Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Nguyễn Linh Anh Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

5.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Video bài giảng Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 - Chân trời sáng tạo

1. Giá trị lượng giác

Giải toán lớp 10 trang 61 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 61 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn $α,$ lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α .$ Giả sử điểm M có tọa độ $(x_{0}; y_{0}) .$ Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

$\sin α = y_{0}; \cos α = x_{0}; \tan α = \frac{y_{0}}{x_{0}}; \cot α = \frac{x_{0}}{y_{0}} .$

Phương pháp giải:

Tam giác vuông OHM có $α = \hat{x O M}$

$\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M}; \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} .$

Lời giải:

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và $α = \hat{x O M}$

Do đó: $\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M} .$

Mà $M H = y_{0}; O H = x_{0}; O M = 1.$

$\Rightarrow \sin α = \frac{y_{0}}{1} = y_{0}; \cos α = \frac{x_{0}}{1} = x_{0} .$

$\Rightarrow \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y_{0}}{x_{0}}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x_{0}}{y_{0}} .$

Giải toán lớp 10 trang 62 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 62 Toán lớp 10: Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^{o}$

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 135^{o}$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos 135^{o}, \sin 135^{o}$

Từ đó suy ra $\tan 135^{o} = \frac{\sin 135^{o}}{\cos 135^{o}}, \cot 135^{o} = \frac{\cos 135^{o}}{\sin 135^{o}} .$

Lời giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 135^{o}$ , H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.

Ta có: $\hat{M O y} = 135^{o} - 90^{o} = 45^{o}$ .

Tam giác OMH vuông cân tại H nên $O H = M H = \frac{O M}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Vậy tọa độ điểm M là $(- \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Vậy theo định nghĩa ta có:

$\begin{array}{l} \sin 135^{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 135^{o} = - \frac{\sqrt{2}}{2}; \\ \tan 135^{o} = - 1; \cot 135^{o} = - 1. \end{array}$

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc $135^{o}$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin 135^{o}$ , bấm phím: sin 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tính $\cos 135^{o}$ ,bấm phím: cos 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Tính $\tan 135^{o}$ , bấm phím: tan 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $- 1$

(Để tính $\cot 135^{o}$ , ta tính $1 : \tan 135^{o}$ )

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

HĐ Khám phá 2 trang 62 Toán lớp 10: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\hat{x O M}$ và $\hat{x O N} .$

Phương pháp giải:

Tính góc $\hat{x O N}$ theo góc $\hat{x O M} .$

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N Ox.

Ta có: $\hat{N O H} = \hat{O N M} = \hat{O M N} = \hat{M O x} = α$ (do NM song song với Ox)

Mà $\hat{x O M} + \hat{N O H} = 180^{o}$

Suy ra $\hat{x O N} + \hat{M O x} = 180^{o}$

Giải toán lớp 10 trang 63 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 63 Toán lớp 10: Tính các giá trị lượng giác: $\sin 120^{o}; \cos 150^{o}; \cot 135^{o} .$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \sin 120^{o} = \sin (180^{o} - 60^{o}); \\ \cos 150^{o} = - \cos (180^{o} - 30^{o}); \\ \cot 135^{o} = - \cot (180^{o} - 45^{o}) . \end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} \sin 120^{o} = \sin (180^{o} - 60^{o}) = \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \cos 150^{o} = - \cos (180^{o} - 30^{o}) = - \cos 30^{o} = - \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \cot 135^{o} = - \cot (180^{o} - 45^{o}) = - \cot 45^{o} = - 1. \end{array}$

Vận dụng 1 trang 63 Toán lớp 10: Cho biết $\sin α = \frac{1}{2},$ tìm góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Phương pháp giải:

Vẽ nửa đường tròn đơn vị.

$\sin α = \frac{1}{2}$ nên lấy các điểm có tung độ là $\frac{1}{2}$ . Từ đó tính góc $α$ .

Lời giải:

Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho: $\hat{x O M} = α$

Do $\sin α = \frac{1}{2}$ nên tung độ của M bằng $\frac{1}{2} .$

Vậy ta xác định được hai điểm N và M thỏa mãn $\sin \hat{x O N} = \sin \hat{x O M} = \frac{1}{2}$

Đặt $β = \hat{x O M} \Rightarrow \hat{x O N} = 180^{o} - β$

Xét tam giác OHM vuông tại H ta có: $M H = \frac{1}{2} = \frac{O M}{2} \Rightarrow β = 30^{o}$

$\Rightarrow \hat{x O N} = 180^{o} - 30^{o} = 150^{o}$

Vậy $α = 30^{o}$ hoặc $α = 150^{o}$

3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Thực hành 3 trang 63 Toán lớp 10: Tính:

$A = \sin 150^{o} + \tan 135^{o} + \cot 45^{o}$

$B = 2 \cos 30^{o} - 3 \tan 150 + \cot 135^{o}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Lời giải:

$A = \sin 150^{o} + \tan 135^{o} + \cot 45^{o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin 150^{o} = \frac{1}{2}; \tan 135^{o} = - 1; \cot 45^{o} = 1.$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} .$

$B = 2 \cos 30^{o} - 3 \tan 150 + \cot 135^{o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 150^{o} = - \frac{\sqrt{3}}{3}; \cot 135^{o} = - 1.$

$\Rightarrow B = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} - 3. (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1 = 5 \sqrt{3} + 1.$

Giải toán lớp 10 trang 64 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng 2 trang 64 Toán lớp 10: Tìm góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

c) $\tan α = - 1$

d) $\cot α = - \sqrt{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt để tìm góc.

Lời giải:

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\sin α$ ta có:

$\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ với $α = 60^{o}$ và $α = 120^{o}$

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cos α$ ta có:

$\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ với $α = 135^{o}$

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\tan α$ ta có:

$\tan α = - 1$ với $α = 135^{o}$

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cot α$ ta có:

$\cot α = - \sqrt{3}$ với $α = 150^{o}$

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

Giải toán lớp 10 trang 65 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 65 Toán lớp 10: a) Tính $\cos 80 ° 43' 51''$ ; $\tan 147 ° 12' 25''$ ; $c o t 99 ° 9' 19''$

b) Tìm $α (0 ° \leq α \leq 180 °)$ , biết $\cos α = - 0, 723$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay, bấm liên tiếp các phím:

Để tính $\cot 99^{o} 9^{'} 19^{″}$ ta tính $1 : \tan 99^{o} 9^{'} 19^{″}$ .

b) Sử dụng máy tính cầm tay, bấm liên tiếp các phím:

Lời giải:

$\begin{array}{l} \cos 80^{o} 43^{'} 51^{″} = 0, 161; \\ \tan 147^{o} 12^{'} 25^{″} = - 0, 644; \\ \cot 99^{o} 9^{'} 19^{″} = - 0, 161 \end{array}$

b) $α = 136^{o} 18^{'} 9, 81^{″} .$

Bài tập

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10: Cho biết sin 30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \cos 30^{o} = \sin (90^{o} - 30^{o}) = \sin 60^{o} \\ \sin 150^{o} = \sin (180^{o} - 150^{o}) = \sin 30^{o} \\ \tan 135^{o} = - \tan (180^{o} - 135^{o}) = - \tan 45^{o} \end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \cos 30^{o} = \sin (90^{o} - 30^{o}) = \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \sin 150^{o} = \sin (180^{o} - 150^{o}) = \sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \\ \tan 135^{o} = - \tan (180^{o} - 135^{o}) = - \tan 45^{o} = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow E = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \sqrt{3} - \frac{1}{2} .$

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10: Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° = – cos130°.

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - α) = \sin α \\ \cos (180^{o} - α) = - \cos α \end{array}$ $(0^{o} \leq α \leq 180^{o})$

Lời giải:

a) $\sin 20^{o} = \sin (180^{o} - 160^{o}) = \sin 160^{o}$

b) $\cos 50^{o} = \cos (180^{o} - 130^{o}) = - \cos 130^{o}$

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10: Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα = 0;

c) tanα = 1;

d) cotα không xác định.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt để tìm góc.

Lời giải:

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cos α$ ta có:

$\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ với $α = 135^{o}$

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\sin α$ ta có:

$\sin α = 0$ với $α = 0^{o}$ và $α = 180^{o}$

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\tan α$ ta có:

$\tan α = 1$ với $α = 45^{o}$

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cot α$ ta có:

$\cot α$ không xác định với $α = 0^{o}$

Bài 4 trang 65 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) sinA = sin(B + C);

b) cosA = – cos(B + C).

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - A) = \sin A \\ \cos (180^{o} - A) = - \cos A \end{array}$ $(0^{o} \leq \hat{A} \leq 180^{o})$

Lời giải:

$\sin (B + C) = \sin (180^{o} - A) = \sin A$

Vậy $\sin A = \sin (B + C)$

$\cos (B + C) = \cos (180^{o} - A) = - \cos A$

Vậy $\cos A = - \cos (B + C)$

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos2α + sin2α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan2α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot2 α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Lời giải:

a) $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho $\hat{x O M} = α$

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và $α = \hat{x O M}$

Do đó: $\sin α = \frac{M H}{O M} = M H; \cos α = \frac{O H}{O M} = O H .$

$\Rightarrow \cos^{2} α + \sin^{2} α = O H^{2} + M H^{2} = O M^{2} = 1$

b) $\tan α . \cot α = 1 (0^{o} < α < 180^{o}, α \neq 90^{o})$

Ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} . \\ \Rightarrow \tan α . \cot α = \frac{\sin α}{\cos α} . \frac{\cos α}{\sin α} = 1 \end{array}$

c) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

Với $α \neq 90^{o}$ ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \\ \Rightarrow 1 + \tan^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{1}{\cos^{2} α} \end{array}$

d) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Ta có:

$\begin{array}{l} \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}; \\ \Rightarrow 1 + \cot^{2} α = 1 + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{1}{\sin^{2} α} \end{array}$

Bài 6 trang 65 Toán lớp 10: Cho góc α với cosα = $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin2α + 5cos2α .

Phương pháp giải:

Sử dụng đẳng thức $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$

Lời giải:

Ta có: $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α = 2 (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + 3 \cos^{2} α$

Mà $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1; \cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$\Rightarrow A = 2 + 3. {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 2 + 3. \frac{1}{2} = \frac{7}{2} .$

Bài 7 trang 65 Toán lớp 10: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα = 0,862;

ii) cosα = – 0,567;

iii) tanα = 0,334.

Phương pháp giải:

a) Để tính $\sin 168^{o} 45^{'} 33^{″}$ , bấm liên tiếp các phím:

Để tính $\cot 56^{o} 36^{'} 42^{″}$ ta tính $1 : \tan 56^{o} 36^{'} 42^{″}$ .

b) Để tìm $α$ biết $\sin α = 0, 862$ , bấm liên tiếp các phím:

Lời giải:

$\begin{array}{l} \sin 168^{o} 45^{'} 33^{″} = 0, 195; \\ \cos 17^{o} 22^{'} 35^{″} = 0, 954; \\ \tan 156^{o} 26^{'} 39^{″} = - 0, 436; \\ \cot 56^{o} 36^{'} 42^{″} = 0, 659 \end{array}$