Tailieumoi.vn xin giới thiệu Cách tính delta và delta phẩy của phương trình bậc 2 hay, chi tiết được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Cách tính delta và delta phẩy của phương trình bậc 2. Ngoài ra, bài viết còn có phần bài tập Cách tính delta và delta phẩy của phương trình bậc 2. Mời các bạn đón xem:

Cách tính delta và delta phẩy của phương trình bậc 2 

A. Định nghĩa Delta và Delta phẩy

1. Delta

Định nghĩa về "Delta" trong toán học là khá đa dạng và có nhiều ý nghĩa khác nhau. Cụ thể:

- Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp: Trong hệ thống chữ cái Hy Lạp, chữ cái "Delta" được ký hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường). Trong toán học, các chữ cái Hy Lạp thường được sử dụng để đại diện cho các hằng số, biến số hoặc các khái niệm cụ thể.

- Delta là ký hiệu cho biệt thức trong phương trình bậc hai: Trong toán học, đặc biệt là trong môn Toán lớp 9, ký hiệu Δ thường được sử dụng để biểu thị biệt thức của phương trình bậc hai. Biệt thức Δ được tính bằng công thức Δ = b^2 - 4ac, trong đó a, b và c là các hệ số trong phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0. Giá trị của biệt thức Δ cho ta thông tin về số nghiệm của phương trình bậc hai:

+ Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

+ Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép.

+ Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.

- Delta là ký hiệu cho đường thẳng: Ngoài ra, trong các lớp toán cao hơn, ký hiệu "delta" có thể được sử dụng để đại diện cho đường thẳng. Đây là một ứng dụng khác của chữ cái "delta" trong toán học, và cách sử dụng nó có thể phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể.

Tóm lại, "Delta" trong toán học có thể đề cập đến ký hiệu chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp hoặc có ý nghĩa đặc biệt trong việc giải phương trình bậc hai và đại diện cho đường thẳng trong các lớp toán cao hơn.

2. Delta phẩy

Delta phẩy (${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$) được tính bằng công thức: $${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac\text{, với }{b}^{\prime }=\frac{b}{2}$$
Các nghiệm của phương trình tùy thuộc vào giá trị của ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ như sau:

• Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:$$x_1=\frac{-b^{\prime }}{a}+\frac{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a},x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}-\frac{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}$$
• Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$: Phương trình có nghiệm kép:$$x=\frac{-b^{\prime }}{a}$$
• Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$: Phương trình không có nghiệm thực.

3. Ứng dụng của Delta và Delta phẩy trong giải phương trình bậc hai

Delta ($\mathrm{\Delta }$) và Delta phẩy (${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$) không chỉ là công cụ để xác định nghiệm của phương trình bậc hai, mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và thực tiễn. Dưới đây là các ứng dụng chính:

• Phân tích nghiệm phương trình: Delta giúp xác định số lượng và tính chất của nghiệm (phân biệt, kép, vô nghiệm), trong khi Delta phẩy được sử dụng để đơn giản hóa các bước tính toán khi phương trình đã được biến đổi.
• Ứng dụng trong giáo dục: Giải phương trình bậc hai là một phần cơ bản của chương trình giáo dục phổ thông, giúp học sinh làm quen với các khái niệm đại số cơ bản.
• Ứng dụng trong kỹ thuật: Các kỹ sư sử dụng phương trình bậc hai trong nhiều bài toán liên quan đến vật lý và kỹ thuật, chẳng hạn như tính toán quỹ đạo chuyển động, tối ưu hóa thiết kế cấu trúc.
• Ứng dụng trong kinh tế: Các nhà kinh tế học áp dụng phương trình bậc hai để mô hình hóa các mối quan hệ kinh tế, dự báo các xu hướng thị trường dựa trên các mô hình định lượng.

4. Sự tiện lợi của Delta phẩy

Hiểu biết về Delta phẩy (${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$) trong phương trình bậc hai không chỉ giúp giải toán một cách chính xác mà còn mang lại nhiều lợi ích và tầm quan trọng to lớn trong học tập và ứng dụng thực tế:

• Giải phương trình hiệu quả: Sử dụng Delta phẩy giúp đơn giản hóa quá trình giải phương trình bậc hai, đặc biệt là khi chuyển các phương trình về dạng tối giản hơn.
• Cải thiện kỹ năng giải toán: Việc thường xuyên áp dụng Delta phẩy trong giải toán giúp học sinh và sinh viên nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề, phát triển tư duy logic và phân tích.
• Ứng dụng trong thực tiễn: Delta phẩy không chỉ hữu ích trong giáo dục mà còn trong các ngành như kỹ thuật và khoa học, nơi mà việc giải các phương trình đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa và giải quyết các vấn đề thực tế.
• Chuẩn bị cho các kỳ thi: Hiểu biết và thành thạo việc sử dụng Delta phẩy là một phần không thể thiếu trong chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh đạt được kết quả cao hơn trong các bài kiểm tra và thi cử.

Tóm lại, Delta phẩy là một công cụ toán học mạnh mẽ, việc hiểu sâu và sử dụng thành thạo nó không chỉ giúp giải quyết các bài toán bậc hai một cách nhanh chóng mà còn mở rộng khả năng áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác của khoa học và kỹ thuật.

B. Cách tính Delta và Delta phẩy phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai một ẩn, ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau:

- Tính Δ = b2 - 4ac

+ Nếu Δ > 0, phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 

+ Nếu Δ = 0, phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép x1 = x2 = 

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0  không có nghiệm thực

- Tính Δ' = b'2 - ac trong đó b' =  (được gọi là công thức nghiệm thu gọn)

+ Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 

+ Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: x1 = x2 = 

+ Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm thực.

Đây là các công thức cơ bản để tính toán nghiệm của phương trình bậc hai, tùy thuộc vào giá trị của Δ hoặc Δ', ta có thể kết luận về số nghiệm và giá trị của các nghiệm trong phương trình. Tổng quát, cả Δ và Δ' đều được sử dụng để đánh giá số nghiệm của phương trình bậc hai và xác định tính chất của các nghiệm đó (phân biệt, kép, không thực).

Để hiểu rõ cách tính Delta ($\mathrm{\Delta }$) và Delta phẩy (${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$) trong phương trình bậc hai, hãy xem xét ví dụ sau:

Cho phương trình bậc hai: $2x^2+4x+1=0$.

1. Xác định các hệ số:
   • $a=2$
   • $b=4$
   • $c=1$
2. Tính Delta ($\mathrm{\Delta }$):Sử dụng công thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:$\mathrm{\Delta }=4^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8$Vì $\mathrm{\Delta }>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Tính Delta phẩy (${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$):Để tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, đầu tiên tính $b^{\prime }=\frac{-b}{2}$:$b^{\prime }=\frac{-4}{2}=-2$Sau đó, áp dụng công thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(b^{\prime }{)}^2-ac$:${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-2{)}^2-2\cdot 1=4-2=2$Vì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt, tương tự như kết quả từ $\mathrm{\Delta }$.
4. Tính nghiệm của phương trình:

                    Sử dụng công thức nghiệm cho $\mathrm{\Delta }>0$ hoặc ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-4+\sqrt{8}}{4}=\frac{-4+2\sqrt{2}}{4}=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$                          $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-4-\sqrt{8}}{4}=\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

C. Bài tập tính Delta và Delta phẩy

Dạng 1: Phương Trình Bậc Hai Có Nghiệm Phân Biệt

Giải phương trình bậc hai $2x^2-5x+2=0$ bằng công thức delta phẩy.

Lời giải:

Ta có phương trình tổng quát: $a{x}^2+bx+c=0$, với $a=2$, $b=-5$, và $c=2$.

Đầu tiên, ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$:

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac={\left(\frac{-5}{2}\right)}^2-2\times 2=\frac{25}{4}-4=\frac{25}{4}-\frac{16}{4}=\frac{9}{4}$$

Vì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a},x_2=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}$$

Thay giá trị vào:

$$x_1=\frac{-\frac{-5}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}}{2}=\frac{\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}{2}=\frac{8}{2\times 2}=2$$$$x_2=\frac{-\frac{-5}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}}{2}=\frac{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}{2}=\frac{2}{2\times 2}=\frac{1}{2}$$

Vậy hai nghiệm của phương trình là $x_1=2$ và $x_2=\frac{1}{2}$.

Dạng 2: Phương Trình Bậc Hai Có Nghiệm Kép

Giải phương trình $x^2-4x+4=0$ bằng công thức delta phẩy.

Lời giải:

Ta có $a=1$, $b=-4$, và $c=4$.

Ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$:

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-1\times 4=4-4=0$$

Vì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$, phương trình có nghiệm kép:

$$x=\frac{-\frac{b}{2}}{a}=\frac{-\frac{-4}{2}}{1}=\frac{2}{1}=2$$

Vậy nghiệm kép của phương trình là $x=2$.

Dạng 3: Phương Trình Bậc Hai Không Có Nghiệm Thực

Giải phương trình $x^2+x+1=0$ bằng công thức delta phẩy.

Lời giải:

Ta có $a=1$, $b=1$, và $c=1$.

Ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$:

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1\times 1=\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}=\frac{-3}{4}$$

Vì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$, phương trình không có nghiệm thực.

Dạng 4: Phương Trình Bậc Hai Có Hệ Số Âm

Giải phương trình $-x^2+6x-9=0$ bằng công thức delta phẩy.

Lời giải:

Ta có $a=-1$, $b=6$, và $c=-9$.

Tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$:

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(\frac{6}{2}\right)}^2-(-1)\times (-9)=9-9=0$$

Vì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$, phương trình có nghiệm kép:

$$x=\frac{-\frac{6}{2}}{-1}=\frac{-3}{-1}=3$$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x=3$.

Dạng 5: Tìm Hệ Số $m$ Để Phương Trình Có Nghiệm Kép

Tìm $m$ để phương trình $x^2+(2m-1)x+m^2-m=0$ có nghiệm kép.

Lời giải:

Để phương trình có nghiệm kép, ta cần ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$. Ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ theo công thức:

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(\frac{2m-1}{2}\right)}^2-1\times (m^2-m)$$$$=\frac{(2m-1{)}^2}{4}-(m^2-m)=\frac{4m^2-4m+1}{4}-(m^2-m)$$$$=\frac{4m^2-4m+1}{4}-\frac{4m^2-4m}{4}=\frac{1}{4}$$

Vì phương trình có nghiệm kép khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$, nên ta giải:

$$\frac{1}{4}=0$$

Phương trình này không có nghiệm. Vậy không tồn tại giá trị $m$ để phương trình có nghiệm kép.

Dạng 6: Tìm Hệ Số $m$ Để Phương Trình Có Hai Nghiệm Phân Biệt

Tìm $m$ để phương trình $x^2+mx+4=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$. Ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$:

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(\frac{m}{2}\right)}^2-1\times 4=\frac{m^2}{4}-4=\frac{m^2-16}{4}$$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$:

$$\frac{m^2-16}{4}>0\Rightarrow m^2-16>0\Rightarrow m^2>16$$ặặặ$$\Rightarrow m>4\text{ hoặc }m<-4$$

Vậy $m>4$ hoặc $m<-4$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Dạng 7: Tìm Hệ Số $m$ Để Phương Trình Không Có Nghiệm Thực