Trả lời nhanh
Hệ phương trình gồm x − 2y = 2 và 5x − 4y = 11 có nghiệm duy nhất (x; y) = (7/3; 1/6). Cách nhanh nhất: nhân phương trình thứ nhất với 2 được 2x − 4y = 4, lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình này được 3x = 7, nên x = 7/3; thay vào x − 2y = 2 được y = 1/6.
Đề bài
Giải hệ phương trình:
x − 2y = 2 (1)
5x − 4y = 11 (2)
Lưu ý: đường dẫn của bài không giữ được dấu “+” hay “−”, nên ở cuối bài có bảng nghiệm cho các trường hợp dấu khác. Em hãy đối chiếu với đề của mình.
Nhận xét trước khi giải
Với hệ a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2, nếu a1/a2 ≠ b1/b2 thì hệ có nghiệm duy nhất. Ở đây 1/5 ≠ (−2)/(−4) = 1/2, nên hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình cắt nhau tại đúng một điểm. Ta có thể chọn phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
Cách 1: Giải bằng phương pháp thế
- Từ (1), rút x theo y: x = 2 + 2y. (3)
- Thế (3) vào (2): 5(2 + 2y) − 4y = 11.
- Thu gọn: 10 + 10y − 4y = 11, tức 6y = 1, suy ra y = 1/6.
- Thay y = 1/6 vào (3): x = 2 + 2·(1/6) = 2 + 1/3 = 7/3.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (7/3; 1/6).
Phương pháp thế thuận tiện ở bài này vì trong phương trình (1), hệ số của x bằng 1, rút x không tạo ra phân số.
Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số
- Nhân hai vế của (1) với 2 để hệ số của y ở hai phương trình bằng nhau: 2x − 4y = 4. (1′)
- Trừ từng vế (2) cho (1′): (5x − 4y) − (2x − 4y) = 11 − 4, tức 3x = 7, suy ra x = 7/3.
- Thay x = 7/3 vào (1): 7/3 − 2y = 2, nên 2y = 7/3 − 2 = 1/3, suy ra y = 1/6.
Kết quả trùng với cách 1: (x; y) = (7/3; 1/6).
Kiểm tra lại nghiệm
- Phương trình (1): 7/3 − 2·(1/6) = 7/3 − 1/3 = 6/3 = 2. Đúng.
- Phương trình (2): 5·(7/3) − 4·(1/6) = 35/3 − 2/3 = 33/3 = 11. Đúng.
Bước kiểm tra chỉ mất chưa đến một phút nhưng giúp em phát hiện ngay lỗi nhầm dấu, lỗi hay gặp nhất ở dạng bài này.
Minh họa hình học
Viết lại hai phương trình dưới dạng hàm số: (1) thành y = x/2 − 1, (2) thành y = 5x/4 − 11/4. Đường thẳng (1) đi qua (0; −1) và (2; 0); đường thẳng (2) đi qua (3; 1) và (11/5; 0). Hai đường có hệ số góc khác nhau (1/2 và 5/4) nên cắt nhau tại một điểm duy nhất, chính là nghiệm của hệ.
Nếu đề của em có dấu khác
Các trường hợp dưới đây đã được giải và kiểm tra lại; cách làm giống hệt bài trên (nhân phương trình đầu với 2 rồi cộng hoặc trừ để khử y).
| Hệ phương trình | Nghiệm (x; y) |
|---|---|
| x − 2y = 2 và 5x − 4y = 11 | (7/3; 1/6) |
| x − 2y = 2 và 5x + 4y = 11 | (15/7; 1/14) |
| x + 2y = 2 và 5x − 4y = 11 | (15/7; −1/14) |
| x + 2y = 2 và 5x + 4y = 11 | (7/3; −1/6) |
| x − 2y = −2 và 5x − 4y = 11 | (5; 7/2) |
| x + 2y = −2 và 5x − 4y = 11 | (1; −3/2) |
Những lỗi thường gặp
- Quên nhân cả vế phải: nhân (1) với 2 nhưng vẫn để vế phải là 2 thay vì 4, dẫn tới 3x = 9 và x = 3 (sai).
- Sai dấu khi trừ: (5x − 4y) − (2x − 4y) = 3x, vì −4y − (−4y) = 0. Nhiều em viết thành −8y.
- Thế ngược: tìm được y rồi lại thế vào chính biểu thức vừa dùng để rút gọn sai; nên thế vào phương trình đơn giản nhất.
- Kết luận thiếu: phải ghi rõ “hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (7/3; 1/6)”, không chỉ ghi x và y rời rạc.
Bài tập tương tự có đáp án
Bài 1. Giải hệ 2x + y = 5 và x − 3y = −1.
Đáp án: Từ phương trình đầu, y = 5 − 2x; thế vào phương trình sau: x − 15 + 6x = −1, nên 7x = 14, x = 2, y = 1. Nghiệm (2; 1).
Bài 2. Giải hệ 4x − 3y = 6 và 2x + 5y = 16.
Đáp án: Nhân phương trình thứ hai với 2: 4x + 10y = 32; trừ cho phương trình đầu: 13y = 26, y = 2; khi đó 2x = 16 − 10 = 6, x = 3. Nghiệm (3; 2).
Bài 3. Giải hệ 0,5x + y = 3 và x − 2y = −2.
Đáp án: Từ phương trình sau, x = 2y − 2; thế vào phương trình đầu: y − 1 + y = 3, y = 2, x = 2. Nghiệm (2; 2).
Bài 4. Giải hệ 3x − 2y = 4 và 6x − 4y = 8.
Đáp án: Phương trình sau gấp đôi phương trình đầu, hai đường thẳng trùng nhau: hệ có vô số nghiệm dạng (x; (3x − 4)/2) với x tùy ý.
Bài 5. Giải hệ x + 3y = 1 và 2x + 6y = 5.
Đáp án: Nhân phương trình đầu với 2 được 2x + 6y = 2, mâu thuẫn với 2x + 6y = 5. Hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song).
Câu hỏi thường gặp
Hệ x − 2y = 2 và 5x − 4y = 11 có bao nhiêu nghiệm?
Hệ có nghiệm duy nhất vì tỉ số 1/5 khác (−2)/(−4) = 1/2; nghiệm đó là (x; y) = (7/3; 1/6).
Nên dùng phương pháp thế hay cộng đại số cho hệ này?
Cả hai đều nhanh. Phương pháp thế tiện vì hệ số của x trong phương trình đầu bằng 1; phương pháp cộng tiện vì chỉ cần nhân phương trình đầu với 2 là khử được y.
Làm sao biết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm hay vô số nghiệm?
Nếu a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 thì hệ vô nghiệm; nếu a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 thì hệ có vô số nghiệm; còn a1/a2 ≠ b1/b2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Nghiệm của hệ có ý nghĩa hình học gì?
Mỗi phương trình biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ; nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
Có thể dùng máy tính cầm tay để kiểm tra nghiệm không?
Có. Phần lớn máy tính cầm tay có chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; em nhập các hệ số 1, −2, 2 và 5, −4, 11 để đối chiếu kết quả 7/3 và 1/6.