Với giải Bài 8 trang 87 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 8 trang 87 Toán lớp 10: Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ đều là 120 N và $\widehat{AOB}=120°$ . Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow{F_3}$ .

Lời giải:

Vì ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào vật tại điểm O và vật đứng yên.

Do đó:   $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$  $\iff \overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)$ (1).

Ta cần tính $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Cường độ của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều là 120 N.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=120N.$

Dựng hình bình hành OADB có $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\widehat{AOB}=120°$.

Do đó OA = OB = 120 nên OADB là hình thoi.

Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AB và OD thì E là trung điểm của mỗi đường.

Đường chéo OD đồng thời là tia phân giác của góc AOB.

Suy ra: $\widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.120°=60°$.

Xét tam giác OAD có: OA = AD (tính chất hình thoi OADB)

Suy ra tam giác OAD cân tại A.

Mà $\widehat{AOD}=60°$.

Do đó tam giác AOD là tam giác đều.

Suy ra: OD = OA = 120.

Do OADB là hình bình hành nên $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$   (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)=-\overrightarrow{OD}$.

Vậy lực $\overrightarrow{F_3}$ có hướng ngược với hướng của $\overrightarrow{OD}$ và có cường độ: $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=120N.$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

Áp dụng quy tắc cộng hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$

Do đó, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$.

+ Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

Áp dụng quy tắc công hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác.

Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left|\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right|=\left|\overrightarrow{0}\right|=0$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$ là 0.

Câu 1. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}};$                                                     

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}};$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}};$                                                     

D. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$. Vậy A sai.

- Đáp án B sai vì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\ne \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

- Đáp án C. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$. Vậy C đúng.