Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

 $\frac{A}{B}$ có nghĩa $\iff B\ne 0$

a) Biểu thức $4x^2-1$ có nghĩa với mọi $x\in \mathbb{R}$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=\mathbb{R}$

b) Biểu thức $f(x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $x^2+1\ne 0,$tức là với mọi $x\in \mathbb{R}$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=\mathbb{R}$

c) Biểu thức $f(x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $\frac{1}{x}$ có nghĩa, tức là khi $x\ne 0,$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$

Bài 2 trang 59 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:

a) $y=(1-3m)x^2+3$

b) $y=(4m-1)(x-7{)}^2$

c) $y=2(x^2+1)+11-m$

Phương pháp giải:

a) Để hàm số $y=(1-3m)x^2+3$ là hàm số bậc hai thì: $1-3m\ne 0$ tức là $m\ne \frac{1}{3}$

Vây $m\ne \frac{1}{3}$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Để hàm số $y=(m-2)x^3+(m-1)x^2+5$ là hàm số bậc hai thì:

$\{\begin{array}{l}m-2=0\\ m-1\ne 0\end{array}$ tức là $m=2.$

Khi đó $y=(2-1)x^2+5=x^2+5$

Vậy $m=2$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y=x^2+5$

Bài 3 trang 59 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=x^2-4x+3$

b) $y=-x^2-4x+5$

c) $y=x^2-4x+5$

d) $y=-x^2-2x-1$

Lời giải:

a) $y=x^2-4x+3$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=x^2-4x+3$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2.1}=2;y_S=2^2-4.2+3=-1.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a=1>0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

b) $y=-x^2-4x+5$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=-x^2-4x+5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2.(-1)}=-2;y_S=-(-2{)}^2-4.(-2)+5=9.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a=-1<0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

c) $y=x^2-4x+5$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=x^2-4x+5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2.1}=2;y_S=2^2-4.2+5=1.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a=1>0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

d) $y=-x^2-2x-1$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=-x^2-2x-1$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2.(-1)}=-1;y_S=-(-1{)}^2-2.(-1)-1=0$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a=-1<0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; -1).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 4 trang 59 Toán lớp 10: Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ 30 phút đầu với vận tốc trung bình là 42km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ 15 phút và tiếp tục đạp xe 2 giờ liền với vận tốc 30 km/h.

a) Hãy biểu thị quãng đường s (tính bằng kilômét) mà người này đi được sau t phút bằng một hàm số.

b) Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số s theo t.

Lời giải:

a) Đổi: 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ; 15 phút = 0,25 giờ; t phút = $\frac{t}{60}$ giờ

Nếu $t\le 90$(phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: $42.\frac{t}{60}=0,7t$(km)

Nếu $90<t\le 90+15=105$(phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: $42.1,5=63$(km)

Nếu $105<t\le 105+120=225$(phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: $42.1,5+(\frac{t}{60}-1,5-0,25).30=0,5t+10,5.$(km)

Như vậy hàm số tính quãng đường s (km) sau t phút là:

$s=\{\begin{array}{l}0,7t(0\le t\le 90)\\ 63(90<t\le 105)\\ 0,5t+10,5(105<t\le 225)\end{array}$

b)

Với $0\le t\le 90$ thì $s=0,7t$

Trên đoạn [0;90] ta vẽ đường thẳng $s=0,7t$

Với $90<t\le 105$ thì $s=63(km)$

Trên nửa khoảng (90;105] ta vẽ đường thẳng $s=63$

Với $105<t\le 225$(phút) thì $s=0,5t+10,5.$(km)

Trên nửa khoảng (105;225] ta vẽ đường thẳng $s=0,5t+10,5.$

Như vậy ta được đồ thị biểu diễn hàm số s theo t như hình trên.

Bài 5 trang 59 Toán lớp 10: Biết rằng hàm số $y=2x^2+mx+n$ giảm trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right),$tăng trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và có tập giá trị là $[9;+\mathrm{\infty })$. Xác định giá trị của m và n.

Phương pháp giải:

Từ tập giá trị suy ra GTNN của hàm số bằng 9.

