Bài 4.24 trang 70 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

6.8 K

Với giải Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Độ dài vectơ $\vec{A B} (x; y)$ là $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

b) Chỉ ra $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải:

a) Ta có:

${\begin{cases} \vec{A B} = (2 - (- 4); 4 - 1) = (6; 3) \\ \vec{B C} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6) \\ \vec{A C} = (2 - (- 4); - 2 - 1) = (6; - 3) \end{cases}$ $\Rightarrow {\begin{cases} A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5} \\ B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6 \\ A C = | \vec{C A} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5} . \end{cases}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(6)}^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(6)}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(3 \sqrt{5})}^{2}}{2.6.3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 63, 435^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 63, 435^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6; b = 3 \sqrt{5}; c = 3 \sqrt{5}$ ; $\hat{A} \approx 53, 13^{o}; \hat{B} = \hat{C} \approx 63, 435^{o} .$

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 4); y - 1) = (x + 4; y - 1) \\ \vec{B H} = (x - 2; y - 4) \end{cases}$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ A C$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ và $(\vec{B H}, \vec{A C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{B H}, \vec{A C}) = 0$

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Mà: $\vec{B C} = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow - 6. (y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 12 + (- 3) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} . \end{array}$

Vậy H có tọa độ $(1; \frac{1}{2})$

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; - 2); \vec{b} = (- 1; - 3)$ .

a) Tính tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1.(–1) + (–2).(–3) = 5.

Vậy $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 5.

b) Ta có $| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{5}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Khi đó cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{5}{\sqrt{5} . \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = 45°.

Vậy góc giữa hai vectơ và là 45°.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(1; 1). Tìm tọa độ của điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm C cần tìm có tọa độ (x; y). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có:

$(\begin{matrix} \vec{B A} . \vec{B C} = 0 \\ | \vec{B A} | = | \vec{B C} | \end{matrix})$

Ta có $\vec{B A} = (1; 3)$ và $\vec{B C} = (x - 1; y - 1)$ .

Khi đó $\vec{B A} . \vec{B C} = 1. (x - 1) + 3 (y - 1) = x + 3 y - 4$ .

Và $| \vec{B A} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ ; $| \vec{B C} | = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}$

Ta có: $(\begin{matrix} \vec{B A} . \vec{B C} = 0 \\ | \vec{B A} | = | \vec{B C} | \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x + 3 y - 4 = 0 \\ \sqrt{10} = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x + 3 y - 4 = 0 \\ 10 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x = 4 - 3 y \\ {(3 - 3 y)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 4 - 3 y \\ 10 y^{2} - 20 y = 0 \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x = 4 - 3 y \\ (\begin{matrix} y = 0 \\ y = 2 \end{matrix}) \end{matrix})$ ⇔ $(\begin{matrix} (\begin{matrix} x = 4 \\ y = 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \end{matrix}) \end{matrix})$