Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

Video bài giảng Hàm số bậc hai - Chân trời sáng tạo

Giải toán lớp 10 trang 49 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động trang 49 Toán lớp 10: Các hàm số này có chung đặc điểm gì?

Lời giải:

Các hàm số này có bậc cao nhất là 2, hệ số của $x^2$ đều là a.

1. Hàm số bậc hai

HĐ Khám phá 1 trang 49 Toán lớp 10: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a) $y=2x(x-3)$

b) $y=x(x^2+2)-5$

c) $y=-5(x+1)(x-4)$

Lời giải:

a) $y=2x(x-3)=2x^2-6$

Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai

b) $y=x(x^2+2)-5=x^3+2x-5$

Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc ba

c) $y=-5(x+1)(x-4)=-5x^2+15x+20$

Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai

Thực hành 1 trang 49 Toán lớp 10: Hàm số nào trong các hàm số được cho ở Hoạt động khám phá 1 là hàm số bậc hai?

Phương pháp giải:

Hai số bậc hai (biến x) có dạng $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$và $a\ne 0$

Lời giải:

Hàm số ở câu a) $y=2x^2-6$ là hàm số bậc hai với $a=2,b=-6,c=0$

Hàm số ở câu c) $y=-5x^2+15x+20$ là hàm số bậc hai với $a=-5,b=15,c=20$

Hàm số ở câu b) không phải là hàm số bậc hai.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

HĐ Khám phá 2 trang 49 Toán lớp 10: a) Xét hàm số$y=f(x)=x^2-8x+19=(x-4{)}^2+3$ có bảng giá trị:

$x$	2	3	4	5	6
$f(x)$	7	4	3	4	7

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm $(x;f(x))$ với x thuộc bảng giá trị đã cho (hình 1).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số $y=x^2$ trên Hình 1.

b) Tương tự xét hàm số $y=g(x)=-x^2+8x-13=-(x-4{)}^2+3$ có bảng giá trị:

$x$	2	3	4	5	6
$f(x)$	-1	2	3	2	-1

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm $(x;f(x))$ với x thuộc bảng giá trị đã cho (hình 2).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số $y=-x^2$ trên Hình 2.

 

Lời giải:

a)

Đường cong đi qua 5 điểm này có cùng hình dạng với đồ thị hàm số $y=x^2$, cùng có bề lõm quay lên trên.

b)

Đường cong đi qua 5 điểm này có cùng hình dạng với đồ thị hàm số $y=-x^2$, cùng có bề lõm quay xuống dưới.

Giải toán lớp 10 trang 52 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 52 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số trong Ví dụ 2z. Nếu nhận xét về hai đồ thị này.

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S(\frac{-b}{2a};f(\frac{-b}{2a}))$

+ Trục đối xứng $x=\frac{-b}{2a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=f(x)=x^2-4x+3$ là một parabol (P1):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2.1}=2;y_S=2^2-4.2+3=-1.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a=1>0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

*So sánh với đồ thị hàm số ở Ví dụ 2a:

Giống nhau: Có chung trục đối xứng

Khác nhau:

Điểm đỉnh và giao điểm với trục tung của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục Ox.

Bề lõm của (P) xuống dưới còn (P1) quay lên trên.

Nhận xét chung: Hai đồ thị này đối xứng với nhau qua trục Ox.

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

HĐ Khám phá 3 trang 52 Toán lớp 10: Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ở hai hình sau, tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$ và $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$

Trên (a’; b’): đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải thì hàm số đó đồng biến trên (a’;b’).

Trên (c; d): đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải thì hàm số đó nghịch biến trên (c;d).

Lời giải:

a)

Trên $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$ đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số đó nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$

Trên $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$ đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số đó đồng biến trên $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$

Vậy hàm số có khoảng đồng biến là $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$, khoảng nghịch biến là $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$

b)

Trên $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$ đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số đó đồng biến trên $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$

Trên $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$ đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số đó nghịch biến trên $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$

Vậy hàm số có khoảng đồng biến là $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a})$, khoảng nghịch biến là $(-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$

Giải toán lớp 10 trang 53 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 53 Toán lớp 10: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y=2x^2-6x+11.$ Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?

Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải:

Đỉnh S có tọa độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2.2}=\frac{3}{2};y_S=2.{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-6.\frac{3}{2}+11=\frac{13}{2}.$

Hay $S\left(\frac{3}{2};\frac{13}{2}\right).$

Vì hàm số bậc hai có $a=2>0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty })$ và nghịch biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };\frac{3}{2})$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{13}{2}$ khi $x=\frac{3}{2}$

Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1 vì $-1<\frac{13}{2}.$

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Giải toán lớp 10 trang 55 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng trang 55 Toán lớp 10: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên)

a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12 m/s

b) Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho trong Hình 11.

Phương pháp giải:

Lần phát cầu được xem là hợp lệ nếu cầu ở trên mặt lưới (tại vị trí lưới phân cách) và điểm rơi không ra khỏi đường biên cuối sân đối phương.

Lập phương trình quỹ đạo của cầu lông: $y=\frac{-g{x}^2}{2.{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan (\alpha ).x+y_0$

a) Chỉ ra điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài bằng cách tính khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi

b) Tìm tung độ của điểm (có hoành độ là điểm đặt lưới phân cách) với độ cao của lưới.

Tính khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi xem cầu có thuộc khu vực được tính là hợp lệ hay không.

Lời giải:

a)

Chọn hệ trục tọa độ như Hình 9 (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).

Với $g=9,8m/s^2$, góc phát cầu $\alpha ={30}^o$, vận tốc ban đầu $v_0=12m/s$, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y=\frac{-9,8}{{2.12}^2.{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+0,7=-\frac{4,9}{108}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+0,7$

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình $-\frac{4,9}{108}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+0,7=0$ ta được $x_1\approx -1,11$ và $x_2\approx 13,84$

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m > 13,4 m (chiều dài cả sân)

Vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài.

b)

Ta so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành động bằng khoảng cách từ điểm phát cầu đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới.

Với $g=9,8m/s^2$, góc phát cầu $\alpha ={30}^o$, vận tốc ban đầu $v_0=8m/s$, vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m. Phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y=\frac{-9,8}{{2.8}^2.{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+1,3=-\frac{4,9}{48}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+1,3$

Khi $x=4,$ta có $y=-\frac{4,9}{48}{.4}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.4+1,3\approx 1,98>1,524$

Vậy quỹ đạo của cầu cao hơn mép trên của lưới.

Tiếp theo ta kiểm tra vị trí cầu rơi có vượt đường biên ngoài hoặc chưa tới đường biên trong hay không.

 Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình $y=\frac{-9,8}{{2.8}^2.{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+1,3=-\frac{4,9}{48}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3}.x+1,3$ ta được $x_1\approx -1,73$ và $x_2\approx 7,38$

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7.38 m.

Dễ thấy: độ dài h (chiều dài của khu vực hợp lệ) là: $13,4:2-1,98=4,72$ (m).

Do đó lần phát là hợp lệ nếu khoảng cách từ vị trí phát đến điểm rơi thuộc khoảng $4+1,98=5,98(m)$ và $4+1,98+4,72=10,7(m)$

Như vậy vị trí quả cầu trên mặt đất nằm giữa đường biên trong và đường biên ngoài.

Kết luận: lần phát cầu này được coi là hợp lệ.

Bài tập

Giải toán lớp 10 trang 56 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 Toán lớp 10: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) $y=9x^2+5x+4$

b) $y=3x^3+2x+1$

c) $y=-4{(x+2)}^3+2(2x^3+1)+5$

d) $y=5x^2+\sqrt{x}+2$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Hàm số ở câu a) $y=9x^2+5x+4$ là hàm số bậc hai với $a=9,b=5,c=4$

Hàm số ở câu b), c) không phải là hàm số bậc hai vì chứa $x^3$

Hàm số ở câu d) $y=5x^2+\sqrt{x}+2$ không phải là hàm số bậc hai vì chứa $\sqrt{x}$

