Vận dụng trang 55 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

3.1 K

Với giải Vận dụng trang 55 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Hàm số bậc hai học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

Vận dụng trang 55 Toán lớp 10: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên)

a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12 m/s

b) Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho trong Hình 11.

Phương pháp giải:

Lần phát cầu được xem là hợp lệ nếu cầu ở trên mặt lưới (tại vị trí lưới phân cách) và điểm rơi không ra khỏi đường biên cuối sân đối phương.

Lập phương trình quỹ đạo của cầu lông: $y = \frac{- g x^{2}}{2. {v_{0}}^{2} . \cos^{2} α} + \tan (α) . x + y_{0}$

a) Chỉ ra điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài bằng cách tính khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi

b) Tìm tung độ của điểm (có hoành độ là điểm đặt lưới phân cách) với độ cao của lưới.

Tính khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi xem cầu có thuộc khu vực được tính là hợp lệ hay không.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như Hình 9 (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).

Với $g = 9, 8 m / s^{2}$ , góc phát cầu $α = 30^{o}$ , vận tốc ban đầu $v_{0} = 12 m / s$ , phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = \frac{- 9, 8}{{2.12}^{2} . {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 0, 7 = - \frac{4, 9}{108} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 0, 7$

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình $- \frac{4, 9}{108} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 0, 7 = 0$ ta được $x_{1} \approx - 1, 11$ và $x_{2} \approx 13, 84$

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m > 13,4 m (chiều dài cả sân)

Vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài.

Ta so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành động bằng khoảng cách từ điểm phát cầu đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới.

Với $g = 9, 8 m / s^{2}$ , góc phát cầu $α = 30^{o}$ , vận tốc ban đầu $v_{0} = 8 m / s$ , vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m. Phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = \frac{- 9, 8}{{2.8}^{2} . {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 1, 3 = - \frac{4, 9}{48} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 1, 3$

Khi $x = 4,$ ta có $y = - \frac{4, 9}{48} {.4}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} .4 + 1, 3 \approx 1, 98 > 1, 524$

Vậy quỹ đạo của cầu cao hơn mép trên của lưới.

Tiếp theo ta kiểm tra vị trí cầu rơi có vượt đường biên ngoài hoặc chưa tới đường biên trong hay không.

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình $y = \frac{- 9, 8}{{2.8}^{2} . {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 1, 3 = - \frac{4, 9}{48} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} . x + 1, 3$ ta được $x_{1} \approx - 1, 73$ và $x_{2} \approx 7, 38$

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7.38 m.

Dễ thấy: độ dài h (chiều dài của khu vực hợp lệ) là: $13, 4 : 2 - 1, 98 = 4, 72$ (m).

Do đó lần phát là hợp lệ nếu khoảng cách từ vị trí phát đến điểm rơi thuộc khoảng $4 + 1, 98 = 5, 98 (m)$ và $4 + 1, 98 + 4, 72 = 10, 7 (m)$

Như vậy vị trí quả cầu trên mặt đất nằm giữa đường biên trong và đường biên ngoài.

Kết luận: lần phát cầu này được coi là hợp lệ.

Lý thuyết Ứng dụng của hàm số bậc hai

Tầm bay cao và bay xa

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y₀) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là:

$y = \frac{- g . x^{2}}{2 {v_{0}}^{2} . \cos^{2} α} + \tan (α) . x + y_{0}$

Trong đó:

+ g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²);

+ α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

+ v₀ là vận tốc ban đầu của cầu;

+ y₀ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ:

- Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Ví dụ: Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 15 độ so với mặt đất.

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt ở độ cao 0,8 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 10 m/s (bỏ qua sức cản của gió và quỹ đạo của cầu trong mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s²).

b) Giả thiết như câu a và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4,5 m. Lần phát cầu này có hỏng không? Cho biết mép trên của lưới cách mặt đất 1,524 m.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ với vị trị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung.

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 15^o, vận tốc ban đầu của cầu là v₀ = 10 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y = \frac{- g . x^{2}}{2 {v_{0}}^{2} . \cos^{2} α} + \tan (α) . x + y_{0}$

$y = \frac{- 9, 8. x^{2}}{{2.10}^{2} . {(c o s 15 °)}^{2}} + \tan 15 ° . x + 0, 8$

$y = - \frac{49}{125 {(1 + \sqrt{3})}^{2}} x^{2} + (2 - \sqrt{3}) x + 0, 8$ (với x ≥ 0)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên y = 0.

Giải phương trình y = 0 ⇔ $- \frac{49}{125 {(1 + \sqrt{3})}^{2}} x^{2} + (2 - \sqrt{3}) x + 0, 8 = 0$ ta được 2 nghiệm là x₁ ≈ 7,21 (thỏa mãn) và x₂ ≈ ‒2,11 (không thỏa mãn)

Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,21 m.

b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x = 4,5 thay $y = - \frac{49}{125 {(1 + \sqrt{3})}^{2}} x^{2} + (2 - \sqrt{3}) x + 0, 8$ vào ta có: