HĐ3 trang 68 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

1.8 K

Với giải HĐ3 trang 68 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

HĐ3 trang 68 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính $A B^{2}, O A^{2}, O B^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u} = (x; y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\vec{O B} = \vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A^{2} = {| \vec{O A} |}^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Và $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'}) \Rightarrow O B^{2} = {| \vec{O B} |}^{2} = x^{' 2} + y^{' 2} .$

Lại có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$

$\Rightarrow A B^{2} = {| \vec{A B} |}^{2} = {(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2} .$

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$

Mà $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . \cos \hat{O}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{x^{2} + y^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} - {(x^{'} - x)}^{2} - {(y^{'} - y)}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{- (- 2 x^{'} . x) - (- 2 y^{'} . y)}{2} = x^{'} . x + y^{'} . y \end{array}$

Lý thuyết Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ và $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{5.2} = \frac{- 5}{10} = \frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{w}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{w}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ;