Từ đồ thị, ta có:

Đồ thị hàm số xác định (liền mạch) từ $x=-1$ đến $x=9$, do đó tập xác định của hàm số là $D=[-1;9].$

Tập giá trị $T=\{y|x\in [-1;9]\}$, vậy $T=[-2;6]$

Bài 3 trang 47 Toán lớp 10: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f(x)=-5x+2$

b) $f\left(x\right)=-x^2$

Phương pháp giải:

Bước 1: Lấy $x_1,x_2\in D$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$.

Bước 2: Tìm điều kiện để $f(x_1)<f(x_2)$ và $f(x_1)>f(x_2)$

a) $f(x_1)=-5x_1+2,f(x_2)=-5x_2+2$

b) $f(x_1)=-{x_1}^2,f(x_2)=-{x_2}^2$

Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

+ $f(x_1)<f(x_2)$ với $x\in T_1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $T_1$

+ $f(x_1)>f(x_2)$ với $x\in T_2$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $T_2$

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=-5x+2$ xác định trên $\mathbb{R}$

Lấy $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$.

Do  $x_1<x_2$ nên $-5x_1>-5x_2$, suy ra $-5x_1+2>-5x_2+2$

Từ đây ta có $f(x_1)>f(x_2)$

Vậy hàm số ngịch biến (giảm) trên $\mathbb{R}$

b) Xét hàm số $y=f(x)=-x^2$ xác định trên $\mathbb{R}$

+ Trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ lấy $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$., ta có: $f(x_1)-f(x_2)=-{x_1}^2+{x_2}^2=\left(x_2-x_1\right)(x_2+x_1)$

Do  $x_1<x_2$ nên $x_2-x_1>0$ và do $x_1,x_2\in (0;+\mathrm{\infty })$ nên $x_1+x_2>0$.

Từ đây suy ra $f(x_1)-f(x_2)>0$ hay $f(x_1)>f(x_2)$

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$

+ Trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$ lấy $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho $x_1<x_2$., ta có: $f(x_1)-f(x_2)=-{x_1}^2+{x_2}^2=\left(x_2-x_1\right)(x_2+x_1)$

Do  $x_1<x_2$ nên $x_2-x_1>0$ và do $x_1,x_2\in (-\mathrm{\infty };0)$ nên $x_1+x_2<0$.

Từ đây suy ra $f(x_1)-f(x_2)<0$ hay $f(x_1)<f(x_2)$

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$

Bài 4 trang 47 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$ biết rằng hàm số này còn được viết như sau:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x khi x\ge 0\\ -x khi x<0\end{array}\right.$

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị từng hàm trên mỗi khoảng cho trước
Lời giải:

Hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$ xác định trên $D=\mathbb{R}$

Trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$ ta vẽ đồ thị hàm số $y=-x$, đi qua 2 điểm $A(-1;1),B(-2;2)$

Trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ ta vẽ đồ thị hàm số $y=x$, đi qua 2 điểm $A^{\prime }(1;1),B^{\prime }(2;2)$

Như vậy ta được đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$.

Giải toán lớp 10 trang 48 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 48 Toán lớp 10: Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số:

$f(x)=\{\begin{array}{l}-1x<0\\ 1x>0\end{array}$

Phương pháp giải:

+) Tập xác định là tập hợp các giá trị của x để f(x) có nghĩa.

+) Tập giá trị là tập hợp các giá trị của f(x) với x thuộc tập xác định.

+) Vẽ đồ thị từng hàm trên mỗi khoảng cho trước

Lời giải:

+) Dễ thấy: hàm số được xác định với mọi $x>0$ và $x<0$.

Do đó tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$

+) Với $x\in D$:

+ Nếu $x>0$ thì $f(x)=1$

+ Nếu $x<0$ thì $f(x)=-1$

Vậy tập giá trị của hàm số là $T=\{-1;1\}$

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Với $x\in (-\mathrm{\infty };0)$ đồ thị hàm số là đường thẳng $y=-1$

Với $x\in (0;+\mathrm{\infty })$ đồ thị hàm số là đường thẳng $y=1$

Ta được đồ thị hàm số như hình trên.

Bài 6 trang 48 Toán lớp 10: Một hãng taxi có bảng giá như sau:

a) Xem số tiền đi taxi là một hàm số phụ thuộc số kilomet di chuyển, hãy viết công thức của các hàm số dựa trên thông tin từ bảng giá đã cho theo từng yêu cầu:

i) Hàm số $f(x)$ để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển $x$ km bằng xe taxi 4 chỗ.

ii) Hàm số $g(x)$ để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển $x$ km bằng xe taxi 7 chỗ.

b) Nếu cần đặt xe taxi cho 30 hành khách, nên đặt toàn bộ xe 4 chỗ hay xe 7 chỗ thì có lợi hơn?

Phương pháp giải:

a) Viết công thức tính tiền trong mỗi trường hợp (theo số km), từ đó suy ra hàm số nhiều công thức tương ứng.

b) Tính số tiền phải trả trong mỗi trường hợp, từ đó đưa ra lời khuyên về chọn xe.

Lời giải:

a)

i)

Nếu $0,5\le x<31$ thì số tiền phải trả là $11000+14500.x$ đồng.

Nếu $31\le x$ thì số tiền phải trả là $11000+14500.30+11600.(x-30)$ đồng.

