

Vậy $\vec{A C} = (3; - 12), \vec{C B} = (- 6; 8), \vec{B A} = (3; 4)$ .

3.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Tọa độ trung điểm M(x_M; y_M) của đoạn thẳng AB là:

$x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}, y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Cho ∆ABC có A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C). Tọa độ trọng tâm G(x_G; y_G) của tam giác ABC là:

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}, y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$ .

Ví dụ: Cho ∆DEF có tọa độ các đỉnh là D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4).

a) Tìm tọa độ trung điểm H của cạnh EF.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆DEF.

Hướng dẫn giải

a) Với E(5; 8), F(9; 4):

Vì H là trung điểm của cạnh EF.

Ta suy ra $\{\begin{cases} x_{H} = \frac{x_{E} + x_{F}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7 \\ y_{M} = \frac{y_{E} + y_{F}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \end{cases}$

Vậy H(7; 6).

b) Với D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4):

Vì G là trọng tâm của ∆DEF.

Ta suy ra $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{D} + x_{E} + x_{F}}{3} = \frac{3 + 5 + 9}{3} = \frac{17}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{D} + y_{E} + y_{F}}{3} = \frac{1 + 8 + 4}{3} = \frac{13}{3} \end{cases}$

Vậy $G (\frac{17}{3}; \frac{13}{3})$ .

3.3. Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Ta có:

• $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ ;

• $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương ⇔ a₁b₂ – a₂b₁ = 0;

• $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$ ;

• $A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ ;

• $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$ ( $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ ).

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆MNP có M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).

a) Tìm tọa độ H là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N.

b) Giải tam giác MNP.

Hướng dẫn giải

a) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).

Gọi H(x; y).

Ta có:

+) $\vec{N H} = (x - (- 3); y - (- 2)) = (x + 3; y + 2)$ .

+) $\vec{M H} = (x - 2; y - 1)$ .

+) $\vec{M P} = (7 - 2; - 8 - 1) = (5; - 9)$

Vì H(x; y) là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N nên ta có NH ⊥ MP.

Ta suy ra $\vec{N H} ⊥ \vec{M P}$ .

Do đó $\vec{N H} . \vec{M P} = 0$ .

⇔ (x + 3).5 + (y + 2).( –9) = 0.

⇔ 5x – 9y – 3 = 0 (1).

Ta thấy hai vectơ $\vec{M H}, \vec{M P}$ cùng phương

⇔ (x – 2).( –9) – (y – 1).5 = 0.

⇔ –9x – 5y + 23 = 0 (2).

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} 5 x - 9 y - 3 = 0 \\ - 9 x + 5 y + 23 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{24}{7} \\ y = \frac{11}{7} \end{cases}$

Vậy $H (\frac{24}{7}; \frac{11}{7})$ .

b) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) ta có:

+) $\vec{M N} = (- 5; - 3)$ và $\vec{N M} = (5; 3)$

$\Rightarrow M N = |\vec{M N}| = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{34}$ .

+) $\vec{N P} = (10; - 6)$ . $\Rightarrow N P = |\vec{N P}| = \sqrt{10^{2} + {(- 6)}^{2}} = 2 \sqrt{34}$ .

+) $\vec{M P} = (5; - 9)$ .

$\Rightarrow M P = |\vec{M P}| = \sqrt{5^{2} + {(- 9)}^{2}} = \sqrt{106}$ .

+) $\cos M = \cos (\vec{M N}, \vec{M P}) = \frac{\vec{M N} . \vec{M P}}{M N . M P} = \frac{- 5.5 + (- 3) . (- 9)}{\sqrt{34} . \sqrt{106}} \approx 0, 033$ .