Giải SGK Toán 9 Bài 3 (Cánh diều): Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Van Anh Ngày: 23-09-2024 Lớp 9

1.4 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết sách Toán 9 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khởi động trang 19 Toán 9 Tập 1: Một nhóm khách vào cửa hàng bán trà sữa. Nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa gồm trà sữa gồm trà sữa trân châu và trà sữa phô mai lần lượt là 33 000 đồng, 28 000 đồng. Tổng số tiền nhóm khác phải trả là 188 000 đồng. Hỏi nhóm khách đã mua bao nhiêu cốc trà sữa mỗi loại?

Toán 9 Bài 3 (Cánh diều): Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 1)

Lời giải:

+ Gọi x, y lần lượt là số cốc trà sữa trân châu và trà sữa phô mai mà nhóm khách mua $(x; y \in N *)$

+ Do nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa nên ta có phương trình: $x + y = 6$ ;

+ Do tổng số tiền nhóm khách phải trả là 188 000 đồng nên ta có phương trình:

$33000 x + 28000 y = 188000$ .

+ Ta có hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 6 \\ 33000 x + 28000 y = 188000 \end{cases}$

+ Thay $x = 1; y = 5$ vào 2 phương trình của hệ ta được:

$1 + 5 = 6$

$33000.1 + 28000.5 = 173000 \neq 188000$

+ Thay $x = 2; y = 4$ vào 2 phương trình của hệ ta được:

$2 + 4 = 6$

$33000.2 + 28000.4 = 188000$

Vậy nhóm khách đã mua 2 cốc trà sữa trân châu đường đen và 4 cốc trà sữa phô mai.

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Hoạt động 1 trang 19 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình: ${\begin{cases} - x + y = 3 (1) \\ 3 x + 2 y = 11 (2) \end{cases} (I)$

Hãy giải hệ phương trình (I) theo các bước sau:

a. Từ phương trình (1), ta biểu diễn $y$ theo $x$ rồi thế vào phương trình (2) để được phương trình ẩn $x$ .

b. Giải phương trình (ẩn $x$ ) vừa nhận được để tìm giá trị của $x$ .

c. Thế giá trị vừa tìm được của $x$ vào biểu thức biểu diễn $y$ theo $x$ ở câu a để tìm giá trị của $y$ . Từ đó, kết luận nghiệm của hệ phương trình (I).

Lời giải;

+ Từ phương trình (1), ta có: $y = 3 + x$ (3)

+ Thay vào phương trình (2), ta được: $3 x + 2. (3 + x) = 11$ (4)

Giải phương trình (4): $3 x + 6 + 2 x = 11$

$\begin{array}{l} 5 x = 5 \\ x = 1 \end{array}$

c. Thay giá trị $x = 1$ vào phương trình (3), ta có: $y = 3 + 1 = 4$ .

Vậy hê phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (1; 4)$ .

Luyện tập 1 trang 20 Toán 9 Tâp 1: Giải hệ phương trình: ${\begin{cases} x - 3 y = 2 (1) \\ - 2 x + 5 y = 1 (2) \end{cases}$

Lời giải:

+ Từ phương trình (1), ta có: $x = 2 + 3 y$ (3)

+ Thay vào phương trình (2), ta được: $- 2. (2 + 3 y) + 5 y = 1$ (4)

+ Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} - 2 (2 + 3 y) + 5 y = 1 \\ - 4 - 6 y + 5 y = 1 \\ - y = 5 \\ y = - 5 \end{array}$

+ Thay giá trị $y = - 5$ vào phương trình (3), ta có:

$x = 2 + 3. (- 5) = 2 - 15 = - 13$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (- 13; - 5)$ .

Luyện tập 2 trang 20 Toán 9 Tập 1: Giải phương trình: ${\begin{cases} - 2 x + 4 y = 5 (1) \\ - x + 2 y = 1 (2) \end{cases}$

Lời giải:

+ Từ phương trình (2), ta có: $x = - 1 + 2 y$ (3)

+ Thay vào phương trình (1), ta được: $- 2. (- 1 + 2 y) + 4 y = 5$ (4)

+ Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} - 2 (- 1 + 2 y) + 4 y = 5 \\ 3 - 4 y + 4 y = 5 \\ 0 y = 2 \end{array}$

Do đó, phương trình (4) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 3 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải phương trình: ${\begin{cases} x - 3 y = 4 (1) \\ - 2 x + 6 y = - 8 (2) \end{cases}$

Lời giải:

+ Từ phương trình (1), ta có: $x = 3 y + 4$ (3)

+ Thay vào phương trình (2), ta được: $- 2. (3 y + 4) + 6 y = - 8$ (4)

+ Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} - 2 (3 y + 4) + 6 y = - 8 \\ - 6 y - 8 + 6 y = - 8 \\ 0 y = 0 \end{array}$

Do đó, phương trình (4) có vô số nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Hoạt động 2 trang 21 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình: ${\begin{cases} x + y = 7 (1) \\ x - y = 1 (2) \end{cases} (I I)$

a. Các hệ số của $y$ trong hai phương trình (1) và (2) có đặc điểm gì?

b. Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được phương trình nào?

c. Giải phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (II).

Lời giải:

a. Hệ số của $y$ trong hai phương trình (1) và (2) là hai số đối nhau.

b. Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được phương trình $2 x = 8$ , tức là $x = 4$ .

c. Thế $x = 4$ vào phương trình (2), ta được phương trình: $4 - y = 1$ (3)

Giải phương trình (3), ta có:

$\begin{array}{l} 4 - y = 1 \\ y = 3 \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (4; 3)$ .

Luyện tập 4 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình: ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 5 (1) \\ 5 x + 2 y = 7 (2) \end{cases}$

Lời giải:

+ Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình: $2 x = 2$ , tức là $x = 1$ .

+ Thế $x = 1$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $3.1 + 2 y = 5$ (3)

+ Giải phương trình (3), ta có: $3 + 2 y = 5$

$\begin{array}{l} 2 y = 2 \\ y = 1 \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (1; 1)$ .

Hoạt động 3 trang 22 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình: ${\begin{cases} 2 x + 5 y = - 3 (1) \\ - 3 x + 7 y = - 10 (2) \end{cases} (I I I)$

a. Các hệ số của $x$ trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không? Các hệ số của $y$ trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không?

b. Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình mới với hệ số của $x$ trong hai phương trình đó có đặc điểm gì?

c. Giải hệ phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (III).

Lời giải:

+ Các hệ số của $x$ trong hai phương trình (1) và (2) không bằng nhau (hoặc đối nhau).

+ Các hệ số của $y$ trong hai phương trình (1) và (2) không bằng nhau (hoặc đối nhau).

b. Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình: ${\begin{cases} 6 x + 15 y = - 9 (3) \\ - 6 x + 14 y = - 20 (4) \end{cases}$

+ Ta được hệ phương trình mới với hệ số của $x$ trong hai phương trình đó đối nhau.

c. Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $29 y = - 29$ (5)

Giải phương trình (5), ta có: $y = - 1$ .

Thế giá trị $y = - 1$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $2 x + 5. (- 1) = - 3$ (6).

Giải phương trình (6): $2 x - 5 = - 3$

$\begin{array}{l} 2 x = 2 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (1; - 1)$ .

Luyện tập 5 trang 23 Toán 9 Tập 1: Giải bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải:

Ta có phương trình: ${\begin{cases} x + y = 6 (1) \\ 33000 x + 28000 y = 188000 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (1), ta có: $x = 6 - y$ (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: $33000 (6 - y) + 28000 y = 188000$ (4)

Giải phương trình (4): $33000 (6 - y) + 28000 y = 188000$

$\begin{array}{l} 198000 - 33000 y + 28000 y = 188000 \\ - 5000 y = - 10000 \\ y = 2 \end{array}$

Thay $y = 2$ vào phương trình (3), ta có: $x = 6 - 2 = 4$ .

Vậy nhóm khách đã mua 2 cốc trà sữa trân châu đường đen và 4 cốc trà sữa phô mai.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập 6 trang 24 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} 3 x - 2 y = 1 \\ - 6 x + y = 3 \end{cases}$

Lời giải:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

$M O D E \to 5 \to 1 \to 3 \to = \to - \to 2 \to = \to 1 \to = \to - \to 6 \to = \to 1 \to = \to 3 \to = \to =$

Ta thấy trên màn hình hiện ra $x = - \frac{7}{9}$ .

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra $y = - \frac{5}{3}$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (- \frac{7}{9}; - \frac{5}{3})$ .

Bài tập

Bài 1 trang 25 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a. ${\begin{cases} x - 2 y = 0 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{cases}$

b. ${\begin{cases} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} y = - 2 \\ \frac{3}{2} x - y = 4 \end{cases}$

c. ${\begin{cases} 4 x - 2 y = 1 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$

Lời giải:

a. ${\begin{cases} x - 2 y = 0 (1) \\ 3 x + 2 y = 8 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (1), ta có: $x = 2 y$ (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: $3.2 y + 2 y = 8$ (4)

Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} 3.2 y + 2 y = 8 \\ 6 y + 2 y = 8 \\ 8 y = 8 \\ y = 1 \end{array}$

Thay giá trị $y = 1$ vào phương trình (3), ta có: $x = 2.1 = 2$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (2; 1)$ .

b. ${\begin{cases} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} y = - 2 (1) \\ \frac{3}{2} x - y = 4 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (2), ta có: $y = \frac{3}{2} x - 4$ (3)

Thay vào phương trình (1), ta được: $- \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x - 4) = - 2$ (4)

Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x - 4) = - 2 \\ - \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} x - 2 = - 2 \\ 0 = 0 \end{array}$

Do đó, phương trình (4) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

c. ${\begin{cases} 4 x - 2 y = 1 (1) \\ - 2 x + y = 0 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (2), ta có: $y = 2 x$ (3)

Thay vào phương trình (1), ta được: $4 x - 2.2 x = 1$ (4)

Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} 4 x - 4 x = 1 \\ 0 x = 1 \end{array}$

Do đó, phương trình (4) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2 trang 25 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a. ${\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$ ;

b. ${\begin{cases} 4 x + 5 y = 11 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ ;

c. ${\begin{cases} 12 x + 18 y = - 24 \\ - 2 x - 3 y = 4 \end{cases}$ ;

d. ${\begin{cases} x - 3 y = 5 \\ - 2 x + 6 y = 10 \end{cases}$ .

Lời giải:

a. ${\begin{cases} 2 x + y = 4 (1) \\ x - y = 2 (2) \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình:

$3 x = 6$ , tức là $x = 2$

Thế $x = 2$ vào phương trình (2), ta nhận được phương trình: $2 - y = 2$ (3)

Giải phương trình (3), ta có: $y = 0$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (2; 0)$ .

b. ${\begin{cases} 4 x + 5 y = 11 (1) \\ 2 x - 3 y = 0 (2) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 và giữ nguyên phương trình (1), ta được hệ phương trình sau: ${\begin{cases} 4 x + 5 y = 11 (3) \\ 4 x - 6 y = 0 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $11 y = 11$ (5)

Giải phương trình (5), ta có:

$\begin{array}{l} 11 y = 11 \\ y = 1 \end{array}$

Thế giá trị $y = 1$ vào phương trình (2), ta được phương trình: $2 x - 3.1 = 0$ (6)

Giải phương trình (6):

