Giải Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Huyen Luong Ngày: 23-02-2023 Lớp 10

219

Với Giải toán lớp 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

b) Lập hệ PT biết $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

c) Nếu vectơ $\vec{A B} (x; y)$ thì $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải:

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

a) $A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ C A$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ . Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$

Tương tự suy ra $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 1); y - 2) = (x + 1; y - 2) \\ \vec{B H} = (x - 8; y - (- 1)) = (x - 8; y + 1) \end{cases}$

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B C} = (8 - 8; 8 - (- 1)) = (0; 9)$

$(x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow 9. (y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.$

Lại có: $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ và $\vec{C A} = (- 1 - 8; 2 - 8) = (- 9; - 6)$

$\begin{array}{l} (x - 8) . (- 9) + (y + 1) . (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 72 + 3. (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 54 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 6. \end{array}$

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: $\vec{A B} = (8 - (- 1); - 1 - 2) = (9; - 3)$ $\Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10}$

Và $\vec{B C} = (0; 9) \Rightarrow B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9$ ;

$\vec{C A} = (- 9; - 6)$ $\Rightarrow A C = | \vec{C A} | = \sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{13})}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(9)}^{2}}{2.3 \sqrt{13} .3 \sqrt{10}} \approx 0, 614$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 52, 125^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(3 \sqrt{13})}^{2}}{2.9.3 \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 71, 565^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 56, 31^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 9; b = 3 \sqrt{13}; c = 3 \sqrt{10}$ ; $\hat{A} \approx 52, 125^{o}; \hat{B} \approx 71, 565^{o}; \hat{C} \approx 56, 31^{o} .$

Vận dụng trang 70 Toán lớp 10: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ $(\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) .$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$ .

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Khi lực $\vec{F}$ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: $A = F . s . \cos α$

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Gọi $A, A_{1}, A_{2}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ , $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Ta cần chứng minh: $A = A_{1} + A_{2}$

Xét lực $\vec{F}$ , công sinh bởi lực $\vec{F}$ là: $A = | \vec{F} | . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B}) = \vec{F} . \vec{A B}$

Tương tự, ta có: $A_{1} = \vec{F_{1}} . \vec{A B}$ , $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B}$

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

$A_{1} + A_{2} = \vec{F_{1}} . \vec{A B} + \vec{F_{2}} . \vec{A B} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{A B} = \vec{F} . \vec{A B} = A$

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Vì $\vec{F_{2}}$ tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên $\vec{F_{2}} ⊥ \vec{A B}$

Do đó: công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là: $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B} = 0$

Mà $A = A_{1} + A_{2}$

$\Rightarrow A = A_{1}$

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ .

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (- 3; 1), \vec{b} = (2; 6)$

b) $\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)$

c) $\vec{a} = (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; - \sqrt{2})$

Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải:

$\vec{a} . \vec{b} = (- 3) .2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ hay $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ .

${\begin{cases} \vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10 \\ | \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}; | \vec{b} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{10}{\sqrt{10} .2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{o} \end{array}$

c) Dễ thấy: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương do $\frac{- \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Hơn nữa: $\vec{b} = (2; - \sqrt{2}) = - \sqrt{2} . (- \sqrt{2}; 1) = - \sqrt{2} . \vec{a}$ ; $- \sqrt{2} < 0$

Do đó: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{o}$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+ $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ : nếu $\vec{a} . \vec{b} = 0$

+ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

Phương pháp giải:

Tích vô hướng $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$\Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o}$

Nói cách khác: $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng.

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$\Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o}$

Nói cách khác: $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{o}$

Phương pháp giải:

+) Nếu vecto $\vec{A M} (x; y)$ và $\vec{B M} (a; b)$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = x a + y b$

+) $\hat{A M B} = 90^{o} \Leftrightarrow A M ⊥ B M$

Lời giải:

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A M} = (t - 1; - 2), \vec{B M} = (t + 4; - 3) \\ \Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (t - 1) (t + 4) + (- 2) (- 3) \\ = t^{2} + 3 t + 2. \end{array}$

Để $\hat{A M B} = 90^{o}$ hay $A M ⊥ B M$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow t^{2} + 3 t + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 2 \end{array} \end{array}$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $\hat{A M B} = 90^{o}$

Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Độ dài vectơ $\vec{A B} (x; y)$ là $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

b) Chỉ ra $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải:

a) Ta có:

${\begin{cases} \vec{A B} = (2 - (- 4); 4 - 1) = (6; 3) \\ \vec{B C} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6) \\ \vec{A C} = (2 - (- 4); - 2 - 1) = (6; - 3) \end{cases}$ $\Rightarrow {\begin{cases} A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5} \\ B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6 \\ A C = | \vec{C A} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5} . \end{cases}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(6)}^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(6)}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(3 \sqrt{5})}^{2}}{2.6.3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 63, 435^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 63, 435^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6; b = 3 \sqrt{5}; c = 3 \sqrt{5}$ ; $\hat{A} \approx 53, 13^{o}; \hat{B} = \hat{C} \approx 63, 435^{o} .$

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 4); y - 1) = (x + 4; y - 1) \\ \vec{B H} = (x - 2; y - 4) \end{cases}$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ A C$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ và $(\vec{B H}, \vec{A C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{B H}, \vec{A C}) = 0$

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Mà: $\vec{B C} = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow - 6. (y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 12 + (- 3) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} . \end{array}$

Vậy H có tọa độ $(1; \frac{1}{2})$

Bài 4.25 trang 70 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Phương pháp giải:

Biến đổi vế trái, đưa về công thức $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c . \sin A$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

+) $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ với mọi $α$ .

Lời giải:

Đặt $A = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - {(A B . A C . \cos A)}^{2}} \\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} (1 - \cos^{2} A)} \end{array}$

Mà $1 - \cos^{2} A = \sin^{2} A$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} . \sin^{2} A}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A$ (Vì $0^{o} < \hat{A} < 180^{o}$ nên $\sin A > 0$ )

Do đó $A = S_{A B C}$ hay $S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Phương pháp giải:

+) $M A^{2} = {\vec{M A}}^{2}$

+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có: $\vec{M G} + \vec{G A} = \vec{M A}$

+) G là trọng tâm tam giác ABC thì: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} \\ = {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2} \\ = {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \end{array}$

( do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\begin{array}{l} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} \end{array}$ (đpcm)