Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1.9 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế::

a) $\left\{\begin{array}{c}x+2y=8\\ \frac{1}{2}x-y=18\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{c}0,2x+0,5y=0,7\\ 4x+10y=9\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{c}-2x+3y=1\\ \frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{6}\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) Từ phương trình x + 2y = 8, ta có x = 8 – 2y.

Thế vào phương trình $\frac{1}{2}x-y=18$ ta được:

$\frac{1}{2}\left(8-2y\right)-y=18$

4 – y – y = 18

4 – 2y = 18

2y  = –14

y = 7

Từ đó ta được x = 8 – 2 . (–7) = 22.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (22; –7).

b) Từ phương trình 0,2x + 0,5y = 0,7, ta có $x=\frac{0,7-0,5y}{0,2}=3,5-2,5y$.

Thế vào phương trình 4x + 10y = 9 ta được:

4x + 10y = 9

4 . (3,5 – 2,5y) + 10y = 9

14 + 0.y = 9 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Từ phương trình –2x + 3y = 1, ta có $x=\frac{3y-1}{2}=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$.

Thế vào phương trình $\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{6}$ ta được:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{6}$

$0y-\frac{1}{6}=\frac{-1}{6}$ (vô số nghiệm)

Xét phương trình –2x + 3y = 1, ta được $y=\frac{1+2x}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left(x;\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)$ với $x\in ℝ$ tùy ý.

Bài 1.10 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{\begin{array}{c}3x-7y=-14\\ 5x+2y=45\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{c}x-0,5y=-3\\ 2x-y=6\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{c}2x+3y=3\\ \frac{2}{3}x+y=1\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 7, ta được:

$\left\{\begin{array}{c}6x-14y=-28\\ 35x+14y=315\end{array}\right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên, ta được:

41x = 287 hay $x=\frac{287}{41}=7$.

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

6 . 7 – 14y = –28 hay 42 – 14y = –28, suy ra $y=\frac{42-\left(-28\right)}{14}=5$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (7; 5).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với –2, ta được:

$\left\{\begin{array}{c}-2x+y=6\\ 2x-y=6\end{array}\right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên, ta được:

0x + 0y = –12 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với –3, ta được:

$\left\{\begin{array}{c}2x+3y=3\\ -2x-3y=-3\end{array}\right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên, ta được:

0x + 0y = 0 (vô số nghiệm)

Xét phương trình 2x + 3y = 3, ta có $y=\frac{3-2x}{3}=1-\frac{2}{3}x$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left(x;1-\frac{2}{3}x\right)$ với $x\in ℝ$ tùy ý.

Bài 1.11 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sử dụng MTCT, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{3}x+3y=1\\ 2x-\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{c}2,5x-3,5y=0,5\\ -0,5x+0,7y=1\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{5}+\frac{y}{2}=5\\ 0,4x+y=1\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) Hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(\frac{4\sqrt{3}}{9};-\frac{1}{9}\right)$.

b) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 1.12 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (4; 1) và (–4; –3).

Lời giải:

Vì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (4; 1) và (–4; –3) nên ta lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

$\left\{\begin{array}{c}4a+b=1\\ -4a+b=-3\end{array}\right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên, ta được:

2b = –2 hay $b=\frac{-2}{2}=-1$.

Thay b = –1 vào phương trình thứ nhất, ta được:

4a – 1 = 1 hay $a=\frac{1+1}{4}=\frac{1}{2}$.

Vậy với $a=\frac{1}{2}$ và b = –1 thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (4; 1) và (–4; –3).

Bài 1.13 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ 2x+my=5\end{array}\right.$

a) Giải hệ với m = 1.

b) Chứng tỏ rằng hệ đã cho vô nghiệm khi m = 6.

Lời giải:

a) Với m = 1, ta có: $\left\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ 2x+y=5\end{array}\right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với –2, ta được:

$\left\{\begin{array}{c}-2x-6y=-2\\ 2x+y=5\end{array}\right.$.

Cộng từng vế của hai phương trình trên, ta được:

–5y = 3 hay y = $\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$.

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

$x+3.\left(-\frac{3}{5}\right)=1$ hay $x-\frac{9}{5}=1$, suy ra $x=1+\frac{9}{5}=\frac{14}{5}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(\frac{14}{5};-\frac{3}{5}\right)$ với m = 1.

b) Với m = 6, ta có: $\left\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ 2x+6y=5\end{array}\right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với –2, ta được: $\left\{\begin{array}{c}-2x-6y=-2\\ 2x+6y=5\end{array}\right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên, ta được:

0x+0y = 3 (vô nghiệm).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi m = 6.

Bài 1.14 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong kinh tế học, đường IS là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp thu nhập Y và lãi suất r để duy trì trạng thái cân bằng của thị trường hàng hoá trong nền kinh tế. Đường LM là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp giữa thu nhập Y và lãi suất r duy trì trạng thái cân bằng của thị trường tiền tệ trong nền kinh tế. Trong một nền kinh tế, giả sử mức thu nhập cân bằng Y (tính bằng triệu đô la) và lãi suất cân bằng r thoả mãn hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}0,06Y-5000r=240\\ 0,06Y+6000r=900\end{array}\right.$

Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng.

Lời giải:

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}0,06Y-5 000r=240\\ 0,06Y+6 000r=900\end{array}\right.$.

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

11 000r = 660 hay $r=\frac{660}{11 000}=0,06$.

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

0,06Y – 5 000 . 0,06 = 240 hay 0,06Y – 300 = 240.

Suy ra $Y=\frac{240+300}{0,06}=9 000$.

Vậy mức thu nhập cân bằng là 9 000 tiệu đô la và lãi suất cân bằng là 0,06.

Bài 1.15 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Phương trình cung và phương trình cầu của một loại thiết bị kĩ thuật số cá nhân mới là:

Phương trình cầu: p = 150 – 0,00001x;

Phương trình cung: p = 60 + 0,00002x;

trong đó p là giá mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng đô la) và x là số lượng đơn vị sản phẩm. Tìm điểm cân bằng của thị trường này, tức là điểm (p; x) thoả mãn cả hai phương trình cung và cầu.

Lời giải:

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}p=150-0,00001x\\ p=60+0,00002x\end{array}\right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

0 = 90 – 0,00003x hay $x=\frac{90}{0,00003}=3 000 000$.

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

p = 150 – 0,00001 . 3 000 000 = 120.

Vậy điểm cân bằng của thị trường này là (120; 3 000 000).

Bài 1.16 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thầy Nam dạy Toán đang thiết kế một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm hai loại câu hỏi, câu hỏi đúng/sai và câu hỏi nhiều lựa chọn. Bài kiểm tra sẽ được tính trên thang điểm 100, trong đó mỗi câu hỏi đúng/sai có giá trị 2 điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị 4 điểm. Thầy Nam muốn số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/sai.

a) Gọi số câu hỏi đúng/sai là x, số câu hỏi nhiều lựa chọn là y (x, y ∈ ℕ*). Viết hệ hai phương trình biểu thị số lượng của từng loại câu hỏi.

b) Giải hệ phương trình trong câu a để biết số lượng câu hỏi mỗi loại trong bài kiểm tra là bao nhiêu.

Lời giải:

a) Số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/sai nên y = 2x hay 2x – y = 0.

Tổng điểm bài kiểm tra là 2x + 4y = 100.

Từ đó ta lập được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}2x-y=0\\ 2x+4y=100\end{array}\right.$.

b) Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

–5y = – 100 hay $y=\frac{-100}{-5}=20$.

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

2x – 20 = 0 hay x = $\frac{0+20}{2}=10$.

Vây bài kiểm tra có 10 câu hỏi đúng/sai và 20 câu hỏi nhiều lựa chọn.

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lưu ý: Tùy theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x+2y=4\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=2x-3$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x+2\left(2x-3\right)=4$ hay $5x-6=4$, suy ra $x=2$.

Từ đó $y=2.2-3=1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(2;1\right)$.

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ 2x-2y=8\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x=y-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $2\left(y-2\right)-2y=8$ hay $0y-4=8$.

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0y-4=8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-x+y=-2\\ 3x-3y=6\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=x-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $3x-3\left(x-2\right)=6$ hay $0x=0$.

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0x=0$.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y=x-2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(x;x-2\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý.

2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}5x-7y=9\\ 5x-3y=1\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $\left(5x-5x\right)+\left(-7y+3y\right)=9-1$ hay $-4y=8$, suy ra $y=-2$.

Thế $y=-2$ vào phương trình thứ hai ta được $5x-7.\left(-2\right)=9$ hay $5x+14=9$, suy ra $x=-1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (-1;-2).

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -6x+10y=-4\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -3x+5y=-2\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0x+0y=0$. Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3x-5y=2$, suy ra $y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$.

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $\left(x;\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$.

3. Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bằng máy tính cầm tay

Ví dụ: Giải hệ $\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ -2x+y=0\end{array}$, ta viết nó dưới dạng $\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ -2x+y=0\end{array}$.

Khi đó, ta có $a_1=2$, $b_1=1$, $c_1=4$, $a_2=-2$, $b_2=1$, $c_2=0$. Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài tập cuối chương 1

Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất