a) ${\displaystyle \alpha ={45}^o\iff \frac{AC}{AB}=1}$

b) ${\displaystyle \alpha ={60}^o\iff \frac{AC}{AB}=\sqrt{3}}$

Tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}={45}^o\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại A ${\displaystyle \Rightarrow AB=AC\Rightarrow \frac{AB}{AC}=1}$

b) 

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

${\displaystyle \Rightarrow AD=BD=\frac{BC}{2}}$

Tam giác ABD có: $AD=BD,\widehat{ABD}={60}^o$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD$ là tam giác đều

${\displaystyle \Rightarrow AB=AD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

$\begin{array}{rl}& A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\\ & \iff A{B}^2+A{C}^2=4A{B}^2\\ & \iff A{C}^2=3A{B}^2\Rightarrow AC=\sqrt{3}AB\\ & \iff \frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\end{array}$

Các tỉ số lượng giác của góc $\beta$ là:

$\begin{array}{rl}& \sin \beta =\frac{AB}{BC}\\ & \cos \beta =\frac{AC}{BC}\\ & tg\beta =\frac{AB}{AC}\\ & cotg\beta =\frac{AC}{AB}\end{array}$

Lời giải:

Cách dựng

- Dựng góc $xOy$ bằng ${90}^0$

- Dựng đoạn OM trên trục Oy sao cho OM=1

- Dựng đường tròn tâm M bán kính bằng 2, đường tròn giao với tia Ox tại N

- Khi đó góc MNO là góc cần dựng

Chứng minh:

Tam giác MON vuông tại O có: $MO=1;MN=2$

Khi đó:

${\displaystyle \sin \beta =\sin \widehat{MNO}=\frac{MO}{MN}=\frac{1}{2}=0,5}$

+ Các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$ là $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

+ Các tỉ số lượng giác của góc $\beta$ là $\cos \beta ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};\sin \beta ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ $\cot \beta ={\displaystyle \frac{AC}{AB}};\tan \beta ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

Suy ra các cặp tỉ số bằng nhau là $\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$

Bài tập ( trang 76, 77 SGK Toán 9)

Lời giải:

Vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $\hat{B}={34}^{\circ }$.

Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau:

B1. Vẽ đoạn thẳng $AB$ với độ dài bất kì.

B2. Từ $A$ dựng tia $Ax$ vuông góc với đoạn thẳng $AB$

B3. Từ $B$ dùng thước đo góc vẽ tia $By$ sao cho góc $ABy$ bằng $34$ độ.

B4. $Ax$ và $By$ cắt nhau tại $C$. 

B5. Nối các điểm lại với nhau ta được tam giác $ABC$ cần dựng.

Tỉ số lượng giác của góc $\hat{B}={34}^o$ là:

                  $\sin {34}^o=\sin B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$

                  $\cos {34}^o=\cos B={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$

                  $\tan {34}^o=\tan B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$

                  $\cot {34}^o=\tan B={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

Phương pháp giải:

+) Dùng định lí Pytago để tính độ dài cạnh huyền. 

+) Dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác để tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}};$         $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$;

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}};$             $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}.$

+) Dựa vào định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: " Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotang góc kia" để từ các tỉ số lượng giác của góc $B$ tính tỉ số lượng giác của góc $A$

Lời giải:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $C$, áp dụng định lí Pytago, ta có: 

            $A{B}^2=C{B}^2+A{C}^2$

        $\iff A{B}^2=0,9^2+1,2^2$ 

        $\iff A{B}^2=0,81+1,44=2,25$

       $\iff AB=\sqrt{2,25}=1,5m$

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $C$ nên góc $B$ và $A$ là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

         $\sin A=\cos B={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{1,2}{1,5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

         $\cos A=\sin B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{0,9}{1,5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

        $\tan A=\cot B={\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{1,2}{0,9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

        $\cot A=\tan B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{0,9}{1,2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

$\sin {60}^{\circ }$;   $\cos {75}^{\circ }$;  $\sin {52}^{\circ }{30}^{\prime }$;   $\cot {82}^{\circ }$;   $\tan {80}^{\circ }.$

Phương pháp giải:

Nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau (tức $\alpha +\beta ={90}^o\Rightarrow \alpha ={90}^o-\beta )$ thì ta có: 

   $\sin \alpha =\cos ({90}^o-\alpha )=\cos \beta$;           

   $\sin \beta =\cos ({90}^o-\beta )=\cos \alpha$;         

   $\tan \alpha =\cot ({90}^o-\beta )=\cot \beta$;

    $\tan \beta =\cot ({90}^o-\alpha )=\cot \alpha$.

Lời giải:

Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

             $\sin {60}^o=\cos ({90}^o-{60}^o)=\cos {30}^o$

             $\cos {75}^o=\sin ({90}^o-{75}^o)=\sin {15}^o$

             $\sin {52}^o{30}^{\prime }=\cos ({90}^o-{52}^o{30}^{\prime })=\cos {37}^o{30}^{\prime }$

             $\cot {82}^o=\tan ({90}^o-{82}^o)=\tan 8^o$

             $\tan {80}^o=\cot ({90}^o-{80}^o)=\cot {10}^o$.

Cách khác:

Vì ${30}^0+{60}^0={90}^0$ nên $\sin {60}^0=\cos {30}^0$ 

Vì ${75}^0+{15}^0={90}^0$ nên $\cos {75}^0=\sin {15}^0$

Vì ${52}^0{30}^{\prime }+{37}^0{30}^{\prime }={90}^0$ nên $\sin {52}^0{30}^{\prime }=\cos {37}^0{30}^{\prime }$

Vì ${82}^0+8^0={90}^0$ nên $\cot {82}^0=\tan 8^0$

Vì ${80}^0+{10}^0={90}^0$ nên $\tan {80}^0=\cot {10}^0$

Bài 13 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1:Dựng góc nhọn $\alpha$ , biết:

a) $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};$   $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }};$         $\tan \alpha .\cot \alpha =1$; 

b) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{ACB}=\alpha$.

+) $\mathrm{\Delta }ABC$, vuông tại $A$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

               $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$,  $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$

              $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$,    $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$.

* Chứng minh $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$.

   $VP={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}:{\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}.{\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}=\tan \alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$. 

   $VP={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}:{\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}.{\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}=\cot \alpha =VT$

* Chứng minh $\tan \alpha .\cot \alpha =1$.

Ta có: $VT=\tan \alpha .\cot \alpha$

                   $={\displaystyle \frac{AB}{AC}}.{\displaystyle \frac{AC}{AB}}=1=VP$

b) $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$   (1)

Xét ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$

$={\left({\displaystyle \frac{AB}{BC}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{AC}{BC}}\right)}^2={\displaystyle \frac{A{B}^2}{B{C}^2}}+{\displaystyle \frac{A{C}^2}{B{C}^2}}=\frac{B{C}^2}{B{C}^2}=1$ 

Như vậy ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ (điều phải chứng minh) 

Nhận xét: Ba hệ thức:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$;  $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$ và  ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên góc $C$ nhọn. Vì thế:

$\sin C>0$;  $\cos C>0$;  $\tan C>0$;  $\cot C>0$.

Vì hai góc $B$ và $C$ phụ nhau $\Rightarrow \sin C=\cos B=0,8$.

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

 ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$ $\iff {\cos }^{2}C=1-{\sin }^{2}C$

                                    $\iff {\cos }^{2}C=1-(0,8{)}^2$

                                    $\iff {\cos }^{2}C=0,36$

                                    $\Rightarrow \cos C=\sqrt{0,36}=0,6$

Lại có:

$\tan C={\displaystyle \frac{\sin C}{\cos C}}={\displaystyle \frac{0,8}{0,6}}={\displaystyle \frac{4}{3}};$

$\tan C.\cot C=1\iff \cot C={\displaystyle \frac{1}{\tan C}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Nhận xét: Nếu biết  $\sin \alpha$ (hay $\cos \alpha$) thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B}={60}^0$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}\iff \sin {60}^o={\displaystyle \frac{AC}{8}}$

$\iff AC=8.\sin {60}^o=8.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}.$

Vậy cạnh đối diện với góc ${60}^o$  là $AC=4\sqrt{3}$.

Lời giải:

Vẽ lại hình và đặt tên các góc như hình sau: 

Cách 1:

Xét tam giác $BHA$ vuông tại $H$ có $\hat{B}={45}^o$, $BH=20$ nên:

$\tan B={\displaystyle \frac{AH}{BH}}\iff \tan {45}^o={\displaystyle \frac{AH}{20}}$

$\iff AH=20.\tan {45}^o=20$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{{20}^2+{21}^2}=29$

Vậy $x=29$

Cách 2:

Tam giác ABH vuông tại H có 1 góc bằng ${45}^0$ nên tam giác ABH vuông cân tại H

$\Rightarrow AH=BH$, mà BH = 20 nên AH = 20

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{{20}^2+{21}^2}=29$

Vậy $x=29$

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$.

Tính chất 1:

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Tức là: Cho hai góc $\alpha ,\beta$ có $\alpha +\beta ={90}^0$

Khi đó:

$\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;$ $\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$.

Tính chất 2:

+ Nếu hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ có $\sin \alpha =\sin \beta$ hoặc $\cos \alpha =\cos \beta$ thì $\alpha =\beta$

Tính chất 3:

+ Nếu $\alpha$ là một góc nhọn bất kỳ thì

$0<\sin \alpha <1;0<\cos \alpha <1,$ $\tan \alpha >0;\cot \alpha >0$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;$ $\tan \alpha .\cot \alpha =1$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }};$

$1+{\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }};1+{\cot }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\alpha }}$