Trả lời nhanh
Hệ x + 3y = 1 và 3x + 9y = 3 có vô số nghiệm. Phương trình thứ hai đúng bằng ba lần phương trình thứ nhất. Thế x = 1 − 3y vào phương trình sau được đẳng thức 3 = 3, đúng với mọi y. Nghiệm tổng quát là x = 1 − 3t, y = t với t là số thực bất kì.
Đưa hệ về một ẩn bằng phương pháp thế
Giải hệ bậc nhất hai ẩn
(1) x + 3y = 1
(2) 3x + 9y = 3
bằng phương pháp thế: từ một phương trình rút một ẩn, thay vào phương trình còn lại.
Từ (1), hệ số của x là 1, rút ngay:
x = 1 − 3y.
Thay vào (2):
3(1 − 3y) + 9y = 3
3 − 9y + 9y = 3
3 = 3.
Các số hạng chứa y triệt tiêu. Vế trái bằng vế phải với mọi giá trị của y, không loại được giá trị nào. Phương trình theo y vô định, nên y lấy làm ẩn tự do.
Đặt y = t, t ∈ ℝ. Khi đó x = 1 − 3t. Tập nghiệm là
{(1 − 3t; t) | t ∈ ℝ}.
Nói cách khác, hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc một tham số.
Vì sao không phải vô nghiệm?
Phương pháp thế có hai kết cục “không ra một cặp số duy nhất”, và hai kết cục ấy khác nhau:
| Sau khi thế | Kết luận | Ví dụ cùng dạng |
|---|---|---|
| Đẳng thức đúng, kiểu 3 = 3 | Vô số nghiệm | Phương trình sau là bội của phương trình trước |
| Đẳng thức sai, kiểu 3 = 0 | Vô nghiệm | Cùng vế trái nhưng vế phải không cùng bội |
| Ra được một giá trị của ẩn | Một nghiệm duy nhất | Hai đường thẳng cắt nhau |
Với hệ này, (2) = 3 · (1) vì 3x + 9y = 3(x + 3y) và 3 = 3·1. Hai phương trình mô tả cùng một điều kiện, nên không mâu thuẫn và cũng không thêm ràng buộc mới. Nếu đề đổi vế phải của (2) thành 4, thế vào sẽ ra 3 = 4, hệ vô nghiệm.
Nhìn trên mặt phẳng tọa độ, (1) là đường thẳng y = (1 − x)/3. Nhân hai vế của (1) với 3 được đúng (2), nên (2) là cùng đường thẳng đó. Hai đường trùng nhau thì mọi điểm trên đường đều là nghiệm.
Kiểm tra vài nghiệm cụ thể
Lấy ba giá trị của t và thay ngược vào cả hai phương trình.
- t = 0: (x; y) = (1; 0). Thế: 1 + 3·0 = 1; 3·1 + 9·0 = 3. Đúng.
- t = 1: (x; y) = (−2; 1). Thế: −2 + 3·1 = 1; 3·(−2) + 9·1 = 3. Đúng.
- t = 1/3: (x; y) = (0; 1/3). Thế: 0 + 3·(1/3) = 1; 3·0 + 9·(1/3) = 3. Đúng.
Ba cặp đều thỏa, nên không được ghi đáp số là một cặp duy nhất. Bài làm cần có tham số, hoặc viết “x + 3y = 1, y tùy ý”. Ghi mỗi cặp (1; 0) là thiếu, vì đó chỉ là một nghiệm.
Cách trình bày gọn và bài luyện
Một lời giải đủ ý gồm bốn dòng: rút x từ (1); thế vào (2); kết luận đẳng thức đúng nên y tùy ý; viết nghiệm tổng quát và đôi một giá trị để kiểm tra. Không cần cộng hay trừ hai phương trình nếu đề bắt dùng phương pháp thế, nhưng em có thể kiểm tra chéo: 3·(1) − (2) cho 0 = 0, cùng một kết luận.
Lỗi hay gặp:
- Thấy −9y + 9y = 0 rồi kết luận vô nghiệm. Triệt tiêu ẩn chỉ nói lên rằng phương trình không khóa được y; phải nhìn số hạng tự do còn lại có bằng nhau hay không.
- Rút x = 1 − 3y nhưng khi thế quên nhân 3 vào cả dấu trừ: viết 3·1 − 3y thay vì 3 − 9y.
- Đặt nghiệm là x = 1 − 3y, y = 1 − 3x. Hai biểu thức ấy không độc lập; chỉ một ẩn được tự do.
Bài 1. Giải bằng phương pháp thế: x + 2y = 4 và 2x + 4y = 8.
Đáp án: x = 4 − 2y, thế vào được 8 = 8. Nghiệm (4 − 2t; t), t ∈ ℝ. Vô số nghiệm.
Bài 2. Giải: x + 2y = 4 và 2x + 4y = 7.
Đáp án: x = 4 − 2y, thế vào được 8 = 7. Hệ vô nghiệm.
Bài 3. Giải: x + 3y = 1 và x − y = 5.
Đáp án: từ phương trình sau, x = 5 + y. Thế vào phương trình trước: 5 + y + 3y = 1, 4y = −4, y = −1, x = 4. Kiểm tra: 4 + 3·(−1) = 1 và 4 − (−1) = 5. Nghiệm duy nhất (4; −1).
Ba bài đặt cạnh hệ ban đầu để thấy đủ ba khả năng của hệ bậc nhất hai ẩn: vô số nghiệm, vô nghiệm, và một nghiệm.
Nhận ra hai phương trình tỉ lệ trước khi thế
Với hệ a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2, em so các tỉ số trước khi tính. Nếu a2, b2, c2 đều khác 0 thì:
- a1/a2 = b1/b2 = c1/c2: hai phương trình tỉ lệ, hệ vô số nghiệm.
- a1/a2 = b1/b2 nhưng khác c1/c2: hệ vô nghiệm.
- a1/a2 khác b1/b2: đúng một nghiệm.
Ở hệ đang xét, 1/3 = 3/9 = 1/3. Ba tỉ số bằng nhau nên kết luận vô số nghiệm xuất hiện trước cả bước thế. Phương pháp thế vẫn nên viết đủ vì đề yêu cầu đúng phương pháp ấy: bước thế biến kết luận này thành đẳng thức 3 = 3, là bằng chứng tính toán chứ không phải bài làm bị kẹt.
Khi trình bày tập nghiệm, em chọn một ẩn làm tham số và giải ẩn kia theo tham số đó. Không viết đồng thời x = 1 − 3y và y = (1 − x)/3 như hai điều kiện độc lập: chúng là cùng một phương trình, viết hai lần. Cách an toàn trên bài kiểm tra là: “y = t, x = 1 − 3t, t ∈ ℝ”, rồi kiểm tra một giá trị số như ở trên. Nếu cô giáo yêu cầu nghiệm nguyên, em chỉ việc cho t chạy trên ℤ, ví dụ t = 0, 1, −1 cho các cặp (1; 0), (−2; 1), (4; −1). Cả ba cặp đều nguyên và đều thỏa, vì mọi điểm trên đường thẳng đều là nghiệm, không riêng gì điểm có tọa độ nguyên.
Câu hỏi thường gặp
Hệ x + 3y = 1 và 3x + 9y = 3 có nghiệm không?
Có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát là x = 1 - 3t, y = t với t thực bất kì.
Vì sao thế x = 1 - 3y vào lại ra 3 = 3?
Vì 3x + 9y = 3 nhân (x + 3y), và 3 = 3 nhân 1. Hai phương trình phụ thuộc nhau, không mâu thuẫn.
3 = 3 khác vô nghiệm ở điểm nào?
3 = 3 là đẳng thức đúng với mọi y nên hệ vô số nghiệm. Vô nghiệm chỉ khi sau khi thế ra một đẳng thức sai, ví dụ 3 = 0.
Cặp (1; 0) có phải nghiệm duy nhất không?
Không. (1; 0) chỉ là một nghiệm, ứng với t = 0. Cặp (-2; 1) và (0; 1/3) cũng thỏa hệ.