Giải toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Lữ Ngọc My My Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

2.1 K

Với Giải toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là $A (1; 1), B (5; 2), C (4; 4)$ . Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng AB, AC, BC

Bước 2: Đường của kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (tương tự các đường cao còn lại)

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (4; 1), \vec{A C} = (3; 3), \vec{B C} = (- 1; 2)$

+) Đường thẳng AB nhận vectơ $\vec{A B} = (4; 1)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (1; - 4)$ và đi qua điểm $A (1; 1)$ , suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

$(x - 1) - 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 4 y + 3 = 0$

Độ dài đường cao kẻ từ C chính là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB

$d (C, A B) = \frac{| 4 - 4.4 + 3 |}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}}} = \frac{9 \sqrt{17}}{17}$

+) Đường thẳng BC nhận vectơ $\vec{B C} = (- 1; 2)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (2; 1)$ và đi qua điểm $B (5; 2)$ , suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

$2 (x - 5) + (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 12 = 0$

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

$d (A, B C) = \frac{| 2.1 + 1 - 12 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$

+) Đường thẳng AC nhận vectơ $\vec{A C} = (3; 3)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{3}} = (1; - 1)$ và đi qua điểm $A (1; 1)$ , suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AC là:

$(x - 1) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0$

Độ dài đường cao kẻ từ B chính là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC

$d (B, A C) = \frac{| 5 - 2 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1} : 4 x - 3 y + 2 = 0$ và $d_{2} : 4 x - 3 y + 12 = 0$

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điềm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại

Lời giải:

Ta thấy hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia

Chọn điểm $A (0; 4) \in d_{2}$ , suy ra $d (d_{1}, d_{2}) = d (A, d_{1}) = \frac{| 4.0 - 3.4 + 2 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1} : 4 x - 3 y + 2 = 0$ và $d_{2} : 4 x - 3 y + 12 = 0$ là 2

Bài 1 trang 57 Toán lớp 10: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm $A (- 1; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1)$

b) d đi qua điểm $B (4; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; - 2)$

c) d đi qua $P (1; 1)$ và có hệ số góc $k = - 2$

d) d đi qua hai điểm $Q (3; 0)$ và $R (0; 2)$

Lời giải:

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A (- 1; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1)$ , nên có phương trình tham số là:

${\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 5 + t \end{cases}$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1)$ ,nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n} = (1; - 2)$ và đi qua $A (- 1; 5)$

Ta có phương trình tổng quát là

$(x + 1) - 2 (y - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 11 = 0$

b) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; - 2)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 3)$ , và đi qua điểm $B (4; - 2)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :

${\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = - 2 + 3 t \end{cases}$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B (4; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; - 2)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$(x - 4) - 2 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 8 = 0$

c) Đường thẳng $d$ có dạng $y = a x + b$

d đi qua $P (1; 1)$ và có hệ số góc $k = - 2$ nên ta có:

$1 = - 2.1 + b \Rightarrow b = 3$

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng $y = - 2 x + 3$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là $y + 2 x - 3 = 0$

Suy ra đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2)$ , nên có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; - 1)$ và đi qua điểm $P (1; 1)$ nên ta có phương trình tham số của d là :

${\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \end{cases}$

d) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $Q (3; 0)$ và $R (0; 2)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \vec{Q R} = (- 3; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 3)$

Phương trình tham số của $Δ$ là: ${\begin{cases} x = 3 - 3 t \\ y = 2 t \end{cases}$

Phương trình tổng quát của $Δ$ là: $2 (x - 3) + 3 (x - 0) =\Leftrightarrow 2 x + 3 y - 6 = 0$

Bài 2 trang 57 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC biết $A (2; 5), B (1; 2)$ và $C (5; 4)$

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC

b) Lập phương trình tham số của đường trung tuyến AM

c) Lập phương trình của đường cao AH

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B C} = (4; 2)$ $\Rightarrow V T P T : \vec{n_{B C}} = (2; - 4)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua điểm $B (1; 2)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (2; - 4)$ làm VTPT là:

$2 (x - 1) - 4 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 4 y + 6 = 0$

b) M là trung điểm của BC nên ta có tọa độ điểm M là $M (3; 3)$

Đường thẳng AM đi qua điểm $A (2; 5)$ và nhận vectơ $\vec{A M} = (1; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của trung tuyến AM là:

${\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 - 2 t \end{cases}$

c) Ta có: $A H ⊥ B C$ nên đường cao AH nhận vectơ $\vec{B C} = (4; 2)$ làm vectơ pháp tuyến

Đường thẳng AH đi qua $A (2; 5)$ và nhận vectơ $\vec{B C} = (4; 2)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ta phương trình tổng quát của đường cao AH là:

$4 (x - 2) + 2 (y - 5) = 0 \Leftrightarrow 4 x + 2 y - 18 = 0$

Bài 3 trang 57 Toán lớp 10: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ$ đi qua $A (2; 1)$ và song song với đường thẳng $3 x + y + 9 = 0$

b) $Δ$ đi qua $B (- 1; 4)$ và vuông góc với đường thẳng $2 x - y - 2 = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số

Lời giải:

a) $Δ$ song song với đường thẳng $3 x + y + 9 = 0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; 1)$

$Δ$ đi qua điểm $A (2; 1)$ nên ta có phương trình tổng quát

$3 (x - 2) + (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x + y - 7 = 0$

$Δ$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1)$ nên có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; - 3)$

Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là:

${\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 3 t \end{cases}$

b) $Δ$ vuông góc với đường thẳng $2 x - y - 2 = 0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; - 1)$

$Δ$ đi qua điểm $B (- 1; 4)$ nên ta có phương trình tham số: ${\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 4 - t \end{cases}$

$Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; - 1)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ là:

$(x + 1) + 2 (y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - 7 = 0$

Bài 4 trang 57 Toán lớp 10: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ sau đây:

a) $d_{1} : x - y + 2 = 0$ và $d_{2} : x + y + 4 = 0$

b) $d_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$ và $d_{2} : 5 x - 2 y + 9 = 0$

c) $d_{1} : {\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 5 + 3 t \end{cases}$ và $d_{2} : 3 x + y - 11 = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng: $(a_{1}; b_{1}) v à (a_{2}; b_{2})$

Bước 2:

+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.

=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.

2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d2.

+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng

Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.

=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm

Lời giải:

a) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; - 1), \vec{n_{2}} = (1; 1)$

Ta có $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.1 + (- 1) .1 = 0$ nên $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y + 4 = 0 \end{cases}$ ta được nghiệm ${\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 1 \end{cases}$

Suy ra hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại $M (- 3; - 1)$

b) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (5; - 2), \vec{n_{2}} = (5; - 2)$

$\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A (1; 3)$ thuộc $d_{1}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{2}$ , ta được $5.1 - 2.3 + 9 = 8 \neq 0$ , suy ra A không thuộc đường thẳng $d_{2}$