Bài 4.13 trang 58 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

5.1 K

Với giải Bài 4.13 trang 58 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 9: Tích của một vecto với một số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 4.13 trang 58 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Phương pháp giải:

Nhắc lại: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Cách 1: Nhận xét về phương chiều, độ lớn của hai vecto $\vec{K A}$ và $\vec{K B}$ , suy ra vị trí điểm K.

Cách 2: Biểu diễn vecto $\vec{K A}$ hoặc $\vec{K B}$ ) theo vecto $\vec{A B}$ .

Biểu diễn vecto $\vec{O K}$ bằng cách chèn điểm: $\vec{O A} = \vec{O K} + \vec{K A}; \vec{O B} = \vec{O K} + \vec{K B} .$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

$\Leftrightarrow \vec{K A} = - 2 \vec{K B}$

Suy ra vecto $\vec{K A}$ và vecto $\vec{K B}$ cùng phương, ngược chiều và $K A = 2. K B$

$\Rightarrow K, A, B$ thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: $K A = 2. K B$

Cách 2:

Ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\vec{K B} + \vec{B A}) + 2 \vec{K B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 3. \vec{K B} + \vec{B A} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 3. \vec{K B} = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow \vec{K B} = \frac{1}{3} \vec{A B} \end{array}$

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho $K B = \frac{1}{3} A B$ .

Để $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O K} = \frac{1}{3} (\vec{O K} + \vec{K A}) + \frac{2}{3} (\vec{O K} + \vec{K B}) \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = (\frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{O K}) + (\frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{K B}) \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = \vec{O K} + \frac{1}{3} (\vec{K A} + 2 \vec{K B}) \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = \vec{O K} + \frac{1}{3} . \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = \vec{O K} . \end{array}$

Hiển nhiên đúng với mọi điểm O.

Vậy với mọi điểm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Chú ý khi giải:

Với những biểu thức đơn giản (chỉ có 3 điểm) thì từ giải thiết ta có thể suy ra ngay phương, chiều, độ dài của chúng để xác định điểm M.

Với các biểu thức phức tạp hơn (có nhiều hơn 3 điểm) thì nên sử dụng phương pháp như trên: quy về một vecto chưa biết, được biểu diễn qua các vecto đã biết.

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho $\vec{a}$ và điểm O không thuộc giá của $\vec{a}$ . Xác định hai điểm M và N sao cho $\vec{O M} = 3 \vec{a}, \vec{O N} = - 4 \vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Tích của một vectơ với một số

Vẽ đường thẳng d đi qua O và song song với giá của $\vec{a}$ .

Trên d lấy điểm M sao cho OM= 3| $\vec{a}$ |, $\vec{O M}$ và $\vec{a}$ cùng hướng khi đó $\vec{O M} = 3 \vec{a}$ .

Trên d lấy điểm N sao cho ON = 4| $\vec{a}$ |, $\vec{O N}$ và $\vec{a}$ ngược hướng, khi đó $\vec{O N} = - 4 \vec{a}$ .

Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ $\vec{A M}$ theo hai vectơ $\vec{u} = \vec{A B}, \vec{v} = \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B C}$

= $\vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

Vậy $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{2}{3} \vec{v}$ .

Bài 3: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức: $\vec{B C} + \vec{M A} = \vec{0}, \vec{A B} - \vec{N A} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$ . Chứng minh MN // AC.

Hướng dẫn giải

Vì $\vec{B C} + \vec{M A} = \vec{0}, \vec{A B} - \vec{N A} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

Do đó ta có: $\vec{B C} + \vec{M A} + \vec{A B} - \vec{N A} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

Hay $(\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{M A} + \vec{A N}) - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{A C} + \vec{M N} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{M N} = 2 \vec{A C}$

Vậy $\vec{M N}$ và $\vec{A C}$ cùng phương.

Từ giả thiết $\vec{B C} + \vec{M A} = \vec{0}$ suy ra $\vec{B C} = \vec{A M}$ , mà A, B, C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B, C, M là 4 đỉnh của một hình bình hành.