Vậy hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}11000+14500.x0,5\le x<31\\ 11000+14500.30+11600.(x-30)x\ge 31\end{array}$

 ii)

Nếu $0,5\le x<31$ thì số tiền phải trả là $11000+15500.x$ đồng.

Nếu $31\le x$ thì số tiền phải trả là $11000+15500.30+13600.(x-30)$ đồng.

Vậy hàm số $g(x)=\{\begin{array}{l}11000+15500.x0,5\le x<31\\ 11000+15500.30+13600.(x-30)x\ge 31\end{array}$

b)

Nếu đặt toàn bộ xe 4 chỗ cho 30 hành khách thì cần 8 xe.

Nếu đặt toàn bộ xe 7 chỗ cho 30 hành khách thì cần 5 xe.

So sánh số tiền dựa theo số kilomet di chuyển: Giả sử các hành khách cần di chuyển x kilomet

+) Nếu $0,5\le x<31:$

Số tiền trả cho 8 xe taxi 4 chỗ là: $8(11000+14500.x)=88000+116000.x$

Số tiền trả cho 5 xe taxi 7 chỗ là: $5(11000+15500.x)=55000+77500.x$

Vì $88000+116000.x>55000+77500.x$ nên chọn 5 xe taxi 7 chỗ sẽ lợi hơn.

+) Nếu $x\ge 31:$

Số tiền trả cho 8 xe taxi 4 chỗ là: $8(11000+14500.30+11600.(x-30))=784000+92800.x$

Số tiền trả cho 5 xe taxi 7 chỗ là: $5(11000+15500.30+13600.(x-30))=340000+68000x$

Vì $784000+92800.x>340000+68000.x$ nên chọn 5 xe taxi 7 chỗ sẽ lợi hơn.

Kết luận: Nên đặt toàn bộ xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Bài 7 trang 48 Toán lớp 10: Số 2 đã trải qua một hành trình thú vị và bị biến đổi sau khi đi qua chiếc hộp đen

Bác thợ máy đã giải mã hộp đen cho một số x bất kì như sau:

Bên trong HỘP ĐEN là một đoạn chương trình được cài đặt sẵn. Ta xem đoạn chương trình này như một hàm số f(x). Hãy viết iểu thức của f(x) để mô tả sự biến đổi đã tác động lên x.

Lời giải:

Sau khi vào hộp đen, x đi qua:

+) Đầu tiên, x đi qua hộp màu vàng (bình phương), ta được $x^2$

+) Tiếp tục,  đi qua hộp màu xanh lá (tăng gấp ba lần), ta được $3x^2$

+) Cuối cùng,  đi qua hộp màu xanh dương (bớt đi 5), ta được: $3x^2-5$

Như vậy sau khi đi qua HỘP ĐEN, số x đã biến đổi thành số $3x^2-5$

Kiểm tra lại với số 2: theo công thức thì sau khi qua hộp đen ta được số: $3.2^2-5=7$(đúng).

Vậy biểu thức f(x) mô tả sự biến đổi đã tác động lên x là: f(x) = 3x2 – 5.

Lý thuyết Hàm số và đồ thị

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

- Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý:

+ Ta thường dùng kí hiệu f(x) để chỉ giá trị y tương ứng với x, nên hàm số còn được viết là y = f(x).

+ Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

+ Một hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức.

Ví dụ:

+ Hàm số có thể được cho bằng bảng dưới đây:

Với mỗi lượng điện tiêu thụ (kWh) thì sẽ có một số tiền phải trả tương ứng (nghìn đồng). Ta nói bảng trên biểu thị một hàm số.

+ Hàm số có thể được cho bằng công thức, ví dụ như: y = 2x – 1, y = x²,  …. với biến số là x và y là hàm số của x.

+ Hàm số được cho bởi hai công thức như $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x+1 khi x\le -3\\ \frac{x+7}{2} khi x>-3 \end{array}\right..$  Nghĩa là với x ≤ ‒3 thì f(x) = ‒2x + 1, với x > ‒3 thì $f\left(x\right)=\frac{x+7}{2}$  

+ Với hàm số y = f(x) = $\frac{x+1}{x-2}$ , tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa tức là $\frac{x+1}{x-2}$ có nghĩa, hay x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = ℝ\{2}.

2. Đồ thị hàm số

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Chú ý: Điểm M(x_M; y_M) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi x_M ∈ D và y_M = f(x_M).

Ví dụ:

+ Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 có tập xác định D = ℝ.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x – 1.

Khi thay x = 0 và y = ‒1 vào hàm số, ta được ‒1 = 2. 0 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm A(0; ‒1) là điểm thuộc đồ thị (C).

Khi thay x = 0,5 và y = 0 vào hàm số, ta được 0 = 2. 0,5 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm B(0,5; 0) là điểm thuộc đồ thị (C).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

- Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Nhận xét:

+ Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ:

+ Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = 2.1 – 1 = 1.

f(x₂) = f(2) = 2.2 – 1 = 3.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.

+ Cho hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 xác định trên ℝ.

Xét 2 giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒1 + 2 = 1.

f(x₂) = f(2) = ‒ 2 + 2 = 0.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [‒3; 3] và có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị nhận thấy:

- Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải trên các khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3);

- Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (‒1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒1; 1).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