HĐ4 trang 68 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

1.7 K

Với giải HĐ4 trang 68 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{v} + \vec{w} = (x_{2}; y_{2}) + (x_{3}; y_{3}) = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3}) \\ \Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) \end{array}$

Và: $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = (x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}) + (x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3} .$

b) Vì $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ $= (x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3}) + (y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3})$

Nên $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} \\ \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$

Lý thuyết Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ và $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{5.2} = \frac{- 5}{10} = \frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{w}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{w}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ;