Giải SGK Toán lớp 10 Bài 13 (Kết nối tri thức): Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

11.9 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế

1. Số trung bình và trung vị

Giải Toán 10 trang 78 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 78 Toán loán lớp 10: Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B.

Phương pháp giải:

Công thức tính trung bình cộng:

$\bar{X} = \frac{Tổng điểm cả lớp}{Số học sinh}$

Lời giải:

Tổng điểm cả lớp A là 148

Tổng điểm cả lớp B là 157

Trung bình cộng lớp A:

$\bar{X_{A}} = \frac{148}{25} = 5, 92$

Trung bình cộng lớp B:

$\bar{X_{B}} = \frac{157}{25} = 6, 28$

Vậy trung bình cộng điểm tiếng Anh lớp A là 5,92 và lớp B là 6,28.

Chú ý

Cần cẩn thận khi tính tổng điểm, có thể bị nhầm dẫn đến kết quả sai.

HĐ2 trang 78 Toán lớp 10: Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.

Phương pháp giải:

Điểm trung bình của lớp nào cao hơn thì phương pháp học tập tương ứng với lớp đó hiệu quả hơn.

Lời giải:

Ta thấy điểm trung bình tiếng Anh của lớp B cao hơn nên phương pháp học tập áp dụng với lớp B tốt hơn.

Giải Toán 10 trang 79 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 79 Toán lớp 10: Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):

Thời gian	12	13	14	15	16
Số bạn	5	7	10	8	6

Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định n và các giá trị $x{ & _i}$ , $i = 1; 2; . . .; n$

Bước 2: Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ :

$\bar{X} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + m_{n} x_{n}}{n}$

Lời giải:

Số bạn trong lớp là $n = 5 + 7 + 10 + 8 + 6 = 36$

Thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp là

$\bar{X} = \frac{5.12 + 7.13 + 10.14 + 8.15 + 6.16}{36}$

Chú ý

Bài toán này cho dưới dạng bảng tần số nên cần tính theo công thức trên.

HĐ3 trang 79 Toán lớp 10: lệch về thu nhập của mỗi thành viên so với thu nhập trung bình.

Lời giải:

a) Thu nhập trung bình của thành viên trong công ty là

$\bar{X} = \frac{20.1 + 4.5}{6} = \frac{40}{6} \approx 6, 67$

Vậy thu nhập trung bình của các thành viên là 6,67 triệu đồng.

b) Ta thấy rõ ràng thu nhập của giám đốc cao hơn thu nhập trung bình rất nhiều (khoảng 13,3 triệu), còn thu nhập của mỗi nhân viên thì gần với thu nhập trung bình hơn (khoảng 2,67 triệu). Như thế, thu nhập trung bình không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty.

Chú ý

Công ty có 6 người thì cần tính thu nhập trung bình của 6 người.

Luyện tập 2 trang 79 Toán lớp 10: Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:

48 53 51 31 53 112 52

Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ :

$\bar{X} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

- Số trung vị

+ Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm.

+ Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

- Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.

Lời giải:

Số trung bình: $\bar{X} = \frac{48 + 53 + 51 + 31 + 53 + 112 + 52}{7}$ $= \frac{400}{7} \approx 57, 14$

Số trung vị:

Ta sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm:

31 48 51 52 53 53 112

Số giá trị là 7, là số lẻ nên giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Mà giá trị chính giữa là 52.

Vậy số trung vị là 52.

Ta thấy trong mẫu số liệu bài cho thì 112 cao hơn hẳn giá trị trung bình nên không thể dùng số trung bình để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

Vậy ta dùng số trung vị để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

2. Tứ phân vị

Giải Toán 10 trang 80 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ4 trang 80 Toán lớp 10: Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:

58 74 92 81 97 88 75 69 87 69 75 77.

Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhi, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh).

Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.

Phương pháp giải:

Sắp xếp điểm theo thứ tự không giảm.

Lời giải:

Sắp xếp điểm theo thứ tự không giảm.

58 69 69 74 75 75 77 81 87 88 92 97

Vì mỗi giải trao cho 3 người nên ta

+ Giải Nhất: những người được 97, 92, 88

+ Giải Nhì: những người được 87, 81, 77

+ Giải Ba: những người được 75, 74

+ Giải Tư: những người được 69, 58.

Chú ý

Có thể xếp giải từ giải Tư đến giải Nhất.

Giải Toán 10 trang 81 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 81 Toán lớp 10: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:

Số lần	0	1	2	3	4	5
Số học sinh	2	4	6	12	8	3

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Phương pháp giải:

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị cho dưới dạng bảng tần số, ta làm như sau:

+ Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_{2}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{1}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{3}$

Lời giải:

Ta thấy n=2+4+6+12+8+3=35.

Trung vị là học sinh thứ 18

Ta thấy 2+4+6<18<2+4+6+12

=> $Q_{2} = 3$

Ta tìm $Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ )

Nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9:

Ta thấy 2+4<9<2+4+6

=> $Q_{1} = 2$

Ta tìm $Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ )

Nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9 trong 17 học sinh và là học sinh thứ 9+18=27 trong 35 học sinh.

Ta thấy 2+4+6+12<27<2+4+6+12+8

=> $Q_{3} = 4$

3. Mốt

HĐ5 trang 81 Toán lớp 10: Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:

38 39 39 38 40 41 39 39 38 39 39 39 40 39 39.

a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?

b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?

Phương pháp giải:

+ Cỡ giày trung bình: Số trung bình của mẫu số liệu

+ Nhận xét ý nghĩa số trung bình.

b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày có nhiều người chọn nhất.

Lời giải:

Bảng tần số:

Cỡ giày	38	39	40	41
Số giày	3	9	2	1

Cỡ giày trung bình:

$\bar{X} = \frac{38.3 + 39.9 + 40.2 + 41}{3 + 9 + 2 + 1} = \frac{586}{15} \approx 39$

Ý nghĩa: Cỡ giày trung bình này có thể đại diện cho cỡ giày của cửa hàng.

b) Cỡ giày số 39 là cỡ giày nhiều khách nam đi nhất trong tổng số người được chọn nên cửa hàng nên nhập cỡ giày này.

Giải Toán 10 trang 82 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 82 Toán lớp 10: Hai phương pháp học tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điềm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.

2	7	6	3	9
8	6	7	9	2
5	7	5	9	8
8	7	4	3	5
5	4	5	7	7

Lớp A

6	7	6	4	7
9	3	8	7	5
5	6	8	7	4
5	3	10	7	9
6	7	6	7	5

Lớp B

Quan sát hai mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không? Để làm được điều đó, người ta thường tính toán các số đặc trưng cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh.

Bài học này sẽ giới thiệu về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, tức là các số cho ta biết thông tin về vị trí trung tâm của mẫu số liệu và được dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điềm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.

Phương pháp giải:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: số trung bình, trung vị, mốt.

Công thức tính trung bình cộng: $\bar{X} = \frac{Tổng điểm cả lớp}{Số học sinh}$

Lời giải:

Lớp A:

Trung bình cộng lớp A: $\bar{X_{A}} = \frac{148}{25} = 5, 92$

Bảng tần số:

Điểm	2	3	4	5	6	7	8	9
Số HS	2	2	2	5	2	6	3	3

Do n=25 nên trung vị: số thứ 13

HĐ5 trang 81 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do 2+2+2+5+2=13

=> Trung vị là 6.

Mốt là 7 do 7 có tần số là 6 (cao nhất)

Lớp B:

Trung bình cộng lớp B: $\bar{X_{B}} = \frac{157}{25} = 6, 28$

Bảng tần số:

Điểm	3	4	5	6	7	8	9	10
Số HS	2	2	4	5	7	2	2	1

Do n=25 nên trung vị: số thứ 13

HĐ5 trang 81 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Do 2+2+4+5=13

=> Trung vị là 6.

Mốt là 7 do 7 có tần số là 7 (cao nhất)

Trừ số trung bình ra thì trung vị và mốt của cả hai mẫu số liệu đều như nhau

=> Hai phương pháp học tập hiệu quả như nhau.

Bài tập

Bài 5.7 trang 82 Toán lớp 10: Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9 8 15 8 20

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350 300 650 300 450 500 300 250

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36 38 33 34 32 30 34 35

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ :

$\bar{X} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

- Số trung vị

+ Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm.

- Mốt: Giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

- Tứ phân vị

+ Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

+ Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_{2}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{1}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{3}$

Lời giải:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9 8 15 8 20

Số trung bình: $\bar{X} = \frac{9 + 8 + 15 + 8 + 20}{5} = 12$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

8 8 9 15 20

Ta có n=5 là số lẻ nên trung vị là 9.

