Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Giải SBT Toán 10 trang 13 Tập 2
Bài 1 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: x = 2 là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Lời giải:
a) Thay x = 2 vào bất phương trình ta được: 22 – 3.2 +1 = –1 < 0.
Vì vậy x = 2 không là nghiệm của bất phương trình .
b) Thay x = 2 vào bất phương trình ta được: –4.22 – 3.2 +5 = –17 < 0.
Vì vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình .
c) Thay x = 2 vào bất phương trình ta được: 2.22 – 5.2 + 2 = 0 ≤ 0
Vì vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình .
a)
Lời giải:
a)
Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với ;
Đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại hai điểm x = và x = 1.
Do đó f(x) ≥ 0 khi .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là S = .
b) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với mọi x ∈ ℝ hay f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó f(x) < 0 vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là S = ∅.
c) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với x < 3 hoặc x > 4.
Do đó f(x) > 0 khi x < 3 hoặc x > 4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là S =
d) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía dưới trục hoành với mọi x ≠ – 1.
Do đó f(x) < 0 khi x ≠ – 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là S =
e) Đồ thị hàm số bậc hai nằm trên trục hoành với mọi x ≠ .
Đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại điểm x = .
Do đó khi x = .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
g) Đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành với x < và x > ;
Đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại hai điểm x = và x = .
Do đó khi x ≤ và x ≥ .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là S = .
Giải SBT Toán 10 trang 14 Tập 2
Bài 3 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
Lời giải:
a) Tam thức bậc hai f (x) = –9x2 + 16x + 4 có a = – 9 < 0 và ∆ = 162 – 4.( – 9).4 = 112 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = 2 và x2 =
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:
khi x ≤ hoặc x ≥ 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
b) Tam thức bậc hai f (x) = có a = 6 > 0 và ∆ = ( –13)2 – 4.6.( –33) = 961 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = và x2 =
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:
< 0 khi < x <
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
c) Tam thức bậc hai f ( x ) = có a = 7 > 0 và 2∆ = ( –36)2 – 4.7.5 = 1156 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = và x2 = 5
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:
khi ≤ x ≤ 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
d) Tam thức bậc hai f ( x ) = có a = –9 < 0 và ∆ = 62 – 4.( –9).( –1) = 0. Do đó f(x) có nghiệm x =
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:
khi x =
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
e) Tam thức bậc hai f ( x ) = = ( 7x + 4 )2
Tam thức bậc hai có nghiệm x =
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:
khi x ≠
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =
g)
Tam thức bậc hai f ( x ) = có ∆ = 32 – 4. ( –2 ). ( –2 ) = –7 < 0 nên f(x) vô nghiệm.
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có a = –2 < 0 nên
với mọi x ∈ ℝ.
Vậy với mọi x ∈ ℝ.
Bài 4 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
Lời giải:
a) Ta có: ⟺ x2 – 3x – 4 < 0
Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 3x – 4 có ∆ = (– 3)2 – 4.1.(– 4) = 25 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 4 và x2 = –1.
Ta có: a = 1 > 0 nên f ( x ) < 0 với –1 < x < 4.
Suy ra x2 – 3x – 4 < 0 hay với –1 < x < 4.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm khi S = (–1 ; 4).
b) Ta có: 0 < 2x2 – 11x – 6 ⇔ 2x2 – 11x – 6 > 0
Tam thức bậc hai f( x ) = 2x2 – 11x – 6 có ∆ = (– 11)2 – 4.2.(– 6) = 169 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 6 và x2 = ,
Ta lại có: a = 2 > 0 nên f ( x ) > 0 khi x < hoặc x > 6.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (– ∞; ) ∪ (6; +∞).
c)
⟺ –2.( 4x2 + 12x + 9 ) + 4x + 30 ≤ 0
⟺ –8x2 – 24x – 18 + 4x + 30 ≤ 0
⟺ –8x2 – 20x + 12 ≤ 0
⟺ –2x2 – 5x + 3 ≤ 0
Tam thức bậc hai f ( x ) = –2x2 – 5x + 3 có ∆ = (– 5)2 – 4.(– 2).3 = 49 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = –3 và x2 = ,
Ta lại có a = –2 < 0 nên f ( x ) ≤ 0 khi x ≤ –3 hoặc x ≥
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (–∞ ; –3] ∪ [; +∞).
d)
⟺ –4x2 + 20x – 25 ≤ 0
Tam thức bậc hai f ( x ) = –4x2 + 20x – 25 có ∆ = 202 – 4. ( –4 ) . ( – 25 ) = 0 ,
a = –4 < 0 nên f ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Suy ra –4x2 + 20x – 25 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Vậy với mọi x ∈ ℝ.
e)
⟺ 2x2 – 4x + 2 ≥ 3x2 + 6x + 27
⟺ –x2 – 10x – 25 ≥ 0
⟺ –( x + 5 )2 ≥ 0
⟺ x = –5 ( do –( x + 5 )2 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ)
Vậy khi x = –5
g)
⇔ 2(x2 + 2x + 1) – 9x + 18 < 0
⇔ 2x2 – 5x + 20 < 0
Tam thức bậc hai f ( x ) = 2x2 – 5x + 20 có ∆ = (– 5)2 – 4. 2 . 20 = –135 < 0,
Ta lại có a = 2 > 0 nên f ( x ) > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Suy ra 2x2 – 5x + 20 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Vậy không tồn tại x thỏa mãn .
Bài 5 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Lời giải:
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi 15x2 + 8x – 12 ≥ 0
Tam thức bậc hai f ( x ) = 15x2 + 8x – 12 có ∆ = 82 – 4.15. (–12) = 784 > 0 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = và x2 = .
Ta có: a = 15 > 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ hoặc x ≥ .
Vậy tập xác định của hàm số là D = .
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi –11x2 + 30x – 16 > 0
Tam thức bậc hai f ( x ) = –11x2 + 30x – 16 có ∆ = 302 – 4.( –11).( –16) = 196 > 0 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 và x2 = .
Ta có: a = –11 < 0 nên f ( x ) > 0 khi và chỉ khi < x < 2.
Vậy tập xác định của hàm số là D = .
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi x – 2 ≠ 0 và –x2 + 5x – 6 ≥ 0.
+) Xét x – 2 ≠ 0 khi và chỉ khi x ≠ 2.
+) Xét tam thức bậc hai f ( x ) = –x2 + 5x – 6 có ∆ = 52 – 4.( –1).( –6) = 1 > 0 suy ra f(x) hai nghiệm phân biệt x1 = 3 và x2 = 2 ,
Ta có: a = –1 < 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 3.
Suy ra hàm số xác định khi 2 < x ≤ 3.
Vậy tập xác định của hàm số là D = .
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x + 1 > 0 và 6x2 – 5x – 21 ≥ 0
+) Xét 2x + 1 > 0 khi và chỉ khi x >
+) Xét tam thức bậc hai f ( x ) = 6x2 – 5x – 21 có ∆ = (–5)2 – 4.6.( –21) = 529 > 0 suy ra f(x) hai nghiệm phân biệt x1 = và x2 = ,
Ta có a = 6 > 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ hoặc x ≥ mà x > nên x ≥ .
Vậy tập xác định của hàm số là D = .
Bài 6 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm giá trị của tham số m để:
a) x = 3 là một nghiệm của bất phương trình ;
b) x = -1 là một nghiệm của bất phương trình ;
c) là một nghiệm của bất phương trình ;
d) x = -2 là một nghiệm của bất phương trình ;
e) x = m + 1 là một nghiệm của bất phương trình .
Lời giải:
a) x = 3 là một nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi (m2 – 1 ).32 + 2m.3 – 15 ≤ 0 hay 9m2 + 6m – 24 ≤ 0
Tam thức bậc hai f (m) = 9m2 + 6m – 24 có ∆ = 62 – 4.9.( –24) = 900 suy ra hai nghiệm phân biệt m1 = và m2 = –2 và a = 9 > 0 nên f ( m ) ≤ 0 khi và chỉ khi – 2 ≤ m ≤ .
Vậy – 2 ≤ m ≤ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) x = -1 là một nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi
m.(–1 )2 – 2.(–1 ) + 1 > 0 hay m + 3 > 0 hay m > –3.
Vậy m > –3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
c) là một nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi
4.+ 2.m. – 5m ≤ 0 hay 25 ≤ 0 ( vô lí ).
Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
d) x = -2 là một nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi ( 2m – 3 ). ( –2)2 – (m2 + 1 ).( –2) ≥ 0 hay 2m2 + 8m – 10 ≥ 0
Tam thức bậc hai f (m) = 2m2 + 8m – 10 có ∆ = 82 – 4.2.( –10) = 144 suy ra f(m) có hai nghiệm phân biệt m1 = –5 và m2 = 1 và a = 2 > 0 nên f ( m ) ≥ 0 khi và chỉ khi
m ≤ –5 hoặc m ≥ 1.
Vậy m ≤ –5 hoặc m ≥ 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
e) x = m + 1 là một nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 2.(m+1)2 + 2m.(m+1) – m2 – 2 < 0 hay 3m2 + 6m < 0
Tam thức bậc hai f (m) = 3m2 + 6m có ∆ = 62 – 4.3.0 = 36 suy ra hai nghiệm phân biệt m1 = –2 và m2 = 0 và a = 2 > 0 nên f ( m ) < 0 khi và chỉ khi –2 < m < 0.
Vậy –2 < m < 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 7 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Với giả trị nào của tham số m thì:
a) Phương trình có nghiệm;
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt;
d) Bất phương trình có tập nghiệm là ;
e) Bất phương trình có tập nghiệm là .
Lời giải:
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
∆ = [2.( m – 2 )]2 – 4.4.m2 ≥ 0
⇔ m2 – 4m + 4 – 4m2 ≥ 0
⇔ – 3m2 – 4m + 4 ≥ 0
Tam thức bậc hai f (m) = – 3m2 – 4m + 4 có ∆m = (–4)2 – 4.( –3).4 = 64 > 0 suy ra f(m) có hai nghiệm phân biệt m1 = và m2 = –2, a = – 3 < 0 nên f (m) ≥ 0 khi và chỉ khi – 2 ≤ m ≤ .
Vậy – 2 ≤ m ≤ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
m + 1 ≠ 0 và ∆ = (2m)2 – 4.( m+1 ).(–4) > 0
+) Ta có: m + 1 ≠ 0 khi và chỉ khi m ≠ –1.
+) Xét ∆ = (2m)2 – 4.(m+1).(–4) > 0
⟺ 4m2 + 16m + 16 > 0
⟺ m2 + 4m + 4 > 0
⟺ ( m + 2 )2 > 0
⟺ m ≠ –2 (vì ( m + 2 )2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ)
Vậy m ≠ –1 và m ≠ –2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) +) Nếu m = 0 thì phương trình trở thành x + 10 = 0, có nghiệm x = –10. Do đó m = 0 không thỏa mãn yêu cầu.
+) Nếu m ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:
∆ = (m + 1)2 – 4.m.( 3m + 10 ) < 0
⟺ m2 + 2m + 1 – 12m2 – 40m < 0
⟺ –11m2 – 38m +1 < 0
Tam thức bậc hai f (m) = –11m2 – 38m +1 có ∆m = (–38)2 – 4.( –11).1 = 1488 suy ra f(m) có hai nghiệm phân biệt:
m1 = và m2 = , a = – 11 < 0 nên f ( m ) < 0 khi và chỉ khi
m < hoặc m >
Vậy m < và m > thoả mãn yêu cầu đề bài.
d) Bất phương trình có a = 2 > 0 nên tập nghiệm là khi và chỉ khi ∆ = ( m + 2 )2 – 4.2.( 2m – 4 ) ≤ 0
⟺ m2 + 4m + 4 – 16m+ 32 < 0
⟺ m2 – 12m + 36 ≤ 0
⟺ ( m – 6 )2 ≤ 0
⟺ m = 6 (vì ( m – 6 )2 ≥ 0 với mọi m ∈ ℝ)
Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
e) Bất phương trình có tập nghiệm là khi và chỉ khi a > 0 và ∆ ≤ 0 mà a = –3 < 0 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu.
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu.
với I được tính bằng nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?
Lời giải:
Cửa hàng có lãi khi và chỉ khi I ( x ) > 0 hay –0,1x2 + 235x – 70000 > 0
Tam thức bậc hai có ∆ = 2352 – 4.(– 0,1).(– 70 000) = 27 225 > 0 nên I(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2000 và x2 = 350, a = –0,1 < 0 nên I ( x ) > 0 khi 350 < x < 2000.
Vậy cửa hàng bán ra từ 351 đến 1999 sản phẩm thì cửa hàng có lãi.
Giải SBT Toán 10 trang 15 Tập 2
với g = 10 m/s2 là gia tốc trọng trường.
a) Tỉnh h0 và v0 biết độ cao của quả bóng sau 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5m.
b) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4 m không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.
Lời giải:
a) Với g = 10 m/s2 là gia tốc trọng trường thì ⇔ h(t) = –5t2 + v0t + h0.
Độ cao của quả bóng sau 0,5 giây là 4,75 m, ta có: 4,75 = –5(0,5)2 + v0.(0,5) + h0 hay 0,5v0 + h0 = 6. (1)
Độ cao của quả bóng sau 1 giây là 5 m, ta có: 5 = –5.12 + v0.1 + h0 hay v0 + h0 = 10. (2)
Từ (1) và (2) ta được:
tức là
Vậy h ( t ) = –5t2 + 8t + 2.
b) Bóng cao trên 4m khi và chỉ khi h (t) = –5t2 + 8t + 2 > 4 hay –5t2 + 8t – 2 > 0
Tam thức bậc hai f ( t ) = –5t2 + 8t – 2 có ∆ = 82 – 4.(– 5).(– 2) = 24 > 0 nên f(t) có hai nghiệm phân biệt t1 = và t2 = , a = –5 < 0 nên f ( t ) > 0 khi và chỉ khi < t < .
Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4m trong:
– ≈ 0,98 (s).
Vậy quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4m trong khoảng ít hơn 0,98 giây.
c) Độ cao của bóng sau l giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m khi và chỉ khi:
2 < h ( 1 ) = –5 + v0 + 2 < 3 tức là 5 < v0 < 6 (m/s).
Vậy vận tốc ném cần nằm trong khoảng từ 5 m/s đến 6 m/s.
với g= 10 m/s2
a) Viết phương trình chuyển động của quả bóng nếu m và v0 = 7m/s.
b) Để ném được quả bóng qua bức tường cao 2,5 m thì người ném phải đứng cách tường bao xa?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.
Lời giải:
a) Thay và v0 = 7 vào phương trình chuyển động ta được:
y = x2 + tan30°.x + 2
y = –0,14x2 + 0,58x + 2
Vậy phương trình chuyển động là y = –0,14x2 + 0,58x + 2.
b) Với x là khoảng cách từ người ném đến tường thì bóng được ném qua tường khi và chỉ khi y ( x ) > 2,5 hay –0,14x2 + 0,58x – 0,5 > 0.
Xét tam thức bậc hai f ( x ) = –0,14x2 + 0,58x – 0,5 có ∆ = 0,582 – 4.(– 0,14).(– 0,5) = 0,0564 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2,92 và x2 = 1,22, a = –0,14 < 0 nên f ( x ) > 0 khi 1,22 < x < 2,92.
Vậy người ném bóng cần phải đứng cách tường một khoảng từ trên 1,22 m đến dưới 2,92 m.
Lời giải:
Gọi x (cm) là chiều rộng hình chữ nhật.
Khi đó chiều dài hình chữ nhật là – x hay 10 – x (cm)
Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đều lớn hơn 0 và chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài, ta có: 0 < x ≤ 10 – x hay 0 < x ≤ 5 (cm) (1)
Diện tích của hình chữ nhật là S = x. ( 10 – x )
Ta có x.( 10 – x ) ≥ 15 khi và chỉ khi x2 + 10x – 15 ≥ 0.
Tam thức bậc hai f ( x ) = x2 + 10x – 15 có ∆ = 102 – 4.1.(– 15) = 160 > 0 hai nghiệm phân biệt x1 = –5 + 2 và x2 = –5 – 2, a = 1 > 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ –5 – 2 hoặc x ≥ –5 + 2.
Kết hợp với điều kiện (1) ta được –5 + 2 ≤ x ≤ 5 hay 1,33 ≤ x ≤ 5.
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 1,33 cm đến 5 cm thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a) Chọn trục hoành là đường thẳng nối hai chân cổng, gốc toạ độ tại một chân cổng, chân cổng còn lại có hoành độ dương, đơn vị là 1 m. Hãy viết phương trình của vòm cổng.
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.
Lời giải:
a) Đặt gốc tọa độ tại một chân cổng như hình vẽ trên.
Vì chiếc cổng có dạng parabol nên phương trình y = ax2 + bx + c của đường viền cổng.
Do một chân cổng có tọa độ ( 0;0 ) nên ta có c = 0 (1).
Khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên chân cổng còn lại có tọa độ ( 4;0 ), ta có 16a + 4b + c = 0 (2)
Cổng có chiều cao 5 m nên tọa độ đỉnh cổng là ( 2; 5 ), ta có: 4a + 2b + c = 5 (3)
Thay (1) vào (2) và (3) ta được hệ phương trình:
Từ đó suy ra a = –1,25; b = 5 và c = 0.
Vậy phương trình của vòm cổng là y = –1,25x2 + 5x
b) Ta xác định các hoành độ x mà tại đó vòm cổng cao hơn thùng hàng bằng cách giải bất phương trình y = –1,25x2 + 5x ≥ 3 hay –1,25x2 + 5x – 3 ≥ 0.
Tam thức bậc hai f ( x ) = –1,25x2 + 5x – 3 có ∆ = 52 – 4.(– 1,25).(– 3) = 10 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 0,74 và x2 = 3,26, a = –1,25 < 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi và chỉ khi 0,74 ≤ x ≤ 3,26.
Vậy chiều rộng tối đa của thùng hàng là 3,26 – 0,74 = 2,52 m.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai
Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Lý thuyết Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:
ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c > 0, với a ≠ 0.
Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.
Ví dụ: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = –2 và x = 3 có phải là nghiệm của bất phương trình đó hay không?
a) 2x2 – 7x – 15 < 0;
b) 3 – 2x2 + x3 > 0;
c) x2 – 4x + 3 ≥ 0.
Hướng dẫn giải
a) 2x2 – 7x – 15 < 0
Bất phương trình trên là bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax2 + bx + c < 0 với a = 2, b = –7, c = –15.
• Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có:
2.(–2)2 – 7.(–2) – 15 < 0
7 < 0. Đây là bất đẳng thức sai.
Do đó x = –2 không là nghiệm của bất phương trình.
• Với x = 3 thay vào bất phương trình ta có:
2.32 – 7.3 – 15 < 0
–18 < 0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Do đó x = 3 là nghiệm của bất phương trình.
b) 3 – 2x2 + x3 > 0
Bất phương trình trên không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có chứa x3.
c) x2 – 4x + 3 ≥ 0.
Bất phương trình trên là bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax2 + bx + c ≥ 0 với a = 1, b = –4, c = 3.
• Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có:
(–2)2 – 4.(–2) + 3 ≥ 0
15 ≥ 0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Do đó x = –2 là nghiệm của bất phương trình.
• Với x = 3 thay vào bất phương trình ta có:
32 – 4.3 + 3 ≥ 0
0 ≥ 0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Do đó x = 3 là nghiệm của bất phương trình.
– Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.
Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a) x2 – 3x + 2 < 0;
b) –2x2 + 3x – 7 ≥ 0.
Hướng dẫn giải
a) x2 – 3x + 2 < 0
Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 3x + 2
Ta có ∆ = (–3)2 – 4.1.2 = 1 > 0
Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = 1 và x2 = 2.
Vì a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
1 |
|
2 |
|
+∞ |
f(x) |
|
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
Dựa vào bảng xét dấu f(x) < 0 x ∈ (1; 2).
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (1; 2).
b) –2x2 + 3x – 7 ≥ 0.
Xét tam thức bậc hai f(x) = –2x2 + 3x – 7
Ta có ∆ = 32 – 4.(–2).(–7) = –47 < 0.
Mặt khác a = –2 < 0
Do đó f(x) < 0 với mọi x.
Khi đó không có giá trị nào của x thỏa mãn f(x) ≥ 0.
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.