Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ chi tiết sách Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

1. Elip

Giải toán lớp 10 trang 63 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 63 Toán lớp 10:

Lời giải:

Qua bài học ta thấy rằng hình dạng của các đường là phương trình chính tắc của chúng như sau:

(E) có tên gọi là elip, phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

(H) có tên gọi là hypebol, phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

(P) có tên gọi là parabol, phương trình: $y^2=2px$

Giải toán lớp 10 trang 64 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 64 Toán lớp 10: Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm $F_1$ và $F_2$. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi  có độ dài lớn hơn hai lần đoạn $F_1{F}_2$. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách $F_1{F}_2$ và $2a+2c$ là độ dài của vòng dây.

Tính tổng hai khoảng cách $F_{1}M$ và $F_{2}M$

Lời giải:

Ta có chiều dài vòng dây là:

$M{F}_1+F_1{F}_2+F_{2}M=2a+2c\Rightarrow M{F}_1+F_{2}M=2a+2c-F_1{F}_2=2a$

Vậy tổng khoảng cách $F_{1}M$ và $F_{2}M$ là 2a

Khám phá 2 trang 64 Toán lớp 10: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và đặt $F_1{F}_2=2c$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$

Xét điểm $M(x;y)$

a) Tính $F_{1}M$ và $F_{2}M$ theo x, y và c

b) Giải thích phát biểu sau:

$M(x;y)\in (E)\iff \sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Lời giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{F_{1}M}=\left(x+c;y\right)\Rightarrow F_{1}M=\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$

$\overrightarrow{F_{2}M}=\left(x-c;y\right)\Rightarrow F_{2}M=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$

b) Ta có $M(x;y)\in (E)$ nên $F_{1}M+F_{2}M=2a\iff \sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$

Giải toán lớp 10 trang 65 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 65 Toán lớp 10: Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $M(x;y)\in (E);b=\sqrt{a^2-c^2}$

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy $a=3,c=2\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

Vận dụng 1 trang 65 Toán lớp 10: Một đường hầm có mặt các hình nửa Elip cao 4 m, rộng 10 m (hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $M(x;y)\in (E);b=\sqrt{a^2-c^2}$

Lời giải:

Chiều cao là 4 m tương ứng với $c=4$

Chiều rộng bằng 10 m nên $2a=10\Rightarrow a=5$

Suy ra $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

2. Hypebol

Khám phá 3 trang 65 Toán lớp 10: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm $F_1$ và $F_2$. Lấy một cây thước thẳng với mép thước  AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho $d-l=2a$ nhỏ hơn khoảng cách $F_1{F}_2$ (hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm $F_2$. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm $F_1$. Tựa đầu bút chì vào dây, di chuyển điểm M trên tấm bìa và giữ sao cho dây luôn căng, đoạn AM ép sát vào thước, khi đó M sẽ gạch lên tấm bìa một đường (H) (xem hình 6b)

a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có $M{F}_1-M{F}_2=2a$

b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào $F_1$, đầu B của thước trùng với $F_2$ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh $F_2$và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (hình 6c). Tính $M{F}_2-M{F}_1$

Lời giải:

a) Khi điểm M trùng với điểm A ta có:

$M{F}_1-M{F}_2=A{F}_1-A{F}_2=AB-A{F}_2=d-l=2a$

b) Tương tự khi điểm M trùng với điểm A ta có:

$M{F}_2-M{F}_1=A{F}_2-A{F}_1=AB-A{F}_1=d-l=2a$

Giải toán lớp 10 trang 66 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 4 trang 66 Toán lớp 10: Cho hyperbol  (H) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và đặt điểm $F_1{F}_2=2c$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$

Xét điểm $M(x;y)$

a) Tính $F_{1}M$ và $F_{2}M$ theo x, y và c

b) Giải thích phát biểu sau:

$M(x;y)\in (H)\iff \left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Lời giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{F_{1}M}=\left(x+c;y\right)\Rightarrow F_{1}M=\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$

$\overrightarrow{F_{2}M}=\left(x-c;y\right)\Rightarrow F_{2}M=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$

b) Ta có $M(x;y)\in (E)$ nên $\left|F_{1}M-F_{2}M\right|=2a\iff \left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$

Giải toán lớp 10 trang 67 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 67 Toán lớp 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $M(x;y)\in (H);b=\sqrt{c^2-a^2}$

Lời giải:

Ta có: $2c=10\Rightarrow c=5,2b=6\Rightarrow b=3$

Suy ra $a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Vận dụng 2 trang 67 Toán lớp 10: Một tháp làm nguội của một nhà cát có mặt cắt là một hypebol có phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$ (hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol  bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tìm bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định khoảng cách từ tâm đến đỉnh tháp và đáy tháp

Bước 2: Từ kết quả vừa tìm thay vào phương trình hypebol y bằng kết quả đó tìm x (Chỉ lấy kết quả dương)

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đỉnh tháp là z

Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là 2z

Ta có $z+2z=120\Rightarrow z=40$

Thay $y=40$ vào phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$ ta tìm được $x=27\sqrt{2}$

Thay $y=80$ vào phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$ ta tìm được $x=27\sqrt{5}$

Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là $27\sqrt{2}$ và $27\sqrt{5}$

3. Parabol

Giải toán lớp 10 trang 68 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khám phá 5 trang 68 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $F\left(0;\frac{1}{2}\right)$, đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y+\frac{1}{2}=0$ và điểm $M(x;y)$. Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho $M$ cách đều  F và $\mathrm{\Delta }$, một học sinh đã làm như sau:

+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên $\mathrm{\Delta }$):

$MF=\sqrt{x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2},MH=d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\left|y+\frac{1}{2}\right|$

+) Điều kiện để M cách đều F  và $\mathrm{\Delta }$:

$\begin{array}{l}MF=d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)\iff \sqrt{x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2}=\left|y+\frac{1}{2}\right|\\ \iff x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2\\ \iff x^2=2y\iff y=\frac{1}{2}{x}^2(\ast )\end{array}$

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Lời giải:

Đồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.

Khám phá 6 trang 68 Toán lớp 10: Cho parabol (P) có tiêu điểm F  và đường chuẩn $\mathrm{\Delta }$. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên $p>0$

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ và $\mathrm{\Delta }:x+\frac{p}{2}=0$

Xét điểm $M(x;y)$

a) Tính MF và $d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)$

b) Giải thích biểu thức sau:

$M(x;y)\in (P)\iff \sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{FM}=\left(x-\frac{p}{2};y\right)\Rightarrow MF=\left|\overrightarrow{FM}\right|=\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$

$d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|x+\frac{p}{2}\right|}{1}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$

b) M thuộc parabol (P) nên M cách đều F và $\mathrm{\Delta }$

Suy ra $MF=d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)\iff \sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x-\frac{p}{2}\right|$

Giải toán lớp 10 trang 70 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 70 Toán lớp 10: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn $\mathrm{\Delta }:x+1=0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ phương trình đường chuẩn tìm tọa độ của tiêu điểm (phương trình đường chuẩn có dạng $x+\frac{p}{2}=0$

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $M(x;y)\in (P)$

Lời giải:

Từ phương trình đường chuẩn $\mathrm{\Delta }:x+1=0$ ta có tiêu điểm $F\left(1;0\right)$

Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2x$

Vận dụng 3 trang 70 Toán lớp 10: Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi phương trình của parabol một cách tổng quát

Bước 2: Thay các giả thiết tìm tiêu điểm

Bước 3: Thay $x=2$ vào phương trình chính tắc tìm y

Lời giải:

Vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình dưới

Gọi phương trình của parabol là $y^2=2px$

Ta có chiều cao của cổng $OH=BK=10$, chiều rộng tại chân cổng $BD=2BH=5$

Vậy điểm B có tọa độ là $B\left(10;\frac{5}{2}\right)$

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol ta có:

${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=2p.10\Rightarrow p=\frac{5}{16}$, suy ra phương trình parabol có dạng $y^2=\frac{5}{8}x$

Thay $x=2$ vào phương trình $y^2=\frac{5}{8}x$ ta tìm được $y=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m là $\sqrt{5}$ m

Bài tập (trang 70, 71)

Bài 1 trang 70 Toán lớp 10: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16

b) Hypebol có tiêu cự $2c=20$ và độ dài trục thực $2a=12$

c) Parabol có tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$

Lời giải:

a) Ta có $2a=20\Rightarrow a=10,2c=16\Rightarrow c=8$, suy ra $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2+8^2}=6$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

b) Ta có $2a=12\Rightarrow a=6,2c=20\Rightarrow c=10$, suy ra $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$

c) Ta có tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$ suy ra $p=1$

Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2=2x$

Bài 2 trang 70 Toán lớp 10: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

a) $(C_1):4x^2+16y^2=1$

b) $(C_2):16x^2-4y^2=144$

c) $(C_3):x=\frac{1}{8}{y}^2$

Lời giải:

a) Ta thấy phương trình có dạng $a{x}^2+b{y}^2=1$ nên phương trình $(C_1):4x^2+16y^2=1$ là phương trình của đường elip

Từ phương trình $(C_1):4x^2+16y^2=1$ ta có phương trình chính tắc là $(C_1):\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4}\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra tiêu điểm của elip này là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$

b) Ta thấy phương trình có dạng $a{x}^2-b{y}^2=1$ nên phương trình $(C_2):16x^2-4y^2=144$ là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình $(C_2):16x^2-4y^2=144$ ta có phương trình chính tắc là $(C_1):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a=3,b=4\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là $F_1\left(-5;0\right)$ và $F_2\left(5;0\right)$

c) Phương trình $(C_3):x=\frac{1}{8}{y}^2$ có dạng $y^2=ax$ nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là $y^2=8x$

Từ phương trình chính tắc ta có: $2p=8\Rightarrow p=4$

Suy ra tiêu điểm là $F(2;0)$

Bài 3 trang 70 Toán lớp 10: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình Elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước là 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh trên 2 điểm đó trên tấm ván.

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M  rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa bao nhiêu xentimets và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Từ giải thiết ta có: $2a=80\Rightarrow a=40,2c=40\Rightarrow c=20$

Suy ra vị trí đinh cách mép là $a-c=40-20=20$ cm

Chiều dài vòng dây là $2a+2c=2.40+2.20=120$ cm

Vậy phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa 20 cm và lấy vòng dây có độ dài là 120 cm

Giải toán lớp 10 trang 71 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 71 Toán lớp 10: Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (hình 16)

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm

Lời giải:

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$   (với a,b>0)

Ta có chiều cao 8 m nên $OA=h=5$, chiều rộng của vòm là 20 m, suy ra $BC=2OB=20\Rightarrow OB=10$

Từ đó ta có tọa độ các điểm: $C(10;0),A(0;5)$

Thay hai điểm đó vào phương trinh chính tắc ta có:

$\{\begin{array}{l}\frac{{10}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\\ \frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=10\\ b=5\end{array}$

Suy ra, phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$

b) Điểm đó cách chân tưởng 5 m tương ứng cách tâm 5 m (vì từ tâm vòm đến tưởng là 10 m)

Thay $x=5$ vào phương trình $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$, ta tìm được $y=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Vậy khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm là $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ m

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$ (hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp