a) $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}$

b) $\cos \alpha =0,6$

c) $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}$

d) $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 

Phương pháp giải:

+) Dựng một tam giác vuông có hai cạnh là $m$ và $n$ (trong đó $m,n$ là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền)

+) Vận dụng định nghĩa các tỷ số lượng giác để tìm ra góc $\alpha$.

Lời giải:

a) Ta thực hiện các bước sau:

- Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ bất kỳ sao cho: $OA=2$.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm $A$, bán kính $3$. Cung tròn này cắt $Oy$ tại điểm $B$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $OBA$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$,  theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          $\sin \alpha =\sin \widehat{OBA}={\displaystyle \frac{OA}{AB}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

b) Ta có:   $\cos \alpha =0,6={\displaystyle \frac{3}{5}}$

 - Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ bất kỳ sao cho $OA=3$.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm $A$ bán kính $5$. Cung tròn này cắt tia $Oy$ tại $B$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $\widehat{OAB}=\alpha$ là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

           $\cos \alpha =\cos \widehat{OAB}={\displaystyle \frac{OA}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$.

c) - Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ sao cho $OA=4$.

   Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OB=3$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng. 

Thật vậy, xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          $\tan \alpha =\tan \widehat{OAB}={\displaystyle \frac{OB}{OA}}={\displaystyle \frac{3}{4}}.$

d)- Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ sao cho $OA=3$. 

   Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OB=2$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          $\cot \alpha =\cot \widehat{OAB}={\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{3}{2}}.$