Trả lời nhanh
Bài 14 có hai kết quả cần nhớ. Trường hợp c.g.c: hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. Trường hợp g.c.g: một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. Chữ “xen giữa” và “kề” là chỗ dễ sai nhất.
Kiến thức trọng tâm của bài 14
Ở bài trước, em đã biết hai tam giác bằng nhau khi ba cạnh bằng ba cạnh (c.c.c). Bài này cho thêm hai “lối tắt”: không cần đủ 6 yếu tố (3 cạnh, 3 góc), chỉ cần đúng 3 yếu tố được chọn khéo là đủ kết luận.
| Trường hợp | Ba yếu tố cần có | Điều kiện đi kèm |
|---|---|---|
| Cạnh – góc – cạnh (c.g.c) | 2 cạnh và 1 góc | Góc phải nằm xen giữa hai cạnh đó |
| Góc – cạnh – góc (g.c.g) | 1 cạnh và 2 góc | Cạnh phải là cạnh chung của hai góc (hai góc kề cạnh đó) |
Hệ quả của g.c.g: nếu một cạnh, một góc kề và góc đối diện của tam giác này bằng ba yếu tố tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác vẫn bằng nhau. Lý do là tổng ba góc bằng 180° nên góc thứ hai kề cạnh ấy cũng bằng nhau, và ta quay về đúng g.c.g.
Giải phần 1: Trường hợp c.g.c (trang 70–71)
HĐ 1 và HĐ 2 trang 70
Vẽ góc xAy = 60°, đặt AB = 4 cm trên Ax, AC = 3 cm trên Ay rồi nối B với C. Đo bằng thước, ta được BC ≈ 3,6 cm (tính bằng định lý hàm cos sẽ ra √13 ≈ 3,606 cm, khớp với số đo).
Vẽ thêm tam giác A’B’C’ với cùng góc 60° và hai cạnh 4 cm, 3 cm, ta thấy B’C’ cũng ≈ 3,6 cm. Vậy hai tam giác có ba cặp cạnh bằng nhau nên bằng nhau theo c.c.c. Ý nghĩa của hoạt động: chỉ cần biết hai cạnh và góc xen giữa là đã “khoá” được cạnh thứ ba, nên hình dạng tam giác hoàn toàn xác định. Ai vẽ cũng ra một tam giác như nhau. Xem lời giải chi tiết ở: HĐ 1 trang 70 và HĐ 2 trang 70.
Câu hỏi trang 71 (Hình 4.29)
Ta so sánh từng cặp: tam giác ABC và MNP có AB = MN, góc BAC = góc NMP, AC = MP. Góc A nằm giữa AB và AC, góc M nằm giữa MN và MP, nên ΔABC = ΔMNP (c.g.c). Cách làm: với mỗi tam giác, tìm hai cạnh có đánh dấu, kiểm tra góc đánh dấu có kẹp giữa hai cạnh đó không. Lời giải đầy đủ: Câu hỏi trang 71.
Luyện tập 1 trang 71 (Hình 4.31)
Ở tam giác MNP, góc N = 50° và góc P = 70° nên góc M = 180° − 50° − 70° = 60°. Đây là bước “tìm thêm yếu tố bị ẩn”: đề không cho sẵn góc M, em phải tự tính bằng tổng ba góc. Sau đó đối chiếu với ΔABC: AB = MN, góc A = góc M = 60°, AC = MP, nên ΔABC = ΔMNP (c.g.c). Xem thêm: Luyện tập 1 trang 71.
Vận dụng trang 71 (Hình 4.32)
Giả thiết: góc OAB = góc ODC, OA = OD, AB = CD; bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó.
- a) Chứng minh AC = DB. Vì AB = CD nên cộng thêm đoạn BC vào hai vế: AB + BC = CD + BC, tức AC = DB.
- b) Chứng minh ΔOAC = ΔODB. Hai tam giác có OA = OD, góc OAC = góc ODB (chính là góc OAB và góc ODC vì B nằm trên AC, C nằm trên DB), AC = DB (câu a). Góc A nằm giữa OA và AC, góc D nằm giữa OD và DB, nên ΔOAC = ΔODB (c.g.c).
Mẹo: câu a thường là “cầu nối” để có cặp cạnh thứ hai cho câu b. Lời giải gốc: Vận dụng trang 71.
Giải phần 2: Trường hợp g.c.g (trang 72–73)
HĐ 3 và HĐ 4 trang 72
Vẽ BC = 3 cm, góc xBC = 80°, góc yCB = 40°, hai tia cắt nhau tại A. Đo được AB ≈ 2,2 cm và AC ≈ 3,4 cm. Tam giác A’B’C’ vẽ với B’C’ = 3 cm, góc B’ = 80°, góc C’ = 40° cho các cạnh còn lại cũng xấp xỉ như vậy. Kết luận: hai tam giác bằng nhau. Một cạnh cùng hai góc kề đã đủ xác định tam giác, vì hai tia xuất phát từ hai đầu đoạn BC chỉ cắt nhau ở một điểm duy nhất. Xem: HĐ 3, HĐ 4 và Câu hỏi trang 72.
Luyện tập 2 trang 73 (Hình 4.37)
Hai tam giác ABD và CBD có chung cạnh BD. Theo hình vẽ, hai góc kề cạnh BD là góc ABD, góc ADB ở tam giác thứ nhất và góc CBD, góc CDB ở tam giác thứ hai, được đánh dấu bằng nhau từng đôi một. Vậy ΔABD = ΔCBD (g.c.g). Điểm mấu chốt là BD chung: em luôn viết “BD là cạnh chung” trong bài trình bày. Lời giải: Luyện tập 2 trang 73.
Thử thách nhỏ trang 73
Bạn Lan nói đúng. Giả sử hai tam giác có một cạnh, một góc kề cạnh đó và góc đối diện bằng nhau từng đôi. Vì tổng ba góc mỗi tam giác đều 180°, góc còn lại (cũng kề cạnh đó) bằng nhau. Khi ấy hai tam giác có một cạnh bằng nhau và hai góc kề bằng nhau, tức g.c.g. Xem: Thử thách nhỏ trang 73.
Bài tập cuối bài (4.12 – 4.15)
Bài 4.12
Mỗi hình có sẵn các kí hiệu bằng nhau. Em làm theo ba bước: (1) liệt kê các yếu tố đã đánh dấu; (2) tìm yếu tố chung hoặc đối đỉnh còn thiếu; (3) đối chiếu với c.g.c hoặc g.c.g. Lời giải theo từng hình: Bài 4.12.
Bài 4.13 (AC và BD cắt nhau tại O, OA = OC, OB = OD)
Xét ΔAOB và ΔCOD: OA = OC, OB = OD, góc AOB = góc COD (hai góc đối đỉnh). Vậy ΔAOB = ΔCOD (c.g.c), suy ra AB = CD. Tương tự, ΔAOD = ΔCOB (c.g.c) cho AD = CB. Các ý hỏi chi tiết của đề, xem Bài 4.13.
Bài 4.14
Chứng minh ΔADE = ΔBCE dựa vào các kí hiệu của Hình 4.41. Mẹo: nếu hai tam giác có một cặp góc đối đỉnh tại E, hãy tìm thêm hai yếu tố cùng “kẹp” góc đó (hai cạnh để dùng c.g.c) hoặc hai góc kề (để dùng g.c.g). Lời giải: Bài 4.14.
Bài 4.15 (AB // CD, AB = CD, E là giao điểm của AD và BC)
Xét ΔEAB và ΔEDC: AB = DC (giả thiết); vì AB // CD nên góc EAB = góc EDC và góc EBA = góc ECD (các cặp góc so le trong). Vậy ΔEAB = ΔEDC (g.c.g), suy ra EA = ED, EB = EC, tức E là trung điểm của AD và của BC. Lưu ý: “song song” được dùng để có góc so le trong bằng nhau. Xem: Bài 4.15.
Cách trình bày một bài chứng minh tam giác bằng nhau
- Chọn hai tam giác cần chứng minh bằng nhau, viết đỉnh theo thứ tự tương ứng.
- Liệt kê ba cặp yếu tố bằng nhau, mỗi dòng ghi lý do (giả thiết, cạnh chung, đối đỉnh, so le trong…).
- Kết luận: “Do đó ΔABC = ΔDEF (c.g.c)” hoặc “(g.c.g)”.
- Suy ra các cạnh, góc tương ứng bằng nhau để trả lời câu hỏi còn lại.
Lỗi sai thường gặp
- Góc không xen giữa. Hai cạnh và một góc không kẹp giữa hai cạnh đó (c.c.g) không đủ để kết luận bằng nhau. Ví dụ: có thể dựng hai tam giác khác nhau cùng có AB = 5, AC = 4 và góc B = 40°.
- Cạnh không phải cạnh chung của hai góc. Với g.c.g, cạnh phải nằm giữa hai góc. Nếu cạnh nằm ngoài, em dùng tổng ba góc để tính góc còn lại trước rồi mới kết luận.
- Viết sai thứ tự đỉnh. ΔABC = ΔMNP nghĩa là A ứng M, B ứng N, C ứng P. Viết lệch sẽ suy ra sai cặp cạnh, cặp góc.
- Dùng điều cần chứng minh làm giả thiết khi gặp trung điểm hoặc phân giác.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh AB = CD và AB // CD.
Gợi ý đáp án: ΔAMB và ΔDMC có MA = MD, góc AMB = góc DMC (đối đỉnh), MB = MC. Vậy ΔAMB = ΔDMC (c.g.c). Suy ra AB = DC và góc ABM = góc DCM; hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Bài 2. Cho góc xOy, tia phân giác Oz. Lấy A trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB; M là điểm bất kì trên Oz. Chứng minh MA = MB.
Gợi ý đáp án: ΔOAM và ΔOBM có OA = OB, góc AOM = góc BOM (Oz là phân giác), OM chung. Vậy ΔOAM = ΔOBM (c.g.c), suy ra MA = MB.
Bài 3. Tam giác ABC và DEF có góc A = góc D = 70°, góc B = góc E = 50°, BC = EF = 5 cm. Hai tam giác có bằng nhau không?
Gợi ý đáp án: Góc C = 180° − 70° − 50° = 60°, góc F = 60° nên góc C = góc F. Cạnh BC nằm giữa hai góc B và C, cạnh EF nằm giữa hai góc E và F. Do đó ΔABC = ΔDEF (g.c.g).
Tài liệu học cùng bài 14
- Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác
- Sách bài tập Toán 7 Bài 14
- Vở thực hành Toán 7 Bài 14
- 20 câu trắc nghiệm Bài 14 có đáp án
- Luyện tập chung trang 68 và Luyện tập chung trang 74
- Bài kế tiếp: Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 đầy đủ, chi tiết; Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2: mục lục đầy đủ 9 chương; Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT.
Câu hỏi thường gặp
Trường hợp c.g.c của hai tam giác phát biểu thế nào?
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Trường hợp g.c.g khác c.g.c ở điểm nào?
c.g.c cần hai cạnh và góc xen giữa, còn g.c.g cần một cạnh và hai góc kề cạnh đó. Cả hai đều chỉ cần đủ ba yếu tố đúng vị trí.
Hai cạnh và một góc bằng nhau có đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau không?
Chưa chắc. Chỉ khi góc đó nằm xen giữa hai cạnh (c.g.c) mới đủ. Trường hợp góc không xen giữa thì có thể vẽ được hai tam giác khác nhau.
Khi nào dùng hệ quả của g.c.g (cạnh, góc kề, góc đối)?
Khi cạnh đã cho không nằm giữa hai góc bằng nhau. Em tính góc còn lại bằng tổng ba góc 180° rồi áp dụng g.c.g.