Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng và
b) Tìm tọa độ của H.
c) Giải tam giác ABC.
Phương pháp giải:
a)
b) Lập hệ PT biết và .
c) Nếu vectơ thì
Lời giải:
a) và
. Do đó
Tương tự suy ra .
b) Gọi H có tọa độ (x; y)
Ta có: và
Lại có: và
Vậy H có tọa độ (6; 2)
c) Ta có:
Và ;
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
Vậy tam giác ABC có: ;
Vận dụng trang 70 Toán lớp 10: Một lực không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực được phân tích thành hai lực thành phần là và
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và .
b) Giả sử các lực thành phần , tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực .
Phương pháp giải:
Khi lực không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là:
Lời giải:
a)
Gọi lần lượt là công sinh bởi lực , và .
Ta cần chứng minh:
Xét lực , công sinh bởi lực là:
Tương tự, ta có: ,
Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:
b)
Vì tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên
Do đó: công sinh bởi lực là:
Mà
Vậy công sinh bởi lực bằng công sinh bởi lực .
Bài tập
Bài 4.21 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ và trong mỗi trường hợp sau:
a)
b)
c)
Phương pháp giải:
Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng:
Lời giải:
a)
hay .
b)
c) Dễ thấy: và cùng phương do
Hơn nữa: ;
Do đó: và ngược hướng.
Chú ý:
Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:
+ : nếu
+ và cùng phương:
nếu và cùng hướng
nếu và ngược hướng
Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức
Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của để:
a)
b)
Phương pháp giải:
Tích vô hướng
Lời giải:
a)
Ta có:
Nói cách khác: cùng hướng.
b)
Ta có:
Nói cách khác: ngược hướng.
Bài 4.23 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính theo t.
b) Tính t để
Phương pháp giải:
+) Nếu vecto và thì
+)
Lời giải:
a)
Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)
b)
Để hay thì
Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì
Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)
a) Giải tam giác
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
a) Độ dài vectơ là
b) Chỉ ra và từ đó tìm tọa độ của H.
Lời giải:
a) Ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
Vậy tam giác ABC có: ;
b)
Gọi H có tọa độ (x; y)
Lại có: H là trực tâm tam giác ABC
và
và
Do đó và .
Mà:
Và
Vậy H có tọa độ
Bài 4.25 trang 70 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:
Phương pháp giải:
Biến đổi vế trái, đưa về công thức
+)
+) với mọi .
Lời giải:
Đặt
Mà
(Vì nên )
Do đó hay (đpcm)
Bài 4.26 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
Phương pháp giải:
+)
+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có:
+) G là trọng tâm tam giác ABC thì:
Lời giải:
Ta có:
( do G là trọng tâm tam giác ABC)
(đpcm)
Xem thêm lời giải Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: