Với giải Bài 9 trang 57 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Hàm số bậc hai học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài 9 trang 57 Toán lớp 10: Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

-  Dây dài nhất là 5 m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

-  Nhịp cầu dài 30 m.

-  Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ, gọi công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu.

Xác định hàm số và xác định tung độ của điểm có hoành độ là hình chiếu của các dây cáp dọc.

Lời giải:

Gọi $y=a{x}^2+bx+c$ là công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Khi đó độ dài dây cáp dọc ở mỗi mặt bên là tung độ của điểm biểu diễn tương ứng.

Ở mỗi mặt: có 21 dây cáp dọc, tương ứng cho 20 khoảng cách giữa chúng.

Khoảng cách giữa hai dây cáp liền kề là: $30:20=1,5\left(m\right)$

Khi đó: $x_0=0;x_1=1,5;x_2=3;x_3=4,5;...;x_n=1,5.n$

Dễ thấy: các điểm có tọa độ (0; 5), ($x_{10};0,8$), $(x_{20};5)$ thuộc đồ thị hàm số.

(Trong đó: $x_{10}=10.1,5=15;x_{20}=20.1,5=30.$)

Suy ra:

$f(0)=a{.0}^2+b.0+c=5\iff c=5$

Và $f(1)=a{.10}^2+b.10+c=0,8\iff 100a+10b+5=0,8$

$f(2)=a{.30}^2+b.30+c=5\iff 900a+30b+5=5$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}100a+10b+5=0,8\\ 900a+30b+5=5\end{array}$ ta được $a=\frac{21}{1000};b=-\frac{63}{100}$

Như vậy $y=\frac{21}{1000}{x}^2-\frac{63}{100}x+5$

Gọi $y_0,y_1,y_2,..y_{20}$ là tung độ của các điểm có hoành độ lần lượt là $x_0,x_1,x_2,..x_{20}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{y}_0=5\\ y_1=\frac{21}{1000}.1,5^2-\frac{63}{100}.1,5+5\\ y_2=\frac{21}{1000}.(2.1,5{)}^2-\frac{63}{100}.(2.1,5)+5=2^2.\frac{21}{1000}.1,5^2-2.\frac{63}{100}.1,5+5\\ ...\\ y_n=\frac{21}{1000}.(n.1,5{)}^2-\frac{63}{100}.(2.1,5)+5=n^2.\frac{21}{1000}.1,5^2-n.\frac{63}{100}.1,5+5\\ \Rightarrow T=y_0+y_1+y_2+..+y_{20}=5+\frac{21}{1000}.1,5^2.(1+2^2+...+{20}^2)-\frac{63}{100}.1,5.(1+2+...+20)+5.20\end{array}$

Mà $1+2^2+...+{20}^2=2870;1+2+...+20=210$

$\Rightarrow T=5+\frac{21}{1000}.1,5^2.2870-\frac{63}{100}.1,5.210+5.20\approx 42,16(m)$

Tổng chiều dài của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là: $42,16.2=84,32(m)$

Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là 84,32m.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 5x² + 2x – 1.

b) y = x³ + x + 1.

c) y = x² +  +1.

d) y = 1 – x – x².

Hướng dẫn giải

+) Hàm số y = 5x² + 2x – 1 là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = 5 ≠ 0, b = 2, c = ‒1.

+) Hàm số y = x³ + x + 1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này có chứa x³, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

+) Hàm số y = x² + $\sqrt{x}$ +1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này chứa $\sqrt{x}$ , không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

+) Hàm số y = 1 – x – x² là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = ‒1 ≠ 0, b = ‒1, c = 1.

Vậy có các hàm số y = 5x² + 2x – 1, y = 1 – x – x² là hàm số bậc hai.

Bài 2. Tìm điều kiện của m để hàm số y = mx² + 4mx + 3 là hàm số bậc hai. Khi m = 1, hãy vẽ đồ thị của hàm số đó và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y = mx² + 4mx + 3 là hàm số bậc hai thì hệ số của x² phải khác 0

⇔ m ≠ 0.

Khi m = 1 (thỏa mãn m ≠ 0) thì hàm số sẽ trở thành: y = x² + 4x + 3 là hàm số bậc hai. Khi đó đồ thị của hàm số là một parabol (P).

Vẽ đồ thị: (các tham số a = 1, b' = 2, c = 3, ∆' = b'² – ac = 1)

+ Có tọa độ đỉnh S(‒2; ‒1);

+ Có trục đối xứng d là đường thẳng x = ‒2 (đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol quay lên trên do a = 1 > 0;

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0; 3). Điểm B đối xứng với A qua trục đối xứng d có tọa độ B(‒4; 3);

Phương trình x² + 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = ‒3 và x₂ = ‒1 nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (‒3; 0) và (‒1; 0).

Ta có parabol sau:

Do a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒∞; ‒2) và đồng biến trên khoảng (‒2; + ∞).

Bài 3. Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax² + bx + c có f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 18.

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số tìm được ở câu a. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất không? Tìm giá trị đó.

Hướng dẫn giải

a) +) Với f(0) = 6, thay x = 0 vào hàm số ta có:

f(0) = a. 0² + b. 0 + c = 6 ⇔ c = 6.

+) Với f(1) = 11, thay x = 1 vào hàm số ta có:

f(1) = a. 1² + b. 1 + c = 11 ⇔ a + b + c = 11 ⇔ a + b = 5.          (1)

+) Với f(2) = 18, thay x = 2 vào hàm số ta có:

f(2) = a. 2² + b. 2 + c = 18 ⇔ 4a + 2b + c = 18 ⇔ 4a + 2b = 12 ⇔ 2a + b = 6.         (2)

Trừ theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được: a = 1

Suy ra b = 4.

Khi đó phương trình bậc hai trở thành y = x² + 4x + 6.

b) Xét hàm số y = x² + 4x + 6 có a = 1, b' = 2, c = 6 và ∆' = b'² – ac = ‒2.

Đỉnh S của đồ thị hàm số có tọa độ:

$x_S=\frac{-b^{\text{'}}}{a}=-2;$ $y_S=-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}=2$ .

Hay S(‒2; 2).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = ‒2.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

HĐ Khởi động trang 49 Toán lớp 10: Các hàm số này có chung đặc điểm gì?...

HĐ Khám phá 1 trang 49 Toán lớp 10: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?...

Thực hành 1 trang 49 Toán lớp 10: Hàm số nào trong các hàm số được cho ở Hoạt động khám phá 1 là hàm số bậc hai?...

HĐ Khám phá 2 trang 49 Toán lớp 10: a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-8x+19={(x-4)}^2+3$có bảng giá trị:...

Thực hành 2 trang 52 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số trong Ví dụ 2z. Nếu nhận xét về hai đồ thị này...

HĐ Khám phá 3 trang 52 Toán lớp 10: Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ở hai hình sau, tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp...

Thực hành 3 trang 53 Toán lớp 10: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y=2x^2-6x+11$.Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?...

Vận dụng trang 55 Toán lớp 10: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên)...

Bài 1 trang 56 Toán lớp 10: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?...

Bài 2 trang 56 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai...

Bài 3 trang 56 Toán lớp 10: Lập bảng biến thiên của hàm số  Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó...

Bài 4 trang 56 Toán lớp 10: Cho hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ có f(0)=1, f(1)=2, f(2)=5...

Bài 5 trang 56 Toán lớp 10: Cho hàm số $y=2x^2+x+m$. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5...

Bài 6 trang 56 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:...

Bài 7 trang 56 Toán lớp 10: Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12...

Bài 8 trang 57 Toán lớp 10: Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13...

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Bài 2: Định lí cosin và định lí sin