$\begin{array}{l} 2 x - 3.1 = 0 \\ 2 x = 3 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (\frac{3}{2}; 1)$ .

c. ${\begin{cases} 12 x + 18 y = - 24 (1) \\ - 2 x - 3 y = 4 (2) \end{cases}$

Chia hai vế của phương trình (1) với $- 6$ và giữ nguyên phương trình (2), ta được hệ phương trình sau: ${\begin{cases} - 2 x - 3 y = 4 (3) \\ - 2 x - 3 y = 4 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $0 x + 0 y = 0$ (5)

Do đó phương trình (5) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

d. ${\begin{cases} x - 3 y = 5 (1) \\ - 2 x + 6 y = 10 (2) \end{cases}$

Chia hai vế của phương trình (2) với $- 2$ và giữ nguyên phương trình (1), ta được hệ phương trình sau: ${\begin{cases} x - 3 y = 5 (3) \\ x - 3 y = - 5 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $0 y = 10$ (5)

Do đó phương trình (5) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô nghiệm.

Bài 3 trang 25 Toán 9 Tập 1: Xác định $a, b$ để đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua hai điểm $A, B$ trong mỗi trường hợp sau:

a. $A (1; - 2)$ và $B (- 2; - 11)$ ;

b. $A (2; 8)$ và $B (- 4; 5)$ .

Lời giải:

Do đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $A (1; - 2)$ nên ta có phương trình: $a + b = - 2 (1)$

Do đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $B (- 2; - 11)$ nên ta có phương trình: $- 2 a + b = - 11 (2)$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} a + b = - 2 (1) \\ - 2 a + b = - 11 (2) \end{cases}$

Ta giải hệ phương trình trên:

+ Trừ từng vế của phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình $3 a = 9$ , tức là $a = 3$ .

+ Thế giá trị $a = 3$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $3 + b = - 2$ (3)

+ Giải phương trình (3): $b = - 5$ .

+ Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm $(a; b) = (3; - 5)$ .

Vậy ta có hàm số: $y = 3 x - 5$ .

Do đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $A (2; 8)$ nên ta có phương trình: $2 a + b = 8 (1)$

Do đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $B (- 4; 5)$ nên ta có phương trình: $- 4 a + b = 5 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} 2 a + b = 8 (1) \\ - 4 a + b = 5 (2) \end{cases}$

Ta giải hệ phương trình trên:

+ Trừ từng vế của phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình $6 a = 3$ tức là $a = \frac{1}{2}$ .

+ Thế giá trị $a = \frac{1}{2}$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $2. \frac{1}{2} + b = 8$ (3)

+ Giải phương trình (3):

$\begin{array}{l} 1 + b = 8 \\ b = 7 \end{array}$

+ Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm: $(a; b) = (\frac{1}{2}; 7)$ .

Vậy ta có hàm số: $y = \frac{1}{2} x + 7$ .

Bài 4 trang 25 Toán 9 Tập 1: Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.

Lời giải:

Đổi: 1 giờ 30 phút = $\frac{3}{2}$ giờ

2 giờ 6 phút = $\frac{21}{10}$ giờ

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là: $x$ $(k m / h, 0 < y < x)$ .

Vận tốc của dòng nước là: $y (k m / h, 0 < y < x)$ .

+ Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: $x + y (k m / h)$ ;

+ Thời gian ca nô xuôi dòng là: $\frac{42}{x + y}$ (giờ);

+ Do thời gian ca nô xuôi dòng hết 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình: $\frac{42}{x + y} = \frac{3}{2}$ (1)

+ Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: $x - y (k m / h)$ ;

+ Thời gian ca nô ngược dòng là: $\frac{42}{x - y}$ (giờ);

+ Do thời gian ca nô ngược dòng hết 2 giờ 6 phút nên ta có phương trình: $\frac{42}{x - y} = \frac{21}{10}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} \frac{42}{x + y} = \frac{3}{2} (1) \\ \frac{42}{x - y} = \frac{21}{10} (2) \end{cases}$

Ta giải hệ phương trình trên:

Từ phương trình (1), ta có:

$\begin{array}{l} \frac{42}{x + y} = \frac{3}{2} \\ 3 x + 3 y = 84 \end{array}$

$x + y = 28$ (3)

Từ phương trình (2), ta có:

$\begin{array}{l} \frac{42}{x - y} = \frac{21}{10} \\ 21 x - 21 y = 420 \end{array}$

$x - y = 20$ (4)

Cộng từng vế của phương trình (3) và (4), ta được: $2 x = 48$ tức là $x = 24$ .

Thay giá trị $x = 24$ vào phương trình (4), ta được: $24 + y = 28$ (5)

Giải phương trình (5): $y = 4$ .

Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (24; 4)$ .

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 24km/h;

Vận tốc của dòng nước là 4km/h.

Bài 5 trang 25 Toán 9 Tập 1: Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Lời giải:

Gọi $x, y$ (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản $(0 < x, y < 800)$ .

Do bác Phương gửi tổng 800 triệu đồng cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình:

$x + y = 800$ (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm, số tiền là: $6 % . x = 0, 06 x$

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm, số tiền là: $8 % y = 0, 08 y$

Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình:

$0, 06 x + 0, 08 y = 54$

Hay $6 x + 8 y = 5400$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: ${\begin{cases} x + y = 800 \\ 6 x + 8 y = 5400 \end{cases}$

Nhân phương trình (1) với 3, chia phương tình (2) cho 2 ta có hệ phương trình mới:

${\begin{cases} 3 x + 3 y = 2400 (3) \\ 3 x + 4 y = 2700 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được: $y = 300$ .

Thế $y = 300$ vào phương trình (1) ta được $x + 300 = 800$ , tức là: $x = 500$

Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.

Bài 6 trang 25 Toán 9 Tập 1: Nhân dịp ngày Giố Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh $(0 < x < 25, 4)$ ;

Gọi $y$ (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh $(0 < y < 25, 4)$ .

Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có phương trình: $x + y = 25, 4 (1)$

Giá của tủ lạnh sau khi được giảm là: $x - 40 % x = 60 % x = 0, 6 x$ (triệu đồng)

Giá của máy giặt sau khi được giảm là: $y - 25 % y = 75 % y = 0, 75 y$ (triệu đồng)

Cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có:

$0, 6 x + 0, 75 y = 16, 77$ hay $60 x + 75 y = 1677$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} x + y = 25, 4 (1) \\ 60 x + 75 y = 1677 (2) \end{cases}$

Nhân phương trình (1) với 60 và giữ nguyên phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

${\begin{cases} 60 x + 60 y = 1524 (3) \\ 60 x + 75 y = 1677 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được $15 y = 153$ , tức là $y = 10, 2$ .

Thay $y = 10, 2$ vào phương trình (1) ta được $x + 10, 2 = 25, 4$ hay $x = 15, 2$ .

Vậy giá lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 (triệu đồng);

Giá lúc đầu của máy giặt là 10,2 (triệu đồng).

Bài 7 trang 25 Toán 9 Tập 1: Tìm các hệ số $x, y$ để cân bằng mỗi phương trình phản ứng hóa học sau:

a. $2 F e + y C l_{2} \to x F e C l_{3}$ ;

b. $x F e C l_{3} + F e \to y F e C l_{2}$ .

Lời giải:

a. Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và Cl, ta có: ${\begin{cases} x = 2 \\ 2 y = 3 x \end{cases}$

Giải hệ phương trình: ${\begin{cases} x = 2 \\ 2 y = 3 x (1) \end{cases}$

Thay $x = 2$ vào phương trình (1) ta được $2 y = 3.2$ (2)

Giải phương trình (2):

$\begin{array}{l} 2 y = 6 \\ y = 3 \end{array}$

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (2; 3)$ .