Bài 2 trang 56 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.

a) $y=m{x}^4+(m+1)x^2+x+3$

b) $y=(m-2)x^3+(m-1)x^2+5$

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Để hàm số $y=m{x}^4+(m+1)x^2+x+3$ là hàm số bậc hai thì:

$\{\begin{array}{l}m=0\\ m+1\ne 0\end{array}$ tức là $m=0.$

Khi đó $y=x^2+x+3$

Vây $m=0$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y=x^2+x+3$

b) Để hàm số $y=(m-2)x^3+(m-1)x^2+5$ là hàm số bậc hai thì:

$\{\begin{array}{l}m-2=0\\ m-1\ne 0\end{array}$ tức là $m=2.$

Khi đó $y=(2-1)x^2+5=x^2+5$

Vây $m=2$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y=x^2+5$

Bài 3 trang 56 Toán lớp 10: Lập bảng biến thiên của hàm số $y=x^2+2x+3.$ Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Đỉnh S có tọa độ: $x_S={\displaystyle \frac{-b}{2a}}={\displaystyle \frac{-2}{2.1}}=-1;y_S={\left(-1\right)}^2+2.(-1)+3=2.$

Hay $S\left(-1;2\right).$

Vì hàm số bậc hai có $a=1>0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

 

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2$.

Bài 4 trang 56 Toán lớp 10: Cho hàm số bậc hai $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$ có $f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5.$

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số $a,b$ và $c.$

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có: $f(0)=a{.0}^2+b.0+c=1\Rightarrow c=1.$

Lại có:

 $f(1)=a{.1}^2+b.1+c=2\Rightarrow a+b+1=2$

$f(2)=a{.2}^2+b.2+c=5\Rightarrow 4a+2b+1=5$

Từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}a+b+1=2\\ 4a+2b+1=5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a+b=1\\ 4a+2b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\end{array}$(thỏa mãn điều kiện $a\ne 0$)

Vậy hàm số bậc hai đó là $y=f(x)=x^2+1$

b) Tập giá trị $T=\{x^2+1|x\in \mathbb{R}\}$

Vì $x^2+1\ge 1\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên $T=[1;+\mathrm{\infty })$

Đỉnh S có tọa độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2.1}=0;y_S=f(0)=1$

Hay $S\left(0;1\right).$

Vì hàm số bậc hai có $a=1>0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Bài 5 trang 56 Toán lớp 10: Cho hàm số $y=2x^2+x+m$. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Phương pháp giải:

Đỉnh S có tọa độ: $x_S=\frac{-b}{2a};y_S=f(\frac{-b}{2a})$

$a=2>0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

 

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f(-\frac{b}{2a})$ tại $x=-\frac{b}{2a}.$

=>  Tìm m để $f(-\frac{b}{2a})=5$

Lời giải:

Đỉnh S có tọa độ:$x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2.2}=-\frac{1}{4};y_S=f(-\frac{1}{4})=2{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+\left(-\frac{1}{4}\right)+m=m-\frac{1}{8}$

Ta có: $a=2>0$, hàm số có bảng biến thiên dạng:

 

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $m-\frac{1}{8}=5\iff m=\frac{41}{8}.$

Vậy $m=\frac{41}{8}$ thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Bài 6 trang 56 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=2x^2+4x-1$

b) $y=-x^2+2x+3$

c) $y=-3x^2+6x$

d) $y=2x^2-5$

Lời giải:

a) $y=2x^2+4x-1$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=2x^2+4x-1$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2.2}=-1;y_S=2.(-1{)}^2+4.(-1)-1=-3.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a=2>0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

b) $y=-x^2+2x+3$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=-x^2+2x+3$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.(-1)}=1;y_S=-1^2+2.1+3=4.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a=-1<0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

c) $y=-3x^2+6x$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=-3x^2+6x$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.(-3)}=1;y_S=-{3.1}^2+6.1=3$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a=-3<0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; 0).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

d) $y=2x^2-5$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=2x^2-5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2.2}=0;y_S={2.0}^2-5=-5.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=0$ (trùng với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a=2>0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 7 trang 56 Toán lớp 10: Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

$\begin{array}{l}(P_1):y=-2x^2-4x+2;\\ (P_2):y=3x^2-6x+5;\\ (P_3):y=4x^2-8x+7;\\ (P_4):y=-3x^2-6x-1.\end{array}$

Lời giải:

Vì 4 đồ thị hàm số cắt trục tung tại 4 điểm phân biệt nên ta chỉ cần xác định tọa độ giao điểm của mỗi hàm số với trục tung là có thể phân biệt 4 đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số $(P_1):y=-2x^2-4x+2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2) => Đồ thị là đường màu xanh lá.

Đồ thị hàm số $(P_2):y=3x^2-6x+5;$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5) => Đồ thị là đường màu xanh dương.

Đồ thị hàm số $(P_3):y=4x^2-8x+7;$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7) => Đồ thị là đường màu nâu đỏ.

Đồ thị hàm số $(P_4):y=-3x^2-6x-1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1) => Đồ thị là đường màu vàng.

Giải toán lớp 10 trang 57 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 8 trang 57 Toán lớp 10: Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Gọi công thức của hàm số bậc hai là $y=a{x}^2+bx+c$

Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm có tọa độ (-1;0), (4;0), (0;-4)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a.(-1{)}^2+b.(-1)+c=0\\ a{.4}^2+b.4+c=0\\ a{.0}^2+b.0+c=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-b=4\\ 16a+4b=4\\ c=-4\end{array}\\ \iff a=1,b=-3,c=-4.\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm có công thức $y=x^2-3x-4$

Bài 9 trang 57 Toán lớp 10: Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

-  Dây dài nhất là 5 m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

-  Nhịp cầu dài 30 m.

-  Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ, gọi công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu.

Xác định hàm số và xác định tung độ của điểm có hoành độ là hình chiếu của các dây cáp dọc.

Lời giải:

Gọi $y=a{x}^2+bx+c$ là công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

 

Khi đó độ dài dây cáp dọc ở mỗi mặt bên là tung độ của điểm biểu diễn tương ứng.

Ở mỗi mặt: có 21 dây cáp dọc, tương ứng cho 20 khoảng cách giữa chúng.

Khoảng cách giữa hai dây cáp liền kề là: $30:20=1,5\left(m\right)$

Khi đó: $x_0=0;x_1=1,5;x_2=3;x_3=4,5;...;x_n=1,5.n$

Dễ thấy: các điểm có tọa độ (0; 5), ($x_{10};0,8$), $(x_{20};5)$ thuộc đồ thị hàm số.

(Trong đó: $x_{10}=10.1,5=15;x_{20}=20.1,5=30.$)

Suy ra:

$f(0)=a{.0}^2+b.0+c=5\iff c=5$

Và $f(1)=a{.10}^2+b.10+c=0,8\iff 100a+10b+5=0,8$

$f(2)=a{.30}^2+b.30+c=5\iff 900a+30b+5=5$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}100a+10b+5=0,8\\ 900a+30b+5=5\end{array}$ ta được $a=\frac{21}{1000};b=-\frac{63}{100}$

Như vậy $y=\frac{21}{1000}{x}^2-\frac{63}{100}x+5$

Gọi $y_0,y_1,y_2,..y_{20}$ là tung độ của các điểm có hoành độ lần lượt là $x_0,x_1,x_2,..x_{20}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{y}_0=5\\ y_1=\frac{21}{1000}.1,5^2-\frac{63}{100}.1,5+5\\ y_2=\frac{21}{1000}.(2.1,5{)}^2-\frac{63}{100}.(2.1,5)+5=2^2.\frac{21}{1000}.1,5^2-2.\frac{63}{100}.1,5+5\\ ...\\ y_n=\frac{21}{1000}.(n.1,5{)}^2-\frac{63}{100}.(2.1,5)+5=n^2.\frac{21}{1000}.1,5^2-n.\frac{63}{100}.1,5+5\\ \Rightarrow T=y_0+y_1+y_2+..+y_{20}=5+\frac{21}{1000}.1,5^2.(1+2^2+...+{20}^2)-\frac{63}{100}.1,5.(1+2+...+20)+5.20\end{array}$

Mà $1+2^2+...+{20}^2=2870;1+2+...+20=210$

$\Rightarrow T=5+\frac{21}{1000}.1,5^2.2870-\frac{63}{100}.1,5.210+5.20\approx 42,16(m)$

Tổng chiều dài của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là: $42,16.2=84,32(m)$

Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là 84,32m.

Lý thuyết Hàm số bậc hai

1. Hàm số bậc hai

- Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.

Ví dụ:

+) y = 5x² + 2x + 1 là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = 5 ≠ 0, b = 2, c = 1.

+) y = 3x³ + x ‒ 1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này có chứa x³, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$  , tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$ ; (Δ = b² – 4ac)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh S$\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$ .

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.

Ví dụ: Cho hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1.

Ta xác định a = 1; b = 2; c = 1; Δ = b² – 4ac = 0.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1 là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}=-1$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=0$;

+ Có trục đối xứng d là đường thẳng x = ‒1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S(‒1; 0) và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol quay lên trên do a = 1 > 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ (0; 1).

Đối với hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1 ta thấy hệ số b = 2 là số chẵn nên cũng có thể tìm toạ độ đỉnh $S\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$  với a = 1, b' = 1, c = 1 và Δ' = b'² – ac = 0.

Khi đó ta cũng tìm được S(‒1; 0).

*Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0):

- Xác định tọa độ đỉnh S$\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$.

- Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = $-\frac{b}{2a}$ .

- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B$\left(-\frac{b}{a};c\right)$.

- Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1.

Ta có: a = 2; b = 3; c = 1; Δ = b² – 4ac = 1.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1 là một parabol (P):

+ Có toạ độ đỉnh S với $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{4};$  tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{8}$  hay $S\left(-\frac{3}{4};-\frac{1}{8}\right)$ ;

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = $-\frac{3}{4}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol (P) quay lên trên do a = 2 > 0;

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 1)

Ngoài ra phương trình 2x² + 3x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁ = ‒1 và $x_2=\frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (‒1; 0) và  

Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x² + 3x + 1 như hình vẽ dưới đây:

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

- Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số này như sau:

Chú ý: Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:

- Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right)$ .

- Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right]$ .

Ví dụ: Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ‒ x² + 3x – 2.

Hướng dẫn giải

Ta xác định các tham số: a = ‒1; b = 3; c = ‒2, ∆ = b² – 4ac = 1.

Đỉnh S có tọa độ:$x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$;$y_S=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{1}{4}$.

Hay $S\left(\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right)$ .

Vì hàm số bậc hai có a = ‒1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$  khi x =$\frac{3}{2}$

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Tầm bay cao và bay xa

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y₀) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$ 

Trong đó:

+ g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²);

+ α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

+ v₀ là vận tốc ban đầu của cầu;                  

+ y₀ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ:

- Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Ví dụ: Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 15 độ so với mặt đất.

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt ở độ cao 0,8 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 10 m/s (bỏ qua sức cản của gió và quỹ đạo của cầu trong mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s²).

b) Giả thiết như câu a và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4,5 m. Lần phát cầu này có hỏng không? Cho biết mép trên của lưới cách mặt đất 1,524 m.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ với vị trị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung.

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 15^o, vận tốc ban đầu của cầu là v₀ = 10 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$

$y=\frac{-9,8.x^2}{{2.10}^2.{\left(cos15°\right)}^2}+\tan 15°.x+0,8$

$y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8$ (với x ≥ 0)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên y = 0.

Giải phương trình y = 0 ⇔ $-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8=0$  ta được 2 nghiệm là x₁ ≈ 7,21 (thỏa mãn) và x₂ ≈ ‒2,11 (không thỏa mãn)

Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,21 m.

b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x = 4,5 thay $y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8$ vào  ta có:

$y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}.4,5^2+\left(2-\sqrt{3}\right).4,5+0,8$ ≈ 0,942 m < 1,524 m

Vậy quả phát cầu này không hợp lệ.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Bài 2: Định lí cosin và định lí sin