Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

Huyen Luong Ngày: 23-02-2023 Lớp 10

174

Với Giải toán lớp 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y)$ . Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0}$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

a) Vì $\vec{u} = \vec{0}$ nên $\vec{u}$ vuông góc với mọi $\vec{v}$ .

Như vậy $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Mặt khác: $\vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow x = y = 0$

$\Rightarrow k (x^{2} + y^{2}) = 0 = \vec{u} . \vec{v}$

b) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2}) \end{array}$

(|k|= k do k > 0)

c) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} | = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} \\ = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2}) . \end{array}$

HĐ3 trang 68 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính $A B^{2}, O A^{2}, O B^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u} = (x; y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\vec{O B} = \vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A^{2} = {| \vec{O A} |}^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Và $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'}) \Rightarrow O B^{2} = {| \vec{O B} |}^{2} = x^{' 2} + y^{' 2} .$

Lại có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$

$\Rightarrow A B^{2} = {| \vec{A B} |}^{2} = {(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2} .$

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$

Mà $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . \cos \hat{O}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{x^{2} + y^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} - {(x^{'} - x)}^{2} - {(y^{'} - y)}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{- (- 2 x^{'} . x) - (- 2 y^{'} . y)}{2} = x^{'} . x + y^{'} . y \end{array}$

Luyện tập 3 trang 68 Toán lớp 10: Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} + (- 5) .1 = - 5.$

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{v} + \vec{w} = (x_{2}; y_{2}) + (x_{3}; y_{3}) = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3}) \\ \Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) \end{array}$

Và: $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = (x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}) + (x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3} .$

b) Vì $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ $= (x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3}) + (y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3})$

Nên $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} \\ \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$