Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 17 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=-0,5\left(1\right)\\ x+2y=0,41\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có: x = 0,41 ‒ 2y.   (3)

Thế vào phương trình (1) ta được:

10.(0,41 ‒ 2y) ‒ 3y = ‒0,5.  (4)

Giải phương trình (4):  

10.(0,41 ‒ 2y) ‒ 3y = ‒0,5

4,1 ‒ 20y ‒ 3y = ‒0,5

‒20y ‒ 3y = ‒0,5 – 4,1

‒23y = ‒4,6

y = 0,2.

Thay y = 0,2 vào phương trình (3) ta có:

x = 0,41 ‒ 2.0,2 = 0,01.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (0,01; 0,2).

b) $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{y}{2}=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ \frac{x}{3}-2y=-\frac{5}{3}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có: $x=\frac{1}{2}+\frac{y}{2}=\frac{y+1}{2}.$  (3)

Thế vào phương trình (2) ta được:

$\frac{\frac{y+1}{2}}{3}-2y=-\frac{5}{3}$ hay $\frac{y+1}{6}-2y=-\frac{5}{3}.$ (4)

Giải phương trình (4):  

$\frac{y+1}{6}-2y=-\frac{5}{3}$

$\frac{y+1}{6}-\frac{6\cdot 2y}{6}=-\frac{5\cdot 2}{6}$

y + 1 – 6.2y = ‒5.2

y + 1 ‒ 12y = ‒10

‒11y = ‒11

y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình (3) ta có: $x=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).

c) $\left\{\begin{array}{l}5x-0,7y=1\left(1\right)\\ -10x+1,4y=-2\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có:

5x = 1 + 0,7y nên $x=\frac{1+0,7y}{5}.$  (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: $-10\cdot \frac{1+0,7y}{5}+1,4y=-2.$  (4)

Giải phương trình (4): 

$-10\cdot \frac{1+0,7y}{5}+1,4y=-2$ 

$\frac{-10-7y}{5}+\frac{1,4y\cdot 5}{5}=\frac{-2\cdot 5}{5}$

‒10 ‒ 7y + 1,4y.5 = ‒2.5

‒10 ‒ 7y + 7y = ‒10

0y = 0.

Do phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm $\left(x;y\right)=\left(\frac{1+0,7y}{5};y\right)$ với y ∈ ℝ.

Bài 18 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-5y=-11\left(1a\right)\\ -3x+7y=15\left(2a\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1a) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2a) với 2, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}6x-15y=-33\left(3a\right)\\ -6x+14y=30\left(4a\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3a) và (4a), ta nhận được phương trình:

‒y = ‒3 hay y = 3.

Thay y = 3 vào phương trình (1a), ta có: 2x ‒ 5.3 = ‒ 11.  (5a)

Giải phương trình (5a):

2x ‒ 5.3 = ‒ 11

2x – 15 = ‒11

2x = ‒11 + 15

2x = 4

x = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 3).

b) $\left\{\begin{array}{l}0,3x-2y=-0,7\left(1b\right)\\ 2x-0,2y=1,9\left(2b\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (2b) với 10, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}0,3x-2y=-0,7\left(1b\right)\\ 20x-2y=19\left(3b\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (3b) và (1b), ta nhận được phương trình:

19,7x = 19,7 hay x = 1.

Thay x = 1 vào phương trình (3b), ta được:

20.1 – 2y = 19. (4b)

Giải phương trình (4b):

20.1 – 2y = 19

20 – 2y = 19

–2y = 19 – 20

–2y = –1

y = 0,5.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 0,5).

c) $\left\{\begin{array}{l}-5x+7y=3\left(1c\right)\\ 7x-9,8y=-4\left(2c\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1c) với 7 và nhân hai vế của phương trình (2c) với 5, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}-35x+49y=21\left(3c\right)\\ 35x-49y=-20\left(4c\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3c)  và (4c), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 1.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 19 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm hai số, biết rằng bốn lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng 6 120 và ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 1 615.

Lời giải:

Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai.

