Phương pháp giải:

a) số tự nhiên có 6 chữ số?

b) Số tự nhiên lẻ có 6 chữ số

c) Số tự nhiên có 5 chữ số

d) Số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:

a) Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số trên là mỗi cách sắp xếp 6 tấm thẻ số

Vậy có $6!$ số tự nhiên có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số đã cho

b) Để số tạo thành là số lẻ thì chữ số tận cùng là chữ số lẻ (1, 3, 5) có 3 cách chọn

Sắp xếp 5 chữ số còn lại có $5!$ cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.5!$ số lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số

c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số là mỗi cách chọn 5 tấm thẻ và sắp xếp chúng.

Vậy có $A_6^5$ số có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số đã cho

d) Để số tạo thành lớn hơn 50 000 thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 5

Sắp xếp 4 chữ số còn lại có $A_5^4$ cách

Vậy có $2.A_5^4$ số có 5 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số đã cho và lớn hơn 50 000

Bài 4 trang 36 Toán lớp 10: Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Để chọn được bữa cơm đủ món theo yêu cầu cần thực hiện 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 2 món mặn từ 6 món mặn có $C_6^2$ cách

Công đoạn 2: Chọn 2 món rau từ 5 món có $C_5^2$ cách

Công đoạn 3: Chọn 1 món canh từ 3 món canh có 3 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.C_5^2.C_6^2=450$ cách chọn bữa cơm gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh

Bài 5 trang 36 Toán lớp 10: Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Lời giải:

Cách 1:

TH 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 4 điểm

Chọn 2 điểm từ đường thẳng trên có $C_4^2$ cách

Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 5 cách

=> Số tam giác tạo thành là $5.C_4^2=30$

TH 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 5 điểm

Chọn 2 điểm từ đường thẳng dưới có $C_5^2$ cách

Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 4 cách

=> Số tam giác tạo thành là $4.C_5^2=40$

Vậy có tất cả 70 tam giác được tạo thành.

Cách 2: 

Số cách chọn 3 điểm bất kì là:  $C_9^3=84$ cách

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: $C_4^3+C_5^3=14$ cách

=> Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng là: 84 - 14 = 70 (cách)

Do đó ta có thể có 70 tam giác.

Bài 6 trang 36 Toán lớp 10: Khai triển các biểu thức:

a) ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4$

b) ${\left(2x^2+1\right)}^5$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4=a^4+C_4^1.a^3\left(-\frac{b}{2}\right)+C_4^2.a^2{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2+C_4^3.a{\left(-\frac{b}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(-\frac{b}{2}\right)}^4\\ =a^4-2a^{3}b+\frac{3}{2}{a}^2{b}^2-\frac{1}{2}a{b}^3+\frac{1}{16}{b}^4\end{array}$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(2x^2+1\right)}^5={\left(2x^2\right)}^5+C_5^1.{\left(2x^2\right)}^4.1+C_5^2.{\left(2x^2\right)}^3{.1}^2+C_5^3.{\left(2x^2\right)}^2{.1}^3+C_5^4.\left(2x^2\right){.1}^4+1^5\\ =32x^{10}+80x^8+80x^6+40x^4+10x^2+1\end{array}$

Bài 7 trang 36 Toán lớp 10: Hãy khai triển và rút gọn biểu thức ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4$

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức $1,{05}^4+0,{95}^4$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^4=1^4+C_4^1{.1}^{3}x+C_4^2{.1}^2{x}^2+C_4^3.1x^3+C_4^4{x}^4\\ =1+4x+6x^2+4x^3+x^4\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(1-x\right)}^4=1^4+C_4^1{.1}^3\left(-x\right)+C_4^2{.1}^2{\left(-x\right)}^2+C_4^3.1{\left(-x\right)}^3+C_4^4{\left(-x\right)}^4\\ =1-4x+6x^2-4x^3+x^4\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4+1-4x+6x^2-4x^3+x^4\\ =2+12x^2+2x^4\end{array}$

Vậy ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=2+12x^2+2x^4$

Ta có: $1,{05}^4+0,{95}^4={\left(1+0,5\right)}^4+{\left(1-0,5\right)}^4$

Áp dụng biểu thức vừa chứng minh ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=2+12x^2+2x^4$ ta có:

 $\begin{array}{l}1,{05}^4+0,{95}^4={\left(1+0,5\right)}^4+{\left(1-0,5\right)}^4=2+12.0,5^2+2.0,5^4\\ =5,125\end{array}$

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài 1: Toạ độ của vecto

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Chương 8: Đại số tổ hợp

1. Quy tắc cộng

– Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n cách.

Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh, lớp 10C có 24 học sinh. Có bao nhiêu cách cử 1 học sinh lớp 10A hoặc lớp 10C đi tham dự đại hội Đoàn trường?

Hướng dẫn giải

Công việc cử 1 học sinh đi có 2 phương án thực hiện:

Phương án 1: Cử 1 học sinh của lớp 10A, ta có 20 cách.

Phương án 2: Cử 1 học sinh của lớp 10C, ta có 24 cách.

Ta thấy mỗi cách thực hiện của phương án B đều không trùng với cách của phương án A. Do đó theo quy tắc cộng, có 20 + 24 = 44 cách cử 1 học sinh lớp 10A hoặc lớp 10C đi tham dự đại hội Đoàn trường.

2. Quy tắc nhân

– Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m. n cách.

Ví dụ: Từ nhà An đến trường đi qua 3 điểm A, B, C. Từ nhà An đến điểm A có 3 cách đi, từ điểm A đến điểm B có 4 cách đi, từ điểm B đến điểm C có 2 cách đi. Từ điểm C đến trường học có 2 cách đi. Hỏi có bao nhiêu cách từ nhà An đến trường?

Hướng dẫn giải

Từ nhà An đến trường đi qua 3 điểm A, B, C, như vậy có 4 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Từ nhà An đến điểm A có 3 cách đi.

+ Công đoạn 2: Từ điểm A đến điểm B có 4 cách đi

+ Công đoạn 3: Từ điểm B đến điểm C có 2 cách đi.

+ Công đoạn 4: Từ điểm C đến trường học có 2 cách đi.

Do đó, theo quy tắc nhân, có 3. 4. 2. 2 = 48 cách đi từ nhà An đến trường.

3. Hoán vị

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

Kí hiệu P_n là số hoán vị của n phần tử.

– Số các hoán vị của n phần tử (n ≥ 1) bằng:

P_n = n(n – 1)(n – 2)….2. 1.

Chú ý:

+ Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)…. 2. 1 và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.

Khi đó  = n!.

+ Quy ước: 0! = 1.

Ví dụ: Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong những số đó có bao nhiêu số lẻ?

Hướng dẫn giải

• Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ 6 chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7 là một hoán vị của 6 chữ số này. Do đó, số số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được là:

$P_6$ = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 (số).

Vậy lập được 720 số.

Ta lập số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7.

• Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ.

 Có 4 cách chọn (chọn một trong các chữ số 1; 3; 5; 7).

Bước 2: Chọn năm chữ số còn lại.

Có P₅ = 5! cách chọn.

Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là:

4.5! = 480 (số).

4. Chỉnh hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu $A_n^k$  là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

– Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:

$A_n^k$ = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ .

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Ta có $P_n=A_n^n$ , n ≥ 1.

Ví dụ: Trên bàn có 10 quả cam to nhỏ khác nhau. Chọn 3 quả cam trong 10 quả đó, và đặt mỗi quả vào một giỏ nhựa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quả cam đó.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 3 quả cam trong 10 quả cam đó và đặt vào 3 giỏ nhựa được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 10 quả cam. Ta thấy số các chỉnh hợp này bằng:

$A_{10}^3$ = 10. 9. 8 = 720.

Vậy có 720 cách chọn 3 quả cam đó.

5. Tổ hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu $C_n^k$  là số tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

– Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:

 $C_n^k$ = $\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$ .

Chú ý: Người ta quy ước $C_n^0=1$ .

Nhận xét: $C_n^k=C_n^{n-k}$  (0 ≤ k ≤ n).

Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh. Trong tuần sau có 5 bạn được cử đi dự đại hội Đoàn Thanh niên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp từ 20 bạn học sinh là một tổ hợp chập 5 của 20 học sinh. Do đó số cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên là:

$C_{20}^5=\frac{20!}{5!.15!}$ = 15 504 (cách).

Vậy có 15 504 cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên.

Ví dụ: Tính:

a) $C_{14}^{11};$

b) $C_{24}^{22}+C_{24}^2;$

c) $C_{27}^2-C_{26}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $C_{14}^{11}=\frac{14!}{11!.3!}=\frac{\mathrm{14.13.12.11}!}{11!\mathrm{.3.2.1}}=\frac{\mathrm{14.13.12}}{\mathrm{3.2.1}}=364.$

b) $C_{24}^{22}+C_{24}^2=C_{24}^{24-2}+C_{24}^2=C_{24}^2+C_{24}^2=2C_{24}^2$

$=2.\frac{24!}{2!.22!}=2.\frac{\mathrm{24.23.22}!}{\mathrm{2.1.22}!}=24.23=552.$

c) $C_{27}^2-C_{26}^2=\frac{27!}{2!.25!}-\frac{26!}{2!.24!}=\frac{\mathrm{27.26.25}!}{\mathrm{2.1.25}!}-\frac{\mathrm{26.25.24}!}{\mathrm{2.1.24}!}$

$=\frac{27.26}{2.1}-\frac{26.25}{2.1}=\frac{26}{2}.\left(27-25\right)=13.2=26.$

6. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh các số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ:

• Để tính $P_{10}$  ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{10}\boxed{SHIFT}\boxed{x^{-1}}\left(x!\right)\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 3 628 800.

• Để tính $A_6^4$  ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{6}\boxed{SHIFT}\boxed{\times }\left(n\mathrm{Pr}\right)\boxed{4}\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 360.

• Để tính $C_8^4$  ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{8}\boxed{SHIFT}\boxed{÷}\left(nCr\right)\boxed{4}\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 70.

7. Nhị thức Newton

Hai công thức khai triển:

• ${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

•  ${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left(a+b\right)}^n$  ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

– Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 0; 1; 2; 3; … được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như dưới đây.

Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của 2 số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên dược gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).

Ví dụ: Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

(a + 2)⁴ = 1.a⁴ + 4a³.2 + 6a².2² + 4a.2³ + 2⁴

= a⁴ + 8a³ + 24a² + 32a + 16.

Ví dụ: Khai triển và rút gọn biểu thức: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

•${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5=1+5\sqrt{5}+10.{\left(\sqrt{5}\right)}^2+10.{\left(\sqrt{5}\right)}^3+5.{\left(\sqrt{5}\right)}^4+1.{\left(\sqrt{5}\right)}^5$

$=1+5\sqrt{5}+50+50\sqrt{5}+125+25\sqrt{5}$

$=176+80\sqrt{5}.$

•${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5=1+5\left(-\sqrt{5}\right)+10.{\left(-\sqrt{5}\right)}^2+10.{\left(-\sqrt{5}\right)}^3+5.{\left(-\sqrt{5}\right)}^4+1.{\left(-\sqrt{5}\right)}^5$

$=1-5\sqrt{5}+50-50\sqrt{5}+125-25\sqrt{5}$

$=176-80\sqrt{5}.$

Do đó ta có: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5=176+80\sqrt{5}+176-80\sqrt{5}=352.$