Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1

Bài 1 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Hàm số nào trong các hàm sau đây không phải là hàm số bậc hai?

a) y = 3x² + x – $\sqrt{3}$;

b) y = x² + |x + 1|;

c) $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1khix\ge 0\\ -2x^2-xkhix<0;\end{array}\right.$

d) y = 2(x² + 1) + 3x – 1.

Lời giải:

+ Hàm số a) có dạng y = ax² + bx + c với a = 3 ≠ 0, b = 1 và c = $-\sqrt{3}$ nên đây là hàm số bậc hai.

+ Hàm số b) không phải là hàm số bậc hai vì công thức của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

+ Hàm số c) không phải là hàm số bậc hai vì hàm số này được cho bởi hai công thức.

+ Ta có y = 2(x² + 1) + 3x – 1 hay y = 2x² + 3x + 1 nên hàm số d) là hàm số bậc hai vì nó có dạng y = ax² + bx + c với a = 2 ≠ 0, b = 3 và c = 1.

Vậy trong các hàm số đã cho, hàm số b) và hàm số c) không phải là hàm số bậc hai.

Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1

Bài 2 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh S, đi qua các điểm A, B, C(0; – 1) được cho trong Hình 10.

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho;

b) Tìm tập giá trị của hàm số và chỉ ra các khoảng biến thiên của hàm số.

Lời giải:

a) Ta vẽ parabol có bề lõm hướng lên trên và đi qua các điểm A, S, C, B, ta được đồ thị của hàm số đã cho như sau:

b) Đồ thị hàm số đã cho là parabol quay bề lõm lên trên nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng tung độ đỉnh của parabol.

Từ đồ thị, ta có đỉnh S có tọa độ (– 1; – 3). Suy ra hàm số có tập giá trị là [– 3; + ∞).

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị đi xuống từ trái qua phải trên khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1) và đồ thị đi lên từ trái qua phải trên khoảng (– 1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞).

Bài 3 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm công thức của hàm số có đồ thị vẽ được ở Bài tập 2.

Lời giải:

Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 nên c = – 1.

Hoành độ đỉnh là x_S = – 1 nên $-\frac{b}{2a}=-1$. Suy ra b = 2a.

Do đó công thức của hàm số là: y = ax² + 2ax – 1.

Lại có đồ thị đi qua đỉnh S(– 1; – 3) nên ta có: – 3 = a . (– 1)² + 2a . (– 1) – 1.

Suy ra a = 2 (t/m) và b = 2 . 2 = 4.

Vậy hàm số cần tìm là y = 2x² + 4x – 1.

Bài 4 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm công thức hàm số bậc hai biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; – 3), B(0; – 2), C(2; – 10).

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là – 2.

Lời giải:

Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3) nên: – 3 = a . 1² + b . 1 + c hay a + b + c = – 3. (1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm B(0; – 2) nên: – 2 = a . 0² + b . 0 + c hay c = – 2.

Đồ thị hàm số đi qua điểm C(2; – 10) nên: – 10 = a . 2² + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = – 10. (2).

Thay c = – 2 vào (1) ta được: a + b – 2 = – 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔ a = – 1 – b. (3)

Thay c = – 2 vào (2) ta được: 4a + 2b – 2 = – 10 ⇔ 4a + 2b = – 8 ⇔ 2a + b = – 4. (4)

 Thay (3) vào (4) ta được: 2.(– 1 – b) + b = – 4 ⇔ – 2 – 2b + b = – 4 ⇔ b = 2.

Thay b = 2 vào (3) ta được: a = – 1 – 2 = – 3 (t/m).

Vậy công thức hàm số là y = – 3x² + 2x – 2.

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 16 nên c = – 16.

Khi đó, công thức hàm số là f(x) = ax² + bx – 16.

Một trong hai giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có hoành độ bằng – 2 nên ta có a . (– 2)² + b . (– 2) – 16 = 0 hay 2a – b – 8 = 0. (*)

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3 nên $-\frac{b}{2a}=3$ hay b = – 6a.

Thay b = – 6a vào (*) ta có: 2a – (– 6a) – 8 = 0 ⇔ 8a = 8 ⇔ a = 1.

Suy ra: b = – 6 . 1 = – 6.

Vậy công thức hàm số là y = x² – 6x – 16.

Bài 5 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng biến thiên và tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = f(x) = – 2x² – 4x + 7;

b) y = f(x) = x² – 6x + 1.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = – 2x² – 4x + 7 có a = – 2 < 0 và đồ thị của hàm số là parabol có tọa độ đỉnh S là x_S = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2.\left(-2\right)}=-1$, y_S = – 2 . (– 1)² – 4 . (– 1) + 7 = 9 hay S(– 1; 9).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên (– ∞; – 1) và nghịch biến trên (– 1; + ∞).

Hàm số có tập giá trị là T = (– ∞; 9].

b) Hàm số y = f(x) = x² – 6x + 1 có a = 1 > 0 và đồ thị hàm số là parabol có tọa độ đỉnh S là $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.1}=3$, y_S = 3² – 6 . 3 + 1 = – 8 hay S(3; – 8).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên (– ∞; 3) và đồng biến trên (3; + ∞).

Hàm số có tập giá trị là T = [– 8; + ∞).

Bài 6 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm tập xác định, giá trị lớn nhất của hàm số, tập giá trị và các khoảng biến thiên của hàm số biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S như Hình 11.

Lời giải:

- Hàm số có đồ thị là parabol nên là hàm số bậc hai, do đó hàm số này có tập xác định D = ℝ.

- Parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh S(2; – 1) nên hàm số có bảng biến thiên như sau:

Từ đó, ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là – 1 nên có tập giá trị là T = (– ∞; – 1] và hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 2), nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).

Giải SBT Toán 10 trang 56 Tập 1

Bài 7 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Giả sử hàm số bậc hai mô phỏng vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân là

y = f(x) = $-\frac{187}{856}{x}^2+\frac{8041}{856}x$ (đơn vị đo: mét).

a) Hãy tính chiều dài đoạn dây dọi sử dụng nếu khoảng cách từ chân của trụ cầu đến quả nặng là 30 cm.

b) Hãy tính khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng nếu biết chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là 15 m.

Lời giải:

Từ Bài 4 phần Bài tập mẫu, ta có đồ thị hàm số y = f(x) = $-\frac{187}{856}{x}^2+\frac{8041}{856}x$ như hình sau:

Ta xét điểm B trên hình.

a) Đổi 30 cm = 0,3 m.

Chiều dài l của đoạn dây dọi sử dụng là tung độ của điểm B trên parabol có x_B = 0,3.

Nên ta có: l = BB’ = f(0,3) = $-\frac{187}{856}.{\left(0,3\right)}^2+\frac{8041}{856}.0,3\approx 2,8$ (m).

Vậy chiều dài dây dọi khoảng 2,8 m.

b) Khoảng cách từ chân trụ đến quả nặng là hoành độ điểm B trên parabol với y_B = 15.

Ta có: $-\frac{187}{856}{x}_B^2+\frac{8041}{856}{x}_B$ = 15.

⇔ – 187x_B² + 8041x_B – 12840 = 0

Suy ra x₁ ≈ 41,34 và x₂ ≈ 1,66.

Vậy khoảng cách từ chân trụ cầu bên trái đến quả nặng là khoảng 1,66 m, khoảng cách từ chân trụ cầu bên phải đến quả nặng là khoảng 41,34 m.

Theo đề bài, ta chọn kết quả 1,66 m.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Lý thuyết Hàm số bậc hai

1. Hàm số bậc hai

- Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.

Ví dụ:

+) y = 5x² + 2x + 1 là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = 5 ≠ 0, b = 2, c = 1.

+) y = 3x³ + x ‒ 1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này có chứa x³, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$  , tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$ ; (Δ = b² – 4ac)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh S$\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$ .

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.

Ví dụ: Cho hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1.

Ta xác định a = 1; b = 2; c = 1; Δ = b² – 4ac = 0.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1 là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}=-1$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=0$;

+ Có trục đối xứng d là đường thẳng x = ‒1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S(‒1; 0) và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol quay lên trên do a = 1 > 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ (0; 1).

Đối với hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1 ta thấy hệ số b = 2 là số chẵn nên cũng có thể tìm toạ độ đỉnh $S\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$  với a = 1, b' = 1, c = 1 và Δ' = b'² – ac = 0.

Khi đó ta cũng tìm được S(‒1; 0).

*Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0):

- Xác định tọa độ đỉnh S$\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$.

- Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = $-\frac{b}{2a}$ .

- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B$\left(-\frac{b}{a};c\right)$.

- Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1.

Ta có: a = 2; b = 3; c = 1; Δ = b² – 4ac = 1.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1 là một parabol (P):

+ Có toạ độ đỉnh S với $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{4};$  tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{8}$  hay $S\left(-\frac{3}{4};-\frac{1}{8}\right)$ ;

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = $-\frac{3}{4}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol (P) quay lên trên do a = 2 > 0;

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 1)

Ngoài ra phương trình 2x² + 3x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁ = ‒1 và $x_2=\frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (‒1; 0) và  

Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x² + 3x + 1 như hình vẽ dưới đây:

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

- Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số này như sau:

Chú ý: Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:

- Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right)$ .

- Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right]$ .

Ví dụ: Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ‒ x² + 3x – 2.

Hướng dẫn giải

Ta xác định các tham số: a = ‒1; b = 3; c = ‒2, ∆ = b² – 4ac = 1.

Đỉnh S có tọa độ:$x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$;$y_S=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{1}{4}$.

Hay $S\left(\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right)$ .

Vì hàm số bậc hai có a = ‒1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$  khi x =$\frac{3}{2}$

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Tầm bay cao và bay xa

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y₀) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$ 

Trong đó:

+ g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²);

+ α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

+ v₀ là vận tốc ban đầu của cầu;                  

+ y₀ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ:

- Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Ví dụ: Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 15 độ so với mặt đất.

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt ở độ cao 0,8 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 10 m/s (bỏ qua sức cản của gió và quỹ đạo của cầu trong mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s²).

b) Giả thiết như câu a và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4,5 m. Lần phát cầu này có hỏng không? Cho biết mép trên của lưới cách mặt đất 1,524 m.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ với vị trị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung.

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 15^o, vận tốc ban đầu của cầu là v₀ = 10 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$

$y=\frac{-9,8.x^2}{{2.10}^2.{\left(cos15°\right)}^2}+\tan 15°.x+0,8$

$y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8$ (với x ≥ 0)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên y = 0.

Giải phương trình y = 0 ⇔ $-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8=0$  ta được 2 nghiệm là x₁ ≈ 7,21 (thỏa mãn) và x₂ ≈ ‒2,11 (không thỏa mãn)

Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,21 m.

b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x = 4,5 thay $y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8$ vào  ta có:

$y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}.4,5^2+\left(2-\sqrt{3}\right).4,5+0,8$ ≈ 0,942 m < 1,524 m

Vậy quả phát cầu này không hợp lệ.