Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn

2.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Tỷ số lượng giác của góc nhọn 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Trả lời câu hỏi giữa bài 

a) α=45oACAB=1

b) α=60oACAB=3

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất tam giác cân

b) Sử dụng tính chất tam giác cân và sử dụng định lý Pytago 

Lời giải:
a)

 Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A có B^=45oΔABC vuông cân tại A AB=ACABAC=1

b) 

 Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 3)

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

AD=BD=BC2

Tam giác ABD có: AD=BD,ABD^=60o

ΔABD là tam giác đều

AB=AD=BC2BC=2AB

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

AB2+AC2=BC2AB2+AC2=4AB2AC2=3AB2AC=3ABACAB=3

Lời giải chi tiết

Các tỉ số lượng giác của góc β là:

 Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 4)

sinβ=ABBCcosβ=ACBCtgβ=ABACcotgβ=ACAB

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 5)

Lời giải:

Cách dựng

- Dựng góc xOy bằng 900

- Dựng đoạn OM trên trục Oy sao cho OM=1

- Dựng đường tròn tâm M bán kính bằng 2, đường tròn giao với tia Ox tại N

- Khi đó góc MNO là góc cần dựng

Chứng minh:

Tam giác MON vuông tại O có: MO=1;MN=2

Khi đó:

sinβ=sinMNO^=MOMN=12=0,5

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 6) 

Phương pháp giải:

Sử dụng tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại A nên B^+C^=90 hay α+β=90

+ Các tỉ số lượng giác của góc α là sinα=ACBC;cosα=ABBC tanα=ACAB;cotα=ABAC

+ Các tỉ số lượng giác của góc β là cosβ=ACBC;sinβ=ABBC cotβ=ACAB;tanβ=ABAC

Suy ra các cặp tỉ số bằng nhau là sinα=cosβ;cosα=sinβ;tanα=cotβ;cotα=tanβ

Bài tập ( trang 76, 77 SGK Toán 9)

Phương pháp giải:

+) Vẽ tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài. 

+) Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

sinα=cnh đicnh huyn;         cosα=cnh kcnh huyn;

tanα=cnh đicnh k;             cotα=cnh kcnh đi.

 

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 7)

Lời giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A với B^=34.

Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau:

B1. Vẽ đoạn thẳng AB với độ dài bất kì.

B2. Từ A dựng tia Ax vuông góc với đoạn thẳng AB

B3. Từ B dùng thước đo góc vẽ tia By sao cho góc ABy bằng 34 độ.

B4. Ax và By cắt nhau tại C

B5. Nối các điểm lại với nhau ta được tam giác ABC cần dựng.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 8)

Tỉ số lượng giác của góc B^=34o là:

                  sin34o=sinB=ACBC

                  cos34o=cosB=ABBC

                  tan34o=tanB=ACAB

                  cot34o=tanB=ABAC

Phương pháp giải:

+) Dùng định lí Pytago để tính độ dài cạnh huyền. 

+) Dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác để tính các tỉ số lượng giác của góc B.

sinα=cnh đicnh huyn;         cosα=cnh kcnh huyn;

tanα=cnh đicnh k;             cotα=cnh kcnh đi.

+) Dựa vào định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: " Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotang góc kia" để từ các tỉ số lượng giác của góc B tính tỉ số lượng giác của góc A

Lời giải:

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 9)

Xét ΔABC vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có: 

            AB2=CB2+AC2

        AB2=0,92+1,22 

        AB2=0,81+1,44=2,25

       AB=2,25=1,5m

Vì ΔABC vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

         sinA=cosB=BCAB=1,21,5=45

         cosA=sinB=ACAB=0,91,5=35

        tanA=cotB=BCAC=1,20,9=43

        cotA=tanB=ACBC=0,91,2=34

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

sin60;   cos75;  sin5230;   cot82;   tan80.

Phương pháp giải:

Nếu α và β là hai góc phụ nhau (tức α+β=90oα=90oβ) thì ta có: 

   sinα=cos(90oα)=cosβ;           

   sinβ=cos(90oβ)=cosα;         

   tanα=cot(90oβ)=cotβ;

    tanβ=cot(90oα)=cotα.

Lời giải:

Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

             sin60o=cos(90o60o)=cos30o

             cos75o=sin(90o75o)=sin15o

             sin52o30=cos(90o52o30)=cos37o30

             cot82o=tan(90o82o)=tan8o

             tan80o=cot(90o80o)=cot10o.

Cách khác:

Vì 300+600=900 nên sin600=cos300 

Vì 750+150=900 nên cos750=sin150

Vì 52030+37030=900 nên sin52030=cos37030

Vì 820+80=900 nên cot820=tan80

Vì 800+100=900 nên tan800=cot100

Bài 13 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1:Dựng góc nhọn α , biết:

a) sinα=23

b) cosα=0,6

c) tanα=34

d) cotα=32 

Phương pháp giải:

+) Dựng một tam giác vuông có hai cạnh là m và n (trong đó m, n là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền)

+) Vận dụng định nghĩa các tỷ số lượng giác để tìm ra góc α.

Lời giải:

a) Ta thực hiện các bước sau:

- Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

- Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét ΔOAB vuông tại O,  theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          sinα=sinOBA^=OAAB=23.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 10)

b) Ta có:   cosα=0,6=35

 - Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

- Nối A với B. Góc OAB^=α là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét ΔOAB vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

           cosα=cosOAB^=OAAB=35=0,6.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 11)

c) - Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

   Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

- Nối A với B. Góc OAB^ là góc cần dựng. 

Thật vậy, xét ΔOAB vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          tanα=tanOAB^=OBOA=34.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 12)

d)- Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3

   Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

- Nối A với B. Góc OAB^ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét ΔOAB vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          cotα=cotOAB^=OAOB=32.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 13)

a) tanα=sinαcosα;   cotα=cosαsinα;         tanα.cotα=1

b) sin2α+cos2α=1 

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

sinα=cnh đicnh huyn;         cosα=cnh kcnh huyn;

tanα=cnh đicnh k;             cotα=cnh kcnh đi.

+) Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: ΔABC vuông tại A, khi đó: 

            BC2=AB2+AC2 

Lời giải:

Xét ΔABC vuông tại A, có ACB^=α.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 14)

+) ΔABC, vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

               sinα=ABBC,  cosα=ACBC

              tanα=ABAC,    cotα=ACAB.

* Chứng minh tanα=sinαcosα.

   VP=sinαcosα=ABBC:ACBC=ABBC.BCAC=ABAC=tanα=VT

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh cotα=cosαsinα

   VP=cosαsinα=ACBC:ABBC=ACBC.BCAB=ACAB=cotα=VT

* Chứng minh tanα.cotα=1.

Ta có: VT=tanα.cotα

                   =ABAC.ACAB=1=VP

b) ΔABC vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

BC2=AC2+AB2   (1)

Xét sin2α+cos2α

=(ABBC)2+(ACBC)2=AB2BC2+AC2BC2=BC2BC2=1 

Như vậy sin2α+cos2α=1 (điều phải chứng minh) 

Nhận xét: Ba hệ thức:

tanα=sinαcosα;  cotα=cosαsinα và  sin2α+cos2α=1 là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Phương pháp giải:

+) Nếu B^ và C^ là hai góc phụ nhau, biết cosB, sử dụng công thức: sinC=cosB. Ta tính được sinC

+) Biết sinα, dùng công thức sin2α+cos2α=1 tính được cosα.

+) Dùng công thức  tanα=sinαcosα, biết sinα và cosα tính được tanα.

+) Dùng công thức:tanα.cotα=1, biết tanα tính được cotα.

Lời giải:

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 15)

Xét tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:

sinC>0;  cosC>0;  tanC>0;  cotC>0.

Vì hai góc B và C phụ nhau sinC=cosB=0,8.

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

 sin2C+cos2C=1 cos2C=1sin2C

                                    cos2C=1(0,8)2

                                    cos2C=0,36

                                    cosC=0,36=0,6

Lại có:

tanC=sinCcosC=0,80,6=43;

tanC.cotC=1cotC=1tanC=34.

Nhận xét: Nếu biết  sinα (hay cosα) thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn:

sinα=cnh đicnh huyn

cnh đi=sinα.cnh huyn.

Lời giải:

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 16)

Xét ΔABC vuông tại A có B^=600, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sinB=ACBCsin60o=AC8

AC=8.sin60o=8.32=43.

Vậy cạnh đối diện với góc 60o  là AC=43.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 17)  

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tỷ số lượng giác: tanα=cnh đicnh kcnh đi=tanα.cnh k

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông, tính được cạnh huyền.

Lời giải:

Vẽ lại hình và đặt tên các góc như hình sau: 

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 19)

Cách 1:

Xét tam giác BHA vuông tại H có B^=45oBH=20 nên:

tanB=AHBHtan45o=AH20

AH=20.tan45o=20

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác AHC vuông tại H, ta có:

AC=AH2+HC2=202+212=29

Vậy x=29

Cách 2:

Tam giác ABH vuông tại H có 1 góc bằng 450 nên tam giác ABH vuông cân tại H

AH=BH, mà BH = 20 nên AH = 20

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác AHC vuông tại H, ta có:

AC=AH2+HC2=202+212=29

Vậy x=29

 
Lý thuyết Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn

1. Kiến thức cần nhớ

sinα=ABBC;cosα=ACBC;

tanα=ABAC;cotα=ACAB.

Tính chất 1:

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Tức là: Cho hai góc α,β có α+β=900

Khi đó:

sinα=cosβ;cosα=sinβ; tanα=cotβ;cotα=tanβ.

Tính chất 2:

+ Nếu hai góc nhọn α và β có sinα=sinβ hoặc cosα=cosβ thì α=β

Tính chất 3:

+ Nếu α là một góc nhọn bất kỳ thì

0<sinα<1;0<cosα<1, tanα>0;cotα>0

sin2α+cos2α=1; tanα.cotα=1

tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα;

1+tan2α=1cos2α;1+cot2α=1sin2α

Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 20)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2: Với góc nhọn α,β ta có: sinα<sinβα<β;cosα<cosβα>β;

tanα<tanβα<β;cotα<cotβα>β.

Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu α là một góc nhọn bất kỳ  thì

0<sinα<1;0<cosα<1tanα>0;cotα>0 ,  sin2α+cos2α=1;tanα.cotα=1

tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα;

1+tan2α=1cos2α;1+cot2α=1sin2α

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 21)

Giải Toán 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn  (ảnh 22)

Đánh giá

0

0 đánh giá