Giải SGK Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Bất đẳng thức

Van Anh Ngày: 23-09-2024 Lớp 9

843

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Bất đẳng thức chi tiết sách Toán 9 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức

1. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực

Luyện tập 1 trang 29 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $5 \frac{1}{4}$ và $5, 251$ ;

b. $\sqrt{5}$ và $\sqrt{\frac{26}{5}}$ .

Lời giải:

a. Do $5 \frac{1}{4} = 5, 25$ nên $5 \frac{1}{4} < 5, 251$ .

b. Ta có: ${(\sqrt{5})}^{2} = 5; {(\sqrt{\frac{26}{5}})}^{2} = \frac{26}{5}$

Do $5 < \frac{26}{5}$ nên $\sqrt{5} < \sqrt{\frac{26}{5}}$ .

2. Bất đẳng thức

Hoạt động 1 trang 29 Toán 9 Tập 1: Viết hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b.

Lời giải:

Hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b là $a > b$ .

Luyện tập 2 trang 30 Toán 9 Tập 1: Hãy viết hai bất đẳng thức cùng chiều.

Lời giải:

$25 > \sqrt{3}; \sqrt{7} > \sqrt{2}$

Hoạt động 2 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $15 > 14$ . Hãy so sánh hiệu $15 - 14$ và 0.

Lời giải:

Ta có: $15 - 14 = 1 > 0$ .

Luyện tập 3 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho $a \geq 2 b$ . Chứng minh:

a. $2 a - 1 \geq a + 2 b - 1$

b. $4 b + 4 a \leq 5 a + 2 b$

Lời giải:

Do $a \geq 2 b$ nên $a - 2 b \geq 0$ và $2 b - a \leq 0$ .

a. Xét hiệu: $(2 a - 1) - (a + 2 b - 1) = 2 a - 1 - a - 2 b + 1 = a - 2 b \geq 0$ . Vậy $2 a - 1 \geq a + 2 b - 1$ .

b. Xét hiệu: $(4 b + 4 a) - (5 a + 2 b) = 4 b + 4 a - 5 a - 2 b = 2 b - a \leq 0$ . Vậy $4 b + 4 a \leq 5 a + 2 b$ .

Hoạt động 3 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $a > b$ và cho số thực c.

a. Xác định dấu của hiệu: $(a + c) - (b + c)$ .

b. Hãy so sánh: $a + c$ và $b + c$ .

Lời giải:

a. Do $a > b$ nên $a - b > 0$ và $b - a < 0$

Ta có: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b > 0$ . Vậy $(a + c) - (b + c) > 0$ .

b. Do $(a + c) - (b + c) > 0$ nên $a + c > b + c$ .

Luyện tập 4 trang 31 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\sqrt{11} - \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$ ;

b. ${(a - 1)}^{2} \geq 4 - 2 a$ với $a^{2} \geq 3$ .

Lời giải:

a. Do $11 > 10$ nên $\sqrt{11} > \sqrt{10}$ suy ra $\sqrt{11} - \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$ .

Vậy $\sqrt{11} - \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$

b. Do $a^{2} \geq 3$ nên $a^{2} - 3 \geq 0$ .

Xét hiệu ${(a - 1)}^{2} - 4 + 2 a = a^{2} - 2 a + 1 - 4 + 2 a = a^{2} - 3 \geq 0$

Vậy ${(a - 1)}^{2} \geq 4 - 2 a$ .

Hoạt động 4 trang 31 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $a > b$ và số thực $c > 0$ .

a. Xác định dấu của hiệu: $a c - b c$ .

b. Hãy so sánh: $a c$ và $b c$ .

Lời giải:

a. Do $a > b$ nên $a - b > 0$ .

Ta có: $a c - b c = (a - b) c$

Do $a - b > 0, c > 0$ nên $(a - b) c > 0$

Vậy $a c - b c > 0$ .

b. Do $a c - b c > 0$ nên $a c > b c$ .

Luyện tập 5 trang 31 Toán 9 Tập 1: Cho $a \geq b$ . Chứng minh: $5 b - 2 \leq 5 a - 2$ .

Lời giải:

Do $a \geq b$ nên $5 a \geq 5 b$ . Vậy $5 a - 2 \geq 5 b - 2$ hay $5 b - 2 \leq 5 a - 2$ .

Hoạt động 5 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $a > b$ và số thực $c > 0$ .

a. Xác định dấu của hiệu: $a c - b c$ .

b. Hãy so sánh: $a c$ và $b c$ .

Lời giải:

a. Do $a > b$ nên $a - b > 0$ .

Ta có: $a c - b c = (a - b) c$

Do $a - b > 0, c > 0$ nên $(a - b) c > 0$

Vậy $a c - b c > 0$ .

b. Do $a c - b c > 0$ nên $a c > b c$ .

Luyện tập 6 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho $a \leq 1$ . Chứng minh: ${(a - 1)}^{2} \geq a^{2} - 1$ .

Lời giải:

Do $a \leq 1$ nên $a - 1 \leq 0$ và $1 - a \geq 0$

Xét hiệu: ${(a - 1)}^{2} - a^{2} + 1 = a^{2} - 2 a + 1 - a^{2} + 1 = - 2 a + 2 = - 2 (a - 1) \geq 0$

Vậy ${(a - 1)}^{2} \geq a^{2} - 1$ .

Hoạt động 6 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho các bất đẳng thức $a > b$ và $b > c$ .

a. Xác định dấu của hiệu: $a - b, b - c, a - c$ .

b. Hãy so sánh: a và c.

Lời giải:

a. Do $a > b$ nên $a - b > 0$

Do $b > c$ nên $b - c > 0$ .

Do $a > b$ , $b > c$ nên $a > c$ hay $a - c > 0$ .

b. Do $a - c > 0$ nên $a > c$ .

Luyện tập 7 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn $a > b$ và $c > d$ . Chứng minh: $a c > b d$ .

Lời giải:

Do $a > b, c > 0$ nên $a c > b c$ (1)

Do $c > d, b > 0$ nên $b c > b d$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a c > b d$ .

Bài tập

Bài 1 trang 33 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\sqrt{29} - \sqrt{6} > \sqrt{28} - \sqrt{6}$ ;

b. $26, 2 < 2 a + 3, 2 < 26, 4$ với $11, 5 < a < 11, 6$

Lời giải:

a. Do $29 > 28$ nên $\sqrt{29} > \sqrt{28}$ . Vậy $\sqrt{29} - \sqrt{6} > \sqrt{28} - \sqrt{6}$ .

b. Do $11, 5 < a < 11, 6$ nên $23 < 2 a < 23, 2$ . Vậy $26, 2 < 2 a + 3, 2 < 26, 4$ .

Bài 2 trang 33 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} < a^{2} + \frac{4}{5}$ với $a \neq 0$ ;

b. $2 m + 4 > 2 n + 3$ với $m > n$ .

Lời giải:

a. Ta có: $\frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{5}$

Mà $a^{2} > 0$ nên $\frac{4}{5} < a^{2} + \frac{4}{5}$ .

Vậy $\frac{1}{1 . 2} + \frac{1}{2 . 3} + \frac{1}{3 . 4} < a^{2} + \frac{4}{5}$ với $a \neq 0$ .

b. Ta có: $m > n$ nên $2 m > 2 n$ . Vậy $2 m + 3 > 2 n + 3$ .

Mà $2 m + 4 > 2 m + 3$ nên $2 m + 4 > 2 n + 3$ .

Vậy $2 m + 4 > 2 n + 3$ với $m > n$ .

Bài 3 trang 34 Toán 9 Tập 1: a. Cho $a > b > 0$ . Chứng minh: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .

b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $\frac{2022}{2023}$ và $\frac{2023}{2024}$ .

Lời giải:

a. Do $a > b$ nên $b - a < 0$ .

Do $a > b > 0$ nên $a b > 0$ .

Xét hiệu $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{a b}$ .

Do ${\begin{cases} b - a < 0 \\ a b > 0 \end{cases}$ nên $\frac{b - a}{a b} < 0$ .

Vậy $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .

b. Ta có: $\frac{2022}{2023} = 1 - \frac{1}{2023}; \frac{2023}{2024} = 1 - \frac{1}{2024}$

Theo kết quả vừa chứng minh ta có:

$2024 > 2023$ nên $\frac{1}{2023} > \frac{1}{2024}$ suy ra $- \frac{1}{2023} < - \frac{1}{2024}$ nên $1 - \frac{1}{2023} < 1 - \frac{1}{2024}$ .

Vậy $\frac{2022}{2023} < \frac{2023}{2024}$ .

Bài 4 trang 34 Toán 9 Tập 1: Chứng minh: $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ với mọi số thực $x, y$ .

Lời giải:

+ Xét hiệu $x^{2} + y^{2} - 2 x y = {(x - y)}^{2} \geq 0 \forall x \in R$ .

Vậy $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ với mọi số thực $x, y$ .

Bài 5 trang 34 Toán 9 Tập 1: Nồng độ cồn trong máu (tiếng Anh là Blood Alcohol Content, viết tắt: BAC) được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm lượng rượu (ethyl alcohol hoặc ethanol) trong máu của một người. Chẳng hạn, nồng độ cồn trong máu là 0,05% nghĩa là có 50mg rượu trong 100ml máu. Càng uống nhiều rượu bia thì nồng độ cồn trong máu càng cao và càng nguy hiểm khi tham gia giao thông. Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định mức xử phạt vi phạm hành chính đối với người điều khiển xe gắn máy uống rượu bia khi tham gia giao thông như sau:

Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Bất đẳng thức (ảnh 1)

Giả sử nồng độ cồn trong máu của một người sau khi uống rượu bia được tính theo công thức sau: $y = 0, 076 - 0, 008 t$ , trong đó y được tính theo đơn vị % và t là số giờ tính từ thời điểm uống rượu bia. Hỏi 3 giờ sau khi uống rượu bia, người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức độ nào?

Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Bất đẳng thức (ảnh 1)

Lời giải:

3 giờ sau khi uống rượu, bia nồng độ cồn trong máu của người đó là: $y = 0, 076 - 0, 008.3 = 0, 052 %$

Do đó nồng độ cồn trong máu vượt quá 50mg/100ml máu và chưa vượt quá 80mg/100ml máu.

Vậy người này sẽ bị xử phạt ở mức độ 2.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

§1. Bất đẳng thức

§2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Chủ đề 1. Làm quen với bảo hiểm

§1. Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực

Lý thuyết Bất đẳng thức

1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực

Trong hai số khác nhau luôn có số này nhỏ hơn số kia.

- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết $a < b$ hay $b > a$ .

- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

Ta có các kết quả:

- Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì $a < b$ hay $b > a$ .

Lý thuyết Bất đẳng thức (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 1)

- Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.

- Với hai số thực a, b, ta có:

$a b > 0$ thì a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại:

$a b < 0$ thì a, b trái dấu và ngược lại.

- Với a, b là hai số thực dương, nếu $a > b$ thì $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ .

2. Bất đẳng thức

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$ , $a \geq b$ , $a \leq b$ ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức $a < b$ và $c < d$ (hay $a > b$ và $c > d$ ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức $a < b$ và $c > d$ (hay $a > b$ và $c < d$ ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất của bất đẳng thức

Với hai số thực a và b, ta có:

- Nếu $a > b$ thì $a - b > 0$ . Ngược lại, nếu $a - b > 0$ thì $a > b$ .

- Nếu $a < b$ thì $a - b < 0$ . Ngược lại, nếu $a - b < 0$ thì $a < b$ .

- Nếu $a \geq b$ thì $a - b \geq 0$ . Ngược lại, nếu $a - b \geq 0$ thì $a \geq b$ .

- Nếu $a \leq b$ thì $a - b \leq 0$ . Ngược lại, nếu $a - b \leq 0$ thì $a \leq b$ .

Nhận xét: Do khẳng định nêu trên, để chứng minh $a > b$ , ta có thể chứng minh $a - b > 0$ hoặc chứng minh $b - a < 0$ .

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ .

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a + c \leq b + c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a + c \geq b + c$ .

Ví dụ: Vì $2023 < 2024$ nên $2023 + (- 19) < 2024 + (- 19)$

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:

- Nếu $a < b$ thì $a c < b c$ .

- Nếu $a > b$ thì $a c > b c$ .

- Nếu $a \leq b$ thì $a c \leq b c$ .

- Nếu $a \geq b$ thì $a c \geq b c$ .

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:

Nếu $a < b$ thì $a c > b c$ .

Nếu $a > b$ thì $a c < b c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a c \geq b c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a c \leq b c$ .

Ví dụ:

Vì $- 7 < - 5$ và $3 > 0$ nên $3. (- 7) < 3. (- 5)$ .

Vì $- 7 < - 5$ và $- 3 < 0$ nên $(- 3) . (- 7) > (- 3) . (- 5)$ .

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$ .

Ví dụ: Vì $\frac{2024}{2023} = 1 + \frac{1}{2023} > 1$ và $\frac{2021}{2022} = 1 - \frac{1}{2022} < 1$ nên $\frac{2024}{2023} > \frac{2021}{2022}$ .