Lập bảng biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải:

Đỉnh S có tọa độ: $x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-m}{2.2}=-\frac{m}{4};y_S=f(-\frac{m}{4})$

Vì hàm số bậc hai có $a=2>0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f(-\frac{m}{4}).$

Hàm số giảm trên $(-\mathrm{\infty };-\frac{m}{4})$ và tăng trên $(-\frac{m}{4};+\mathrm{\infty })$

Theo giả thiết, ta có:

Hàm số giảm trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$$\Rightarrow \left(-\mathrm{\infty };1\right)\subset (-\mathrm{\infty };-\frac{m}{4})\iff 1\le -\frac{m}{4}.$

Tương tự hàm số tăng trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$$\Rightarrow \left(1;+\mathrm{\infty }\right)\subset (-\frac{m}{4};+\mathrm{\infty })\iff -\frac{m}{4}\le 1.$

Do đó: $-\frac{m}{4}=1$ hay $m=-4$

Lại có: Tập giá trị là $[9;+\mathrm{\infty })$$\Rightarrow$Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.

$\iff f(1)=f(-\frac{m}{4})=9\iff {2.1}^2-(-4).1+n=9\iff n=3.$

Vậy $m=-4,n=3.$

Bài 6 trang 59 Toán lớp 10: Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước). Chiếc cầu trong Hình 1 có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người muốn thực hiện một cú nhày bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn dài bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ, gọi công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ.

Xác định hàm số và xác định tung độ của đỉnh.
Lời giải:

Gọi $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$ là công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Gọi S là đỉnh của parabol, dưới vị trí nhảy 1m.

A, B là các điểm như hình vẽ.

Dễ thấy: A (48; 46,2) và B (117+48; 0) = (165; 0).

Các điểm O, A, B đều thuộc đồ thị hàm số.

Do đó:

$f(0)=a{.0}^2+b.0+c=0\iff c=0$

$f(48)=a{.48}^2+b.48+c=46,2\iff a{.48}^2+b.48=46,2$

$f(165)=a{.165}^2+b.165+c=0\iff a{.165}^2+b.165=0\iff a.165+b=0$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}a{.48}^2+b.48=46,2\\ a.165+b=0\end{array}$ ta được $a=-\frac{77}{9360};b=\frac{847}{624}$

Vậy $y=f(x)=-\frac{77}{9360}{x}^2+\frac{847}{624}x$

Đỉnh S có tọa độ là$x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-\frac{847}{624}}{2.\left(-\frac{77}{9360}\right)}=82,5;y_S=-\frac{77}{9360}.82,5^2+\frac{847}{624}.82,5\approx 56$

Khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước là: $1+56+43=100(m)$

Bài 7 trang 59 Toán lớp 10: Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao 80 m, lúc đó máy bay đang bay với vận tốc 50 m/s. Để thùng hàng cứu trợ rơi đúngvị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí nào? Biết rằng nếu chọn gốc toạ độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì toạ độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau:

$\{\begin{array}{l}x=v_{0}t\\ y=h-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$

Trong đó, $v_0$ là vận tốc ban đầu và h là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.

Lưu ý: Chuyển động này được xem là chuyển động ném ngang.

Lời giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Gọi A vị trí hàng rơi xuống, khi đó $y_A=0$. Ta có, tọa độ của A thỏa mãn:

 $\{\begin{array}{l}x=50t\\ y=80-\frac{1}{2}.9,8.t^2\end{array}$

Mà $y_A=0\Rightarrow 0=80-\frac{1}{2}.9,8.t^2\iff t^2\approx 16,33\Rightarrow t\approx 4(s)$

Do đó $x_A=50.4=200(m)$ hay khoảng cách giữa máy bay và thùng hàng cứu trợ là 200m.

Vậy để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn thì máy bay cần thả hàng khi cách điểm đó 200m.

Lý thuyết Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

- Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý:

+ Ta thường dùng kí hiệu f(x) để chỉ giá trị y tương ứng với x, nên hàm số còn được viết là y = f(x).

+ Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

+ Một hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức.

2. Đồ thị hàm số

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Chú ý: Điểm M(x_M; y_M) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi x_M ∈ D và y_M = f(x_M).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

- Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Nhận xét:

+ Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

4. Hàm số bậc hai

- Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.

5. Đồ thị hàm số bậc hai

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$; (Δ = b² – 4ac)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$  (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh S $\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$.

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.

*Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0):

- Xác định tọa độ đỉnh S$\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ .

- Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = $-\frac{b}{2a}$ .

- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B$\left(-\frac{b}{a};c\right)$ .

- Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

6. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

- Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số này như sau:

Chú ý: Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:

- Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$  tại x =$\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right)$ .

- Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$  tại x =  $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right]$ .

7. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Tầm bay cao và bay xa

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y₀) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$ 

Trong đó:

+ g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²);

+ α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

+ v₀ là vận tốc ban đầu của cầu;                  

+ y₀ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ:

- Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế