Với giải Bài 5 trang 87 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5 trang 87 Toán lớp 10: Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau.

Lời giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau khi chúng cùng độ dài và ngược hướng. 

Ta có A, B nằm trên đường tròn tâm O nên OA, OB là bán kính, do đó: OA = OB. 

Khi đó: $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|$

Ta cần thêm điều kiện hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng, tức là chúng cùng phương và ngược chiều, do đó giá của $\overrightarrow{OA}$ chính là đường thẳng OA và giá của vectơ $\overrightarrow{OB}$ chính là đường thẳng OB phải song song hoặc trùng nhau. 

OA và OB giao nhau tại O nên không xảy ra trường hợp song song. 

Vậy đường thẳng OA trùng với đường thẳng OB, hay O, B, A thẳng hàng, hay AB là đường kính của đường tròn (O). 

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau là AB là đường kính của đường tròn (O). 

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

Áp dụng quy tắc cộng hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$

Do đó, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$= $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$.

+ Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

Áp dụng quy tắc công hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{CO}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác.

Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left|\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right|=\left|\overrightarrow{0}\right|=0$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$ là 0.

Câu 1. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}};$                                                     

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}};$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}};$                                                     

D. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$. Vậy A sai.

- Đáp án B sai vì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\ne \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

- Đáp án C. Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$. Vậy C đúng.