Mốt: Ta thấy số 8 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_{2}$

Ta có trung vị là 9=> $Q_{2} = 9$ .

+ Tìm $Q_{1}$

Nửa số liệu bên trái là:

8 8

Trung vị của mẫu này là $\frac{8 + 8}{2} = 8$ => $Q_{1} = 8$

+ Tìm $Q_{3}$

Nửa số liệu bên phải là:

15 20

Trung vị của mẫu này là $\frac{15 + 20}{2} = 17, 5$ => $Q_{3} = 17, 5$

Vậy số trung bình là 12, trung vị là 9 và mốt là 8, $Q_{1} = 8$ , $Q_{3} = 17, 5$

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350 300 650 300 450 500 300 250

Số trung bình: $\bar{X}) \(= \frac{350 + 300.3 + 650 + 450 + 500 + 250}{8}$ $= 387, 5$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

250 300 300 300 350 450 500 650

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 300 và 350

=> Trung vị là $\frac{300 + 350}{2} = 325$

Mốt: Ta thấy số 300 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 3 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_{2}$

Ta có trung vị là 325=> $Q_{2} = 325$ .

+ Tìm $Q_{1}$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

250 300 300 300

Trung vị của mẫu này là $\frac{300 + 300}{2} = 300$ => $Q_{1} = 300$

+ Tìm $Q_{3}$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

350 450 500 650

Trung vị của mẫu này là $\frac{450 + 500}{2} = 475$ => $Q_{3} = 475$

Vậy số trung bình là 387,5, trung vị là 325 và mốt là 300, $Q_{1} = 300$ , $Q_{3} = 475$

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36 38 33 34 32 30 34 35

Số trung bình: $\bar{X} = \frac{36 + 38 + 33 + 34.2 + 32 + 30 + 35}{8} = 34$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

30 32 33 34 34 35 36 38

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 34 và 34

=> Trung vị là 34

Mốt: Ta thấy số 34 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_{2}$

Ta có trung vị là 34=> $Q_{2} = 34$ .

+ Tìm $Q_{1}$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

30 32 33 34

Trung vị của mẫu này là $\frac{32 + 33}{2} = 32, 5$ => $Q_{1} = 32, 5$

+ Tìm $Q_{3}$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

34 35 36 38

Trung vị của mẫu này là $\frac{35 + 36}{2} = 35, 5$ => $Q_{3} = 35, 5$

Vậy số trung bình là 34, trung vị là 34 và mốt là 34, $Q_{1} = 32, 5$ , $Q_{3} = 35, 5$

Chú ý

Nếu n chẵn thì nửa số liệu bên trái (phải) $Q_{2}$ phải chứa cả $Q_{2}$

Bài 5.8 trang 82 Toán lớp 10: Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tinh giá trị của số đặc trưng đó.

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:

Bài 5.7 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:

32 24 20 14 23.

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80.

d) Các sai số trong một phép đo: 10 15 16 15 14 13 42 15 12 14 42.

Phương pháp giải:

a) Chọn trung vị.

b) Chọn số trung bình

c) Chọn số trung bình.

d) Chọn Mốt.

Lời giải:

a) Sắp xếp lại số liệu:

0 0 1 2 13 27 34 63

Trung vị là $\frac{(2 + 13)}{2} = 7, 5.$

Ta không chọn số trung bình vì số trung bình là 17,5 chênh lệch với 63 lớn. Mốt cũng thế.

b) Các số liệu bài cho không chênh lệch quá lớn với số trung bình nên ta chọn số trung bình.

Số đường truyền trung bình là: $\frac{32 + 24 + 20 + 14 + 23}{5} = 22, 6$

c) Các số liệu bài cho không chênh lệch quá lớn với số trung bình nên ta chọn số trung bình.

IQ trung bình là $\frac{60 + 72 + 63 + 83 + 68 + 74.2 + 90 + 86 + 80}{10} = 75$

d) Ta thấy 42 chênh lệch lớn với các số còn lại nên ta chọn Mốt để đo xu thế trung tâm.

Mốt là 15 (tần số là 3).

Chú ý

Mẫu dữ liệu có sự chênh lệch quá lớn thì không nên chọn số trung bình để đo xu thế trung tâm.

Giải Toán 10 trang 83 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 5.9 trang 83 Toán lớp 10: Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2016-2017 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.

a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ :

$\bar{X} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

- Số trung vị

+ Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm.

- Mốt: Giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

- Tứ phân vị

+ Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

+ Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_{2}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{1}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{3}$

b) Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Cho biết mật độ tập trung của các mẫu số liệu. Khoảng cách giữa các tứ phân vị càng lớn thì mật độ tập trung càng thấp và ngược lại.

Lời giải:

a) Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

0 0 0 0 0 0 0 4 6 10

Số trung bình: $\bar{X} = \frac{0.7 + 4 + 6 + 10}{10} = 2$

Trung vị: $Q_{2} = 0$

Tứ phân vị:

+ Nửa bên trái của $Q_{2}$ :

0 0 0 0 0

=> $Q_{1} = 0$

+ Nửa bên phải của $Q_{2}$ :

0 0 4 6 10

=> $Q_{3} = 4$

b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì mật độ của mẫu số liệu tập trung hết ở nửa trái của trung vị, mẫu số liệu bên trái có số liệu bằng 0 hết.

Bài 5.10 trang 83 Toán lớp 10: Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong

Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).

Bài 5.9 trang 83 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

Phương pháp giải:

- Sắp xếp lại mẫu số liệu

- Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ :

$\bar{X} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

- Số trung vị

+ Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm.

- Mốt: Giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

- Tứ phân vị

+ Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

+ Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_{2}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{1}$

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ , (không bao gồm $Q_{2}$ , nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{3}$

Lời giải:

Sắp xếp lại mẫu số liệu:

20 120 20 120 21 315 23 405 37 546

Số trung bình:

$\frac{20120.2 + 21315 + 23405 + 37546}{5}$ $= 24501, 2$

Trung vị: 21 315

Mốt: 20 120

Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì số trung bình giảm, trung vị giảm và Mốt thì vẫn giữ nguyên.

Cụ thể: số trung bình là 21 240; trung vị là 20 717,5 và Mốt vẫn là 20 120

Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Số trung bình và trung vị

a) Số trung bình

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu x₁, x₂,..., x_n, kí hiệu là $\bar{x}$ được tính bằng công thức:

$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}}{n}$

Ví dụ: Kết quả thống kê số điểm đạt được sau mỗi lần bắn của một xạ thủ được ghi lại trong bảng sau:

Tính điểm số trung bình qua các lần bắn của xạ thủ.

Hướng dẫn giải

Đếm số phát súng xạ thủ đã bắn trong bảng trên, ta thấy xạ thủ đã bắn tổng cộng là 10 phát. Ta suy ra n = 10.

Lần thứ nhất xạ thủ bắn được 7 điểm. Do đó ta có x₁ = 7.

Lần thứ hai xạ thủ bắn được 9 điểm. Do đó ta có x₂ = 9.

Tương tự, ta được x₃ = 8, x₄ = 9, x₅ = 7, x₆ = 10, x₇ = 9, x₈ = 9, x₉ = 7, x₁₀ = 8.

Suy ra, điểm số trung bình qua các lần bắn của xạ thủ là:

$\frac{7 + 9 + 8 + 9 + 7 + 10 + 9 + 9 + 7 + 8}{10} = 8,3$ (điểm)

Chú ý:

Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:

$\bar{x} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + ... + m_{k} x_{k}}{n}$

trong đó m_k là tần số của giá trị x_k và n = m₁ + m₂ +...+ m_k.

Ví dụ: Kết quả điều tra về số con của một số hộ gia đình trong một tổ dân phố được ghi lại trong bảng sau:

Số con	0	1	2	3	4
Số hộ gia đình	4	4	8	3	1

Hỏi trung bình mỗi hộ gia đình trong tổ dân phố có bao nhiêu con?

Hướng dẫn giải

Tổng số hộ gia đình là: n = 4 + 4 + 8 + 3 + 1 = 20 (hộ gia đình).

Trung bình mỗi hộ gia đình trong tổ dân số có số con là:

$\frac{0.4 + 1.4 + 2.8 + 3.3 + 4.1}{20} = 1,65$ (con)

Ý nghĩa: Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

b) Trung vị

Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.

Để tìm trung vị (kí hiệu là Me) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

+ Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Ví dụ: Theo dõi thời gian giải một bài toán của 4 học sinh, giáo viên nhận thấy có 2 em giải bài toán trong 2 phút; 1 em giải bài toán trong 3 phút và 1 em giải bài toán trong 7 phút. Hãy tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

+ Số trung bình là: $\frac{2.2 + 3.1 + 7.1}{4} = 3,5$ (phút)

+ Trung vị:

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Dãy trên có hai giá trị chính giữa lần lượt là 2 và 3.

Vậy trung vị của mẫu số liệu là: $\frac{2 + 3}{2} = 2,5$ .

Nhận xét: Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 2. Một học sinh giải bài toán mất 7 phút cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá trị bất thường. Nếu ta thay thời gian giải bài toán của học sinh giải mất 7 phút thành 8; 9; 10;... (phút) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.

Ý nghĩa: Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Vì vậy, khi mẫu số liệu có giá trị bất thường, người ta thường dùng trung vị đại diện cho các số liệu thống kê.

Ví dụ: Đo chiều cao (đơn vị cm) của 9 học sinh lớp 10A và được kết quả như bảng sau:

149

153

155

153

150

188

148

151

150

Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều cao của 9 học sinh lớp 10A?

Hướng dẫn giải

+ Số trung bình là:

$\frac{149 + 153 + 155 + 153 + 150 + 188 + 148 + 151 + 150}{9} = 155,22$ (cm)

+ Trung vị:

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Vậy trung vị của mẫu số liệu là: 151 (cm).

+ Giữa hai số trung bình và số trung vị như trên, số trung vị bằng 151 (cm) phù hợp hơn để đại diện cho chiều cao của 9 học sinh lớp 10A vì trong mẫu số liệu có một em học sinh có chiều cao 188cm, đây là giá trị bất thường.

2. Tứ phân vị

Tứ phân vị dùng để xác định ngưỡng để phân loại các số liệu có trong mẫu số liệu.

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:

+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

+ Tìm trung vị. Giá trị này là Q₂.

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ). Giá trị này là Q₁.

+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ). Giá trị này là Q₃.

Q₁, Q₂, Q₃ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Chú ý: Q₁ được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, Q₃ được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Ý nghĩa: Các điểm Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Ví dụ: Hàm lượng Protein (đơn vị gam) trong 100g của một số loại thực phẩm được cho trong bảng sau:

8,6	7,9	4,1	6,1	27,5	4	0,9	7,9	3,2	1,7
1,1	1,5	0,8	1,2	1,5	2	0	0,7	2,2	24,2

Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gì?

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

+ Vì n = 20 là số chẵn nên Q₂ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa. Do đó:

Q₂ = (2 + 2,2) : 2 = 2,1.

+ Ta tìm Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Vì lúc này n = 10 là số chẵn nên Q₁ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa. Do đó:

Q₁ = (1,1 + 1,2) : 2 = 1,15.

+ Ta tìm Q₃ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂:

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Vì lúc này n = 10 là số chẵn nên Q₃ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa. Do đó:

Q₃ = (6,1 + 7,9) : 2 = 7.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ = 1,15; Q₂ = 2,1; Q₃ = 7.

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ Q₁ đến Q₂ là 2,1 – 1,15 = 0,95 trong khi khoảng cách từ Q₂ đến Q₃ là 7 – 2,1 = 4,9. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên trái của Q₂ và mật độ thấp ở bên phải của Q₂.

3. Mốt

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Ý nghĩa: Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Ví dụ: Kết quả thống kê điểm số bài kiểm tra giữa kỳ của một số học sinh lớp 10B được cho trong bảng sau:

Tìm mốt cho mẫu số liệu này.

Hướng dẫn giải

Số học sinh đạt điểm 3: 1 học sinh.

Số học sinh đạt điểm 5: 1 học sinh.

Số học sinh đạt điểm 6: 1 học sinh.

Số học sinh đạt điểm 7: 3 học sinh.

Số học sinh đạt điểm 8: 2 học sinh.

Số học sinh đạt điểm 9: 1 học sinh.

Số học sinh đạt điểm 10: 1 học sinh.

Vì số học sinh đạt điểm 7 là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt của mẫu số liệu này là 7.

Nhận xét:

+ Mốt có thể không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu sau:

6959975595

Ta thấy các số 5; 9 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (4 lần) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 5 và 9.

+ Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt. Chẳng hạn, với mẫu số liệu sau:

686786778

Ta thấy các giá trị 6; 7; 8 trong mẫu số liệu đều xuất hiện với tần số như nhau (3 lần) nên mẫu số liệu này không có mốt.

+ Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ trong buổi biểu quyết chọn một trong ba bạn Hoa, Bình, Tú làm bí thư của lớp 10C, bạn thư ký của lớp đã tổng kết được kết quả biểu quyết như sau: