Vận dụng 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống $\left(x;y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right).$

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Lời giải:

a) Số cây cải trồng trong vườn là $xy$

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là $x+8$; số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là $y-3$, số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có $\left(x+8\right)\left(y-3\right)+108=xy$ suy ra $-3x+8y=-84.$

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là $x-4$, nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là $y+2$ thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có $\left(x-4\right)\left(y+2\right)-64=xy$ suy ra $2x-4y=72.$

Nên ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-3x+8y=-84\\ 2x-4y=72\end{array}$

b) Ta có $-3x+8y=-84$ suy ra $x=\frac{84+8y}{3}$ thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $2.\frac{84+8y}{3}-4y=72$ suy ra $\frac{4}{3}y=16$ nên $y=12.$

Với $y=12$ nên $x=\frac{84+8.12}{3}=60.$

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây.

Lý thuyết Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lưu ý: Tùy theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x+2y=4\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=2x-3$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x+2\left(2x-3\right)=4$ hay $5x-6=4$, suy ra $x=2$.

Từ đó $y=2.2-3=1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(2;1\right)$.

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ 2x-2y=8\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x=y-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $2\left(y-2\right)-2y=8$ hay $0y-4=8$.

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0y-4=8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-x+y=-2\\ 3x-3y=6\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=x-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $3x-3\left(x-2\right)=6$ hay $0x=0$.

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0x=0$.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y=x-2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(x;x-2\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý.