Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ chi tiết sách Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

Giải toán lớp 10 trang 59 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 59 Toán lớp 10: Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm $I\left(a;b\right)$ và $M\left(x;y\right)$trong mặt phẳng Oxy

Lời giải:

Khoảng cách hai điểm M,I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto $\overrightarrow{MI}$

$\overrightarrow{MI}=\left(a-x;b-y\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{MI}\right|=\sqrt{{\left(a-x\right)}^2+{\left(;b-y\right)}^2}$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $I\left(a;b\right)$ và $M\left(x;y\right)$ là $\sqrt{{\left(a-x\right)}^2+{\left(;b-y\right)}^2}$

Giải toán lớp 10 trang 60 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 60 Toán lớp 10: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)  (C) có tâm $O\left(0;0\right)$, bán kính $R=4$

b) (C) có tâm $I\left(2;-2\right)$, bán kính $R=8$

c) (C) đi qua 3 điểm $A(1;4),B(0;1),C(4;3)$

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ và bán kính R là ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$

c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.

Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.

Lời giải:

a) Đường tròn (C) tâm $O\left(0;0\right)$, bán kính $R=4$ có phương trình là: $x^2+y^2=16$

b) Đường tròn (C) tâm $I\left(2;-2\right)$, bán kính $R=8$ có phương trình: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=64$

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: $M\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right),N\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Đường trung trực $\mathrm{\Delta }$của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  M và nhận vt $\overrightarrow{BA}=(1;3)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $x+3y-8=0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  N và nhận vt $\overrightarrow{AC}=(3;-1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $3x-y-4=0$

$\mathrm{\Delta }$ cắt d tại điểm $I(2;2)$ cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(2;2)$ và có bán kính $R=IA=\sqrt{5}$. Vậy (C) có phương trình: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=5$

Giải toán lớp 10 trang 61 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 61 Toán lớp 10: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó

a) $x^2+y^2-2x-4y-20=0$

b) ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=121$

c) $x^2+y^2-4x-8y+5=0$

d) $2x^2+2y^2+6x+8y-2=0$

Phương pháp giải:

+) Phương trình có dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$là đường tròn với tâm $I(a;b)$ và bán kính R

+) Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$, khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=1,b=2,c=-20$

Ta có $a^2+b^2-c=1+4+20=25>0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I(1;2)$ và có bán kính $R=\sqrt{25}=5$

b) Phương trình ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=121$ là phương trình dường tròn với tâm $I(-5;-1)$ và bán kinh $R=\sqrt{121}=11$

c) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=-3,b=-2,c=-2$

Ta có $a^2+b^2-c=9+4+2=15>0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I(-3;-2)$ và có bán kính $R=\sqrt{15}$

d) Phương trình không có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn

Vận dụng 1 trang 61 Toán lớp 10: Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới

Phương pháp giải:

Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R

Phương trình là: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: tâm $I(30;40)$ và bán kính $R=50$

Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:

${\left(x-30\right)}^2+{\left(y-40\right)}^2={50}^2$

Vận dụng 2 trang 61 Toán lớp 10: Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình ${\left(x-13\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16$

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)

b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C  như sau: $A(11;4).B(8;5),C(15;5)$.Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Phương pháp giải:

a) Với phương trình thì tâm là ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$thì tâm là $I(a;b)$ và bán kính R

b)         Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng

Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính

+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng

+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng

Lời giải:

a) (C) có phương trình ${\left(x-13\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16$nên có tâm là $I(13;4)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$

 b) Ta có: $IA=\sqrt{{\left(11-13\right)}^2+{\left(4-4\right)}^2}=2,IB=\sqrt{{\left(8-13\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{26}$

$IC=\sqrt{{\left(15-13\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{5}$

$2<4\Rightarrow IA<R$, suy ra diễn viên A được chiếu sáng

$\sqrt{26}>4\Rightarrow IB>R$, suy ra diễn viên B không được chiếu sáng

$\sqrt{5}<4\Rightarrow IC<R$, suy ra diễn viên C được chiếu sáng

Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Khám phá 2 trang 61 Toán lớp 10: Cho điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$và cho điểm$M(x;y)$ tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến với $(C)$ tại $M_0$

a) Viết biểu thức tọa độ của hai vt $\overrightarrow{M_{0}M}$ và $\overrightarrow{M_{0}I}$

b) Viết biểu thức tọa độ  của tích vô hướng của hai vt $\overrightarrow{M_{0}M}$ và $\overrightarrow{M_{0}I}$

c) Phương trình $\overrightarrow{M_{0}M}.\overrightarrow{M_{0}I}=0$là phương trình của đường thẳng nào?

Phương pháp giải:

a) Với $A(a;b),B(x;y)$ thì tọa độ của vt $\overrightarrow{AB}=(x-a;y-b)$

b) Với $\overrightarrow{a}=\left(a,b\right),\overrightarrow{b}=(x;y)$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=ax+by$

c) Từ tích vô hướng đưa ra kết luận là $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_0;y-y_0\right)$, $\overrightarrow{M_{0}I}=\left(a-x_0;b-y_0\right)$

Lời giải:

a) Biểu thức tọa độ của hai vt $\overrightarrow{M_{0}M}$ và $\overrightarrow{M_{0}I}$ là $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_0;y-y_0\right)$, $\overrightarrow{M_{0}I}=\left(a-x_0;b-y_0\right)$

b) Ta có:

$\overrightarrow{M_{0}M}.\overrightarrow{M_{0}I}=\left(x-x_0\right)\left(a-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)$

c) $\overrightarrow{M_{0}M}.\overrightarrow{M_{0}I}=0\Rightarrow \overrightarrow{M_{0}M}\mathrm{\perp }\overrightarrow{M_{0}I}$

Mà $M_{0}I$ là đoạn thẳng nối tâm với điểm nằm ngoài

Vậy ta thấy pt đường thẳng $M{M}_0$ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M_0$

Giải toán lớp 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 62 Toán lớp 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-20=0$ tại điểm $A(4;6)$

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I(a;b)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$nằm trên đường tròn là: $\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0$

Lời giải:

Ta có $4^2+6^2-2.4-4.6-20=0$, nên điểm A thuộc (C)

Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-20=0$ có tâm $I(1;2)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $A(4;6)$ là:

$\begin{array}{l}\left(4-1\right)\left(x-4\right)+\left(6-2\right)\left(y-6\right)=0\\ \iff 3x+4y+16=0\end{array}$

Vận dụng 3 trang 62 Toán lớp 10: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn $(C)$ có phương trình:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{169}{144}$.

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm $M\left(\frac{17}{12};2\right)$ thì buông đĩa (hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm M

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I(a;b)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$nằm trên đường tròn là: $\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0$

Lời giải:

Ta có ${\left(\frac{17}{12}-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2=\frac{169}{144}$, nên điểm M  thuộc (C)

Đường tròn ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{169}{144}$ có tâm $I(1;1)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M\left(\frac{17}{12};2\right)$ là:

$\begin{array}{l}\left(\frac{17}{12}-1\right)\left(x-\frac{17}{12}\right)+\left(2-1\right)\left(y-2\right)=0\\ \iff \frac{5}{2}x+y-\frac{133}{24}=0\end{array}$

Bài tập (trang 62, 63)

Bài 1 trang 62 Toán lớp 10: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2+y^2-6x-8y+21=0$

b) $x^2+y^2-2x+4y+2=0$

c) $x^2+y^2-3x+2y+7=0$

d) \(2{x^2} + 2{y^2} + x + y - 1 

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=3,b=4,c=21$

Ta có $a^2+b^2-c=9+16-21=4>0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I(3;4)$ và có bán kính $R=\sqrt{4}=2$

b) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=1,b=-2,c=2$

Ta có $a^2+b^2-c=1+4-2=3>0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I(1;-2)$ và có bán kính $R=\sqrt{3}$

c) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=\frac{3}{2},b=-1,c=7$

Ta có $a^2+b^2-c=\frac{9}{4}+1-7=-\frac{15}{4}<0$. Vậy đây không là phương trình đường tròn.

d) Phương trình không có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.

Bài 2 trang 62 Toán lớp 10: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(1;5)$ và bán kính $r=4$

b) $(C)$ có đường kính MN với $M(3;-1)$và $N(9;3)$

c) $(C)$ có tâm $I(2;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $5x-12y+12=0$

d) $(C)$ có tâm $A(1;-2)$ và đi qua điểm $B(4;-5)$

Lời giải:

a) Đường tròn (C) tâm $I(1;5)$, bán kính $r=4$ có phương trình là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=16$

b) $MN=\sqrt{{\left(9-3\right)}^2+{\left(3-(-1)\right)}^2}=2\sqrt{13}$, suy ra bán kính là $\sqrt{13}$

Tâm của đường tròn là trung điểm của MN: $I(6;1)$

Đường tròn (C) tâm $I\left(6;1\right)$và bán kính là $\sqrt{13}$ có phương trình: ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=13$

c) Ta có bán kính của đường tròn $r=d\left(I,d\right)=\frac{\left|5.2-12.1+11\right|}{\sqrt{5^2+{12}^2}}=\frac{9}{13}$

Đường tròn (C) tâm $I\left(2;1\right)$và bán kính là $\frac{9}{13}$ có phương trình: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{81}{169}$

d) Bán kính của đường tròn là $r=AB=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left((-5)-(-2)\right)}^2}=3\sqrt{2}$

Đường tròn (C) tâm $A(1;-2)$và bán kính là $3\sqrt{2}$ có phương trình: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=18$

Bài 3 trang 62 Toán lớp 10: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) $M(2;5),N(1;2),P(5;4)$

b) $A(0;6),B(7;7),C(8;0)$

Lời giải:

a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: $A\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right),B\left(\frac{7}{2};\frac{9}{2}\right)$

Đường trung trực $\mathrm{\Delta }$của đoạn  thẳng MN  là đường thẳng đi qua  $A\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{MN}=(-1;-3)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $-x-3y+12=0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng MP  là đường thẳng đi qua  $B\left(\frac{7}{2};\frac{9}{2}\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{MP}=(3;-1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $3x-y-6=0$

$\mathrm{\Delta }$ cắt d tại điểm $I(3;3)$ cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(3;3)$ và có bán kính $R=IM=\sqrt{5}$. Vậy (C) có phương trình: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5$

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: $M\left(\frac{7}{2};\frac{13}{2}\right),N\left(4;3\right)$

Đường trung trực $\mathrm{\Delta }$của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  $M\left(\frac{7}{2};\frac{13}{2}\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{BA}=(-7;-1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $-7x-y+31=0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  $N\left(4;3\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{AC}=(8;-6)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $8x-6y-14=0$

$\mathrm{\Delta }$ cắt d tại điểm $I(4;3)$ cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(4;3)$ và có bán kính $R=IA=5$. Vậy (C) có phương trình: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$

Bài 4 trang 62 Toán lớp 10: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm $A(4;2)$

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là điểm $I(a;b)$

Ta có: $IA=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2},d\left(I,Ox\right)=b,d\left(I,Oy\right)=a$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}d\left(I,Ox\right)=IA\\ d\left(I,Oy\right)=IA\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}\\ a=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}\end{array}$

Thay $a=b$ vào phương trình $a=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}$ ta có:

$\begin{array}{l}a=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(a-2\right)}^2}\\ \Rightarrow a^2={\left(a-4\right)}^2+{\left(a-2\right)}^2\\ \Rightarrow a^2-12a+20=0\\ \Rightarrow [\begin{array}{l}a=10\\ a=2\end{array}\end{array}$

Với $a=b=2$ ta có phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$

Với $a=b=10$ ta có phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-10\right)}^2+{\left(y-10\right)}^2=100$

Giải toán lớp 10 trang 63 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 63 Toán lớp 10: Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2-2x-4y-20=0$

a) Chứng tỏ rằng điểm $M(4;6)$ thuộc đường tròn $(C)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4;6)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$song song với đường thẳng $4x+3y+2022=0$

Lời giải:

a) Thay điểm $M(4;6)$vào phương trình đường tròn $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ta có:

$4^2+6^2-2.4-4.6-20=0$

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm $I(1;2)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M(4;6)$ là:

$\begin{array}{l}\left(4-1\right)\left(x-4\right)+\left(6-2\right)\left(y-6\right)=0\\ \iff 3x+4y+16=0\end{array}$

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng $4x+3y+2022=0$ nên phương trình có dạng $d:4x+3y+c=0$

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: $I(1;2),r=\sqrt{1^2+2^2+20}=5$

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: $d\left(I,d\right)=\frac{\left|4.1+3.2+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\Rightarrow [\begin{array}{l}c=15\\ c=-35\end{array}$

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $4x+3y+2022=0$ là $d_1:4x+3y+15=0,d_2:4x+3y-35=0$

Bài 6 trang 63 Toán lớp 10: Một cái cầu hình bán nguyệt rộng 8,4 m cao 4,2 m như hình 5. Mặt đường dưới cộng được chia thành hai làn cho xe ra vào.

a) Vết phương trình mô phỏng cái cổng.

b) Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng và không làm hư hỏng cổng hay không?