Bốn lần số thứ nhất là: 4x, ba lần số thứ hai là 3y.

Theo bài, bốn lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng 6 120 nên ta có phương trình:

4x + 3y = 6 120. (1)

Ba lần số thứ nhất là 3x, hai lần số thứ hai là 2y.

Theo bài, ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 1 615 nên ta có phương trình:

3x – 2y = 1 615.   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4x+3y=6120\left(1\right)\\ 3x-2y=1615\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với ‒4, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}12x+9y=18360\left(3\right)\\ -12x+8y=-6460\left(4\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

17y = 11 900 hay y = 700.

Thay y = 700 vào phương trình (1) ta có: 4x + 3.700 = 6 120.   (5)

Giải phương trình (5):

4x + 3.700 = 6 120

4x + 2 100 = 6 120

4x = 4 020

x = 1 005.

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 005; 700).

Vậy số thứ nhất và số thứ hai cần tìm lần lượt là 1 005 và 700.

Bài 20 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Một nhà máy sản xuất hai loại xi măng: loại I và loại II. Cứ sản xuất mỗi tấn xi măng loại I thì nhà máy thải ra 0,5 kg CO₂ (carbon dioxide) và 0,3 kg SO₃ (sulfur trioxide), sản xuất mỗi tấn xi măng loại II thì nhà máy thải ra 0,8 kg CO₂ và 0,45 kg SO₃. Trung bình mỗi ngày, nhà máy nhận được thông số lượng khí thải CO₂ và SO₃ lần lượt là 1 700 kg và 975 kg. Tính khối lượng xi măng loại I và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được.

Lời giải:

Gọi x (tấn), y (tấn) lần lượt là khối lượng xi măng loại I, loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được với x > 0; y > 0.

Sản xuất x (tấn) xi măng loại I thì nhà máy thải ra 0,5x kg CO₂ và 0,3x kg SO₃.

Sản xuất y (tấn) xi măng loại II thì nhà máy thải ra 0,8y kg CO₂ và 0,45y kg SO₃.

Theo bài, trung bình mỗi ngày:

⦁ có 700 kg khí thải CO₂ được thải ra nên ta có phương trình:

0,5x + 0,8y = 700. (1)

⦁ có 975 kg khí thải SO₃ được thải ra nên ta có phương trình:

0,3x + 0,45y = 975. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0,5x+0,8y=1700\left(1\right)\\ 0,3x+0,45y=975\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}1,5x+2,4y=5100\left(3\right)\\ 1,5x+2,25y=4875\left(4\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

0,15y = 225 hay y = 1 500.

Thay y = 700 vào phương trình (1) ta có: 0,5x + 0,8 . 1 500 = 1 700.  (5)

Giải phương trình (5):

0,5x + 0,8 . 1 500 = 1 700

0,5x + 1 200 = 1 700

0,5x = 500

x = 1 000.

Ta thấy x = 1 000 và y = 1 500 thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 000; 1 500).

Vậy khối lượng xi măng loại I và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được lần lượt là 1 000 tấn và 1 500 tấn.

Bài 21 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Bác Lan có 500 triệu đồng để đầu tư vào hai khoản: trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với kì hạn 12 tháng. Lãi suất của trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 7%/năm và 6%/năm. Tính số tiền mà bác Lan đầu tư vào mỗi khoản để mỗi năm nhận được tiền lãi là 32 triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó.

Lời giải:

Gọi x (triệu đồng), y (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với x > 0, y > 0.

Theo bài, tổng số tiền bác Lan đầu tư hai khoản là 500 triệu đồng nên ta có phương trình:

x + y = 500. (1)

Do lãi suất của trái phiếu là 7%/năm nên số tiền lãi bác Lan nhận được khi đầu tư trái phiếu là: x.7% = 0,07x (triệu đồng).

Do lãi suất của gửi tiết kiệm ngân hàng là 6%/năm nên số tiền lãi bác Lan nhận được khi gửi tiết kiệm ngân hàng là: y.6% = 0,06y (triệu đồng).

Theo bài, mỗi năm bác Lan nhận được tiền lãi là 32 triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó nên ta có phương trình:

0,07x + 0,06y = 32. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=500\left(1\right)\\ 0,07x+0,06y=32\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có x = 500 ‒ y. (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: 0,07.(500 ‒ y) + 0,06y = 32.  (4)

Giải phương trình (4):  

0,07.(500 ‒ y) + 0,06y = 32 

35 ‒ 0,07y + 0,06y = 32

‒0,01y = ‒3

y = 300.

Thay y = 300 vào phương trình (3) ta có:

x = 500 ‒ 300 = 200.

Ta thấy x = 200 và y = 300 thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (200; 300).

Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.

Bài 22 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Một ô tô dự định đi từ địa điểm A đến địa điểm B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu ô tô đi với tốc độ 40 km/h thì ô tô đến địa điểm B chậm hơn 90 phút so với dự định. Nếu ô tô đi với tốc độ 60 km/h thì ô tô đến địa điểm B nhanh hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian ô tô dự định đi.

Lời giải:

Đổi 90 phút = 1,5 giờ; 30 phút = 0,5 giờ.

Gọi x (km) là quãng đường AB và y (giờ) là thời gian ô tô dự định đi với x > 0, y > 0,5.

Thời gian xe chạy quãng đường AB với tốc độ 40 km/h là: $\frac{x}{40}$ (giờ).

Thời gian xe chạy quãng đường AB với tốc độ 60 km/h là: $\frac{x}{60}$ (giờ).

Theo bài:

⦁ ô tô đi với tốc độ 40 km/h thì ô tô đến địa điểm B chậm hơn 90 phút so với dự định nên ta có phương trình:

$\frac{x}{40}-y=1,5.\left(1\right)$

⦁ ô tô đi với tốc độ 60 km/h thì ô tô đến địa điểm B nhanh hơn 30 phút so với dự định nên ta có phương trình:

$y-\frac{x}{60}=0,5.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{40}-y=1,5\left(1\right)\\ y-\frac{x}{60}=0,5\left(2\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình:

$\frac{x}{40}-\frac{x}{60}=2.\left(3\right)$

Giải phương trình (3):

$\frac{x}{40}-\frac{x}{60}=2$

$\frac{3x}{120}-\frac{2x}{120}=\frac{2\cdot 120}{120}$

3x – 2x = 2.120

x = 240.

Thay x = 240 vào phương trình (1) ta có: $\frac{240}{40}-y=1,5.\left(4\right)$

Giải phương trình (4):

$\frac{240}{40}-y=1,5$

6 – y = 1,5

–y = –4,5

y = 4,5.

Ta thấy x = 240 và y = 4,5 thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (240; 4,5).

Vậy quãng đường AB dài 240 km và thời gian ô tô dự định đi là 4,5 giờ.

Bài 23 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Một cửa sổ có dạng hình chữ nhật được xây trên bức tường có dạng hình thang vuông với các kích thước như Hình 4. Tìm x, y biết rằng diện tích của bức tường không tính phần làm cửa sổ là 69 m² và 2x = y ‒ 3.

Lời giải:

Diện tích của hình thang vuông là: $\frac{\left(7+11\right)y}{2}=9y$  (m²).

Diện tích của cửa sổ dạng hình chữ nhật là: 4x (m²).

Do diện tích của bức tường không tính phần làm cửa sổ là 69 m² nên ta có phương trình: 9y – 4x = 69.

Ta lập được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x=y-3\\ 9y-4x=69\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}y=2x+3\left(1\right)\\ 9y-4x=69\left(2\right)\end{array}\right.$

Thế phương trình (1) vào phương trình (2) ta được:

9.(2x + 3) – 4x = 69. (3) 

Giải phương trình: (3)

9.(2x + 3) – 4x = 69

18x + 27 – 4x = 69

14x = 42

x = 3.

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta được: y = 2.3 + 3 = 9.

Vậy x = 3 và y =9.