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: $2 F e + 3 C l_{2} \to 2 F e C l_{3}$ ,

b. Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và Cl, ta có: ${\begin{cases} x + 1 = y \\ 3 x = 2 y \end{cases}$

Giải hệ phương trình: ${\begin{cases} x + 1 = y \\ 3 x = 2 y (1) \end{cases}$

Thay $y = x + 1$ vào phương trình (1), ta được $3 x = 2. (x + 1)$ (2)

Giải phương trình (2), ta được:

$\begin{array}{l} 3 x = 2 (x + 1) \\ 3 x = 2 x + 2 \\ 3 x - 2 x = 2 \\ x = 2 \end{array}$

Thay $x = 2$ vào phương trình $y = x + 1$ ta được: $y = 2 + 1 = 3$ .

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (2; 3)$ .

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: $2 F e C l_{3} + F e \to 3 F e C l_{2}$ .

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§2. Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

§3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 1

§1. Bất đẳng thức

§2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = 2 x - 3$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x + 2 (2 x - 3) = 4$

Giải phương trình $x + 2 (2 x - 3) = 4$ , ta được:

$x + 2 (2 x - 3) = 4$

$5 x - 6 = 4$

$x = 2$ .

Thay $x = 2$ vào phương trình $y = 2 x - 3$ , ta có: $y = 2.2 - 3 = 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 1)$ .

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} x - y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x = y - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$2 (y - 2) - 2 y = 8$

$0 y - 4 = 8$ .

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0 y - 4 = 8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình ${\begin{cases} - x + y = - 2 \\ 3 x - 3 y = 6 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = x - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$3 x - 3 (x - 2) = 6$

$0 x = 0$ .

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0 x = 0$ .

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y = x - 2$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; x - 2)$ với $x \in R$ tùy ý.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. (Đưa phương trình về một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 5 x - 7 y = 9 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $(5 x - 5 x) + (- 7 y + 3 y) = 9 - 1$ hay $- 4 y = 8$ , suy ra $y = - 2$ .

Thế $y = - 2$ vào phương trình thứ hai ta được $5 x - 7. (- 2) = 9$ hay $5 x + 14 = 9$ , suy ra $x = - 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 6 x + 10 y = - 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 3 x + 5 y = - 2 \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0 x + 0 y = 0$ . Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3 x - 5 y = 2$ , suy ra $y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$ .

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $(x; \frac{3}{5} x - \frac{2}{5})$ với $x \in R$ .

Lưu ý: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình tương tự như các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( $x, y > 0; x > y$ và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x + y = 60 \\ 3 x - 3 y = 60 \end{cases} \\ {\begin{cases} 3 x + 3 y = 180 \\ 3 x - 3 y = 60 \end{cases} \end{array}$

${\begin{cases} x = 40 \\ y = 20 \end{cases}$

( $x = 40; y = 20$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc $40 (k m / h)$ , xe đi chậm có vận tốc $20 (k m / h)$ .

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho ( $x \in N$ , $0 < x \leq 9$ , $0 \leq x \leq 9$ )

Khi đó hai số có dạng $\bar{x y} = 10 x + y$ và $\bar{y x} = 10 y + x .$

Ta có hệ phương trình:

${\begin{cases} x + y = 12 \\ 10 y + x - 18 = 10 x + y \end{cases}$

${\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} x = 5 \\ y = 7 \end{cases}$

Vậy số cần tìm là 57.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.

Ta viết phương trình cần giải dưới dạng ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \end{cases}$ .

Ví dụ: Giải hệ ${\begin{cases} 2 x + y - 4 = 0 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ , ta viết nó dưới dạng ${\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ .

Khi đó, ta có $a_{1} = 2$ , $b_{1} = 1$ , $c_{1} = 4$ , $a_{2} = - 2$ , $b_{2} = 1$ , $c_{2} = 0$ . Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 1)