Lời giải:

a) Ta thấy cổng có hình bán nguyệt và chiều cao của cổng bằng một nửa chiều rộng của đường nên nó có dạng nửa đường tròn

Gắn trục tọa độ tại tim đường, ta có phương trình mô phỏng cái cổng là : $x^2+y^2=4,2^2$ (với điều kiện $y>0$ vì cổng luôn nằm trên mặt đường)

b) Vì xe đi đúng làn nên ta có $x=2,2;y=2,6$

Khoảng cách từ điểm xa nhất của chiếc xe tài tới tim đường là: $\sqrt{2,2^2+2,6^2}\simeq 3,41$

Ta thấy rằng $3,41<4,2$, nên chiếc xe có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.

Phương trình (x – a)² + (y – b)² = R² được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.

b) (C) có đường kính AB với A(1; 6), B(–3; 2).

c) (C) đi qua ba điểm A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)² +(y + 3)² = 4.

b) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đường kính AB nên I là trung điểm AB.

Với A(1; 6), B(–3; 2).

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1-3}{2}=-1\\ b=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+2}{2}=4\end{array}\right.$

Khi đó ta có tọa độ I(–1; 4).

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(2;2\right)$.

Suy ra $R=IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 4), bán kính $R=2\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 4)² = 8.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Ta có M là trung điểm AB với A(–2; 4), B(5; 5).

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$

Khi đó ta có $M\left(\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)$.

Tương tự, ta có N(2; 1).

Với A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(7;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(8;-6\right)$.

Đường trung trực d₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm $M\left(\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(7;1\right)$.

Suy ra phương trình d₁: $7\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(y-\frac{9}{2}\right)=0\iff 7x+y-15=0$.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d₂ của đoạn thẳng AC:

8(x – 2) – 6(y – 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 5 = 0.

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).

Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d₁ của đoạn thẳng AB.

Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d₂ của đoạn thẳng AC.

Vì vậy ta suy ra I là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}7x+y-15=0\\ 4x-3y-5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Suy ra I(2; 1).

Với I(2; 1) và A(–2; 4) ta có $\overrightarrow{IA}=\left(-4;3\right)$.

Suy ra $R=IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2}=5$.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 1)² = 25.

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) (x – 4)² + (y – 10)² = 9.

b) (x + 2)² + (y – 5)² = 64.

c) x² + (y – 1)² = 36.

Hướng dẫn giải

a) (x – 4)² + (y – 10)² = 9

Đường tròn (C) có tâm I(4; 10), bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

b) (x + 2)² + (y – 5)² = 64

Đường tròn (C) có tâm I(–2; 5), bán kính $R=\sqrt{64}=8$.

c) x² + (y – 1)² = 36.

Đường tròn (C) có tâm I(0; 1), bán kính $R=\sqrt{36}=6$.

Nhận xét: Ta có (x – a)² + (y – b)² = R²

⇔ x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

Vậy phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² có thể được viết dưới dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a² + b² – R².

Ngược lại, phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Ví dụ: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² + 2x – 6y – 15 = 0.

b) 2x² + 2y² + 4x + 8y + 14 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 3, c = –15.

Ta có a² + b² – c = 1 + 9 + 15 = 25 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5.

b) Ta có 2x² + 2y² + 4x + 8y + 14 = 0 ⇔ x² + y² + 2x + 4y + 7 = 0.

Phương trình trên có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = –2, c = 7.

Ta có a² + b² – c = 1 + 4 – 7 = –2 < 0.

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn là:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 5 tại điểm M(3; –1).

Hướng dẫn giải

Ta có (3 – 2)² + (–1 + 3)² = 5.

Suy ra M ∈ (C).

Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).

Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:

(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.

⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.

⇔ –x – 2y + 1 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.