Hoạt động khám phá 2 trang 17 Toán 9 Tập 1: Cho hai hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}3x=6\\ x+y=5\end{array}$ (I) và $\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+y=5\end{array}$(II)

a) Giải hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) bằng phương pháp thế. Có nhận xét gì về nghiệm của hai hệ này?

b) Bằng cách cộng từng vế của hai phương trình của hệ (II), ta nhận được một phương trình mới. Thay phương trình thứ nhất của hệ (II) bằng phương trình mới đó. Có nhận xét gì về kết quả nhận được?

Lời giải:

a) Giải hệ (I) ta được:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}3x=6\\ x+y=5\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}\end{array}$

Giải hệ (II) ta được:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+y=5\end{array}\\ \{\begin{array}{c}2x-(5-x)=1\\ y=5-x\end{array}\\ \{\begin{array}{c}3x=6\\ y=5-x\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}\end{array}$

suy ra hệ phương trình (I) và (II) đều có nghiệm là (2;3).

b) $\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+y=5\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ này ta được phương trình 3x = 6.

Thay phương trình thứ nhất của hệ này bằng phương trình mới ta được hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}3x=6\\ x+y=5\end{array}$. Giải hệ phương trình này, ta được:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}3x=6\\ x+y=5\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=2\\ x+y=5\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=5\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\end{array}$

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$.

Ta thấy nghiệm vừa tìm được cũng chính là nghiệm tìm được ở phần a bằng phương pháp thế.

Lý Thuyết Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}5x-7y=9\\ 5x-3y=1\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $\left(5x-5x\right)+\left(-7y+3y\right)=9-1$ hay $-4y=8$, suy ra $y=-2$.

Thế $y=-2$ vào phương trình thứ hai ta được $5x-7.\left(-2\right)=9$ hay $5x+14=9$, suy ra $x=-1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -6x+10y=-4\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -3x+5y=-2\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0x+0y=0$. Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3x-5y=2$, suy ra $y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$.

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $\left(x;\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$.