Bài 24 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm các hệ số x, y để cân bằng phương trình phản ứng hoá học:

xFeO + O₂ → yFe₂O₃.

Lời giải:

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và O, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ x+2=3y\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\left(1\right)\\ x-3y=-2\left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2), ta có: y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình x = 2y ta có: x = 2.2 = 4.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 2).

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: 4FeO + O₂ → 2Fe₂O₃.

Bài 25 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Hai đội công nhân cùng đào đất để đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì 2 ngày hoàn thành công việc. Nếu đội thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Tính thời gian mỗi đội làm riêng để hoàn thành công việc.

Lời giải:

Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của đội thứ nhất, đội thứ hai với x > 0, y > 0.

 Khi đó, trong một ngày thì đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc và đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Theo bài, hai đội cùng làm thì 2 ngày hoàn thành công việc nên trong một ngày, hai đội làm chung thì làm được $\frac{1}{2}$  công việc.

Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.\left(1\right)$

Trong 4 ngày, đội thứ nhất làm được $4\cdot \frac{1}{x}=\frac{4}{x}$ (công việc).

Theo bài, đội thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: $\frac{4}{x}+\frac{1}{y}=1.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ \frac{4}{x}+\frac{1}{y}=1\left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (2) và (1), ta nhận được phương trình:

$\frac{3}{x}=\frac{1}{2},$ suy ra x = 2.3 = 6.

Thay x = 6 vào phương trình (1), ta được: $\frac{1}{6}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.\left(3\right)$

Giải phương trình (3):

Ta thấy x = 6, y = 3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của đội thứ nhất và đội thứ hai lần lượt là 6 ngày và 3 ngày.

Xem thêm các bài giải Sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn. Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó. Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x+2y=4\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=2x-3$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x+2\left(2x-3\right)=4$

Giải phương trình $x+2\left(2x-3\right)=4$, ta được:

$x+2\left(2x-3\right)=4$

$5x-6=4$

$x=2$.

Thay $x=2$ vào phương trình $y=2x-3$, ta có: $y=2.2-3=1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2;1\right)$.

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ 2x-2y=8\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x=y-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$2\left(y-2\right)-2y=8$

$0y-4=8$.

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0y-4=8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-x+y=-2\\ 3x-3y=6\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=x-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$3x-3\left(x-2\right)=6$

$0x=0$.

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0x=0$.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y=x-2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(x;x-2\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2. (Đưa phương trình về một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó. Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}5x-7y=9\\ 5x-3y=1\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $\left(5x-5x\right)+\left(-7y+3y\right)=9-1$ hay $-4y=8$, suy ra $y=-2$.

Thế $y=-2$ vào phương trình thứ hai ta được $5x-7.\left(-2\right)=9$ hay $5x+14=9$, suy ra $x=-1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -6x+10y=-4\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -3x+5y=-2\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0x+0y=0$. Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3x-5y=2$, suy ra $y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$.

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $\left(x;\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$.

Lưu ý: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình tương tự như các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( $x,y>0;x>y$ và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+y=60\\ 3x-3y=60\end{array}\\ \{\begin{array}{l}3x+3y=180\\ 3x-3y=60\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=40\\ y=20\end{array}$

($x=40;y=20$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc $40(km/h)$, xe đi chậm có vận tốc $20(km/h)$.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho ($x\in \mathbb{N}$,$0<x\le 9$ ,$0\le x\le 9$)

Khi đó hai số có dạng $\overline{xy}=10x+y$ và $\overline{yx}=10y+x.$

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ 10y+x-18=10x+y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x-y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=7\end{array}$

Vậy số cần tìm là 57.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX. Ta viết phương trình cần giải dưới dạng $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2\end{array}$.

Ví dụ: Giải hệ $\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ -2x+y=0\end{array}$, ta viết nó dưới dạng $\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ -2x+y=0\end{array}$.

Khi đó, ta có $a_1=2$, $b_1=1$, $c_1=4$, $a_2=-2$, $b_2=1$, $c_2=0$. Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.