Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau: 

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Lời giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại B có $\hat{B}={90}^0,\hat{A}={40}^0$ 

Đặt $AB=c,AC=b,BC=a.$

Ta có:   

$\sin {40}^{\circ }=\sin \hat{A}={\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$

$\cos {40}^0=\cos \hat{A}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{c}{b}}$

${\displaystyle tg{40}^0=tg\hat{A}=\frac{BC}{AB}={\displaystyle \frac{a}{c}}}$

$cotg{40}^{\circ }=cotg\hat{A}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Lời giải:

Tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ }$.  

Ta có: $\sin \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{BC}};\sin \hat{C}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{\sin \hat{B}}{\sin \hat{C}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{AC}{BC}}}{{\displaystyle \frac{AB}{BC}}}}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}.{\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ },\hat{B}={30}^{\circ },BC=8cm$. 

Ta có: $\cos \hat{B}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ 

Suy ra: $AB=BC.\cos \hat{B}=8.\cos {30}^{\circ }$$=8.0,866\approx 6,928\left(cm\right)$

Biết $tg\alpha ={\displaystyle \frac{5}{12}}.$ Hãy tính:

a) Cạnh $AC$;

b) Cạnh $BC$.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$ 

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ },\hat{B}=\alpha .$ 

a) Ta có: $\tan \alpha =\tan \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$

Suy ra: $AC=AB.\tan \hat{B}=AB.\tan \alpha$$=6.{\displaystyle \frac{5}{12}}=2,5\left(cm\right)$

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$=6^2+(2,5{)}^2=42,25$ 

Suy ra: $BC=\sqrt{42,25}=6,5\left(cm\right).$

$tg{47}^{\circ }\approx 1,072;\cos {38}^{\circ }\approx 0,788.$

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau: 

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Lời giải:

a) Hình a 

Ta có: $\tan {47}^{\circ }={\displaystyle \frac{63}{x}}.$ Suy ra: $x={\displaystyle \frac{63}{\tan {47}^{\circ }}}\approx {\displaystyle \frac{63}{1,072}}\approx 58,769$

b) Hình b

Ta có: $\cos {38}^{\circ }={\displaystyle \frac{16}{x}}.$ Suy ra: $x={\displaystyle \frac{16}{\cos {38}^{\circ }}}\approx {\displaystyle \frac{16}{0,788}}\approx 20,305$ 

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia và tan góc này bằng cotan góc kia.  

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=100$ 

Suy ra: $BC=10$(cm)

Ta có:   

$\sin \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{8}{10}}=0,8$

$\cos \hat{B}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{6}{10}}=0,6$

$\tan \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{8}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\cot \hat{B}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B}+\hat{C}={90}^0$

Suy ra:

$\sin \hat{C}=\cos \hat{B}=0,6$

$\cos \hat{C}=\sin \hat{B}=0,8$

$\tan \hat{C}=\cot \hat{B}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$\cot \hat{C}=\tan \hat{B}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

a)   $AB=13$;    $BH=5$.

b)   $BH=3$;      $CH=4$. 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$  

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $\cos \hat{B}={\displaystyle \frac{BH}{AB}}={\displaystyle \frac{5}{13}}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên: $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$

Suy ra: $\sin \hat{C}=c\mathrm{o}\mathrm{s}\hat{B}={\displaystyle \frac{5}{13}}\approx 0,3864.$

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$$\Rightarrow A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$$={13}^2-5^2=144$

Suy ra: $AH=12$

Ta có: $\sin B={\displaystyle \frac{AH}{AB}}={\displaystyle \frac{12}{13}}\approx 0,9231$

b) Ta có:

$BC=BH+HC=3+4=7$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{3.7}=\sqrt{21}$ 

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=CH.BC\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{CH.BC}\\ & =\sqrt{4.7}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\end{array}$

Suy ra: $\sin \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{7}}\approx 0,7559$

$\sin \hat{C}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}\approx 0,6547$ 

$\sin {75}^{\circ },\cos {53}^{\circ },\sin {47}^{\circ }{20}^{\prime },$$tg{62}^{\circ },\cot g{82}^{\circ }{45}^{\prime }.$   

Phương pháp giải:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$ 

Lời giải:

Vì ${75}^{\circ }+{15}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $\sin {75}^{\circ }=\cos {15}^{\circ }$

Vì ${53}^{\circ }+{37}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $\cos {53}^{\circ }=\sin {37}^{\circ }$

Vì ${47}^{\circ }{20}^{\prime }+{42}^{\circ }{40}^{\prime }={90}^{\circ }$ nên $\sin {47}^{\circ }{20}^{\prime }=\cos {42}^{\circ }{40}^{\prime }$

Vì ${62}^{\circ }+{28}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $tg{62}^{\circ }=\cot {28}^{\circ }$ 

Vì ${82}^{\circ }{45}^{\prime }+7^{\circ }{15}^{\prime }={90}^{\circ }$ nên $\cot {82}^{\circ }{45}^{\prime }=tg{7}^{\circ }{15}^{\prime }$

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau: 

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Lời giải:

Tam giác $MNQ$ vuông tại $Q$ nên ta có:

$\cot g\hat{N}={\displaystyle \frac{NQ}{MQ}}={\displaystyle \frac{3}{MQ}}$

Tam giác $MPQ$ vuông tại $Q$ nên ta có:

$\cot g\hat{P}={\displaystyle \frac{PQ}{MQ}}={\displaystyle \frac{6}{MQ}}$ 

Ta có: ${\displaystyle \frac{6}{MQ}}>{\displaystyle \frac{3}{MQ}}$ nên $\cot g\hat{P}>\cot g\hat{N}$

${\displaystyle \frac{\cot g\hat{P}}{\cot g\hat{N}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{6}{MQ}}}{{\displaystyle \frac{3}{MQ}}}}$ = ${\displaystyle \frac{6}{MQ}}.{\displaystyle \frac{MQ}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{6}{3}}=2$

Vậy $\cot g\hat{P}=2\cot g\hat{N}.$

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau: 

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$  

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ },\hat{C}={60}^{\circ },AC=3$.

Ta có: $\cos \hat{C}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$ 

$\Rightarrow BC={\displaystyle \frac{AC}{\cos \hat{C}}}={\displaystyle \frac{AC}{\cos {60}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=6$

$\sin {60}^{\circ }=\sin \hat{C}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$

Suy ra: $AB=BC.\sin {60}^{\circ }=6.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=3\sqrt{3}.$ 

a)   Tính diện tích tam giác $ABD$; 

b)   Tính $AC$, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:

$\sin C={\displaystyle \frac{3}{5}},\cos C={\displaystyle \frac{4}{5}},tgC={\displaystyle \frac{3}{4}}.$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng: Công thức tính diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$ là $S={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AC={\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC.$

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính toán.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABD vuông tại D nên ta có: 

$S_{\mathrm{\Delta }ABD}={\displaystyle \frac{1}{2}}.BD.AD={\displaystyle \frac{1}{2}}.6.5=15$ (đvdt)

b) Xét tam giác BCD vuông, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có: $\tan \hat{C}={\displaystyle \frac{BD}{DC}}$

Theo giả thiết: $\tan \hat{C}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow DC={\displaystyle \frac{4}{3}}BD$$={\displaystyle \frac{4.6}{3}}=8$ 

Suy ra: $AC=AD+DC=5+8=13.$

a sử dụng các kiến thức sau:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1$

$tg\alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

$tg\alpha .\cot g\alpha =1.$

Lời giải:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Suy ra: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-(0,8{)}^2$$=1-0,64=0,36$

Vì $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\sqrt{0,36}=0,6$  

Suy ra: $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{0,6}{0,8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$

$\cot \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}={\displaystyle \frac{1}{0,75}}\approx 1,3333$

Hãy tính:

a)   Giá trị của $tg\widehat{BAC}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư);

b)   Độ dài của cạnh $AC$.  

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}.$ 

Định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A.  

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

Lời giải:

a) Vì tam giác $ACH$ vuông tại $H$ nên ta có:

$tg\widehat{HAC}={\displaystyle \frac{CH}{AH}}$$={\displaystyle \frac{9-1}{7-1}}={\displaystyle \frac{8}{6}}\approx 1,3333$ 

Mà $A,B,H$ thẳng hàng nên suy ra:

$tg\widehat{BAC}=tg\widehat{HAC}\approx 1,3333$ 

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ACH$, ta có: 

$A{C}^2=C{H}^2+A{H}^2$ 

Suy ra: $AC=\sqrt{C{H}^2+A{H}^2}$$=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$

Phương pháp giải:

Sử dụng:  $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$  

Lời giải:

Gọi tên như hình vẽ. Kẻ chiều cao $AH$

Xét tam giác $ACH$ ta có: 

$\sin {30}^0={\displaystyle \frac{AH}{AC}}\Rightarrow AH=x.\sin {30}^{\circ }$  (1)

Xét tam giác $ABH$ ta có:

$\sin {80}^0={\displaystyle \frac{AH}{AB}}\Rightarrow AH=4.\sin {80}^{\circ }$  (2)

Từ (1) và (2) : $x.\sin {30}^{\circ }=4.\sin {80}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Sử dụng:  $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$   

Lời giải:

Kẻ $MH\mathrm{\perp }NL$

Xét tam giác vuông $NMH$ ta có: $\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{MH}{MN}}$$\Rightarrow MH=\sin {30}^{\circ }.MN=\sin {30}^{\circ }.2,8=1,4$

Xét tam giác vuông $LMH$ ta có: $\sin L={\displaystyle \frac{MH}{ML}}={\displaystyle \frac{1,4}{4,2}}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,3333.$

Bài tập bổ sung (trang 109 SBT Toán 9)

(A) $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{b}}$; 

(B) $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}$;

(C) $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b^{\prime }}{b}}$;

(D) $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{h}{b}}.$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng:  $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ (hình vẽ)

Lời giải:

Đặt tên hình như hình dưới đây: 

Xét tam giác vuông $AHC$:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AH}{AC}}={\displaystyle \frac{h}{b}}.$

Vậy chọn đáp án (D). 

(A) $cos\alpha ={\displaystyle \frac{a}{b}};$                      (B) $cos\alpha ={\displaystyle \frac{a}{c}}$;

(C) $cos\alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}$;                      (D) $cos\alpha ={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}.$

Lời giải:

Xét tam giác vuông $ABC$: 

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{b}{c}}.$ 

Vậy chọn đáp án (C).

(A) $tg\alpha ={\displaystyle \frac{b}{a}}$;                         (B) $tg\alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}$ ;

(C) $tg\alpha ={\displaystyle \frac{b}{h}}$;                         (D) $tg\alpha ={\displaystyle \frac{h}{b^{\prime }}}$.

Lời giải:

Xét tam giác vuông $AHC$: 

$tg\alpha ={\displaystyle \frac{AH}{HC}}={\displaystyle \frac{h}{b^{\prime }}}.$

Vậy chọn đáp án (D).

(A) $\cot g\alpha ={\displaystyle \frac{b}{a}}$;                        (B) $\cot g\alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}$;

(C) $\cot g\alpha ={\displaystyle \frac{a}{c}}$;                         (D) $\cot g\alpha ={\displaystyle \frac{h}{b}}.$

Lời giải:

Xét tam giác vuông $ABC$:

$cotg\alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{b}{a}}.$

Vậy chọn đáp án (A).