Bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 có lời giải
Lớp 7ToánCánh Diều

15 bài tập Đại lượng tỉ lệ nghịch Toán 7 có đáp án, lời giải chi tiết

Trả lời nhanh

Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch khi x·y = a (a là hằng số khác 0). Muốn giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, em làm 3 bước: (1) gọi ẩn và xác định hai đại lượng nào tỉ lệ nghịch, (2) lập đẳng thức x1y1 = x2y2 hoặc ax = by = cz = k, (3) tính rồi thử lại. Dưới đây có 15 bài mẫu giải chi tiết, chia theo dạng.

1. Kiến thức cần nhớ trước khi làm bài

  • Định nghĩa: Nếu y = a/x hay xy = a (a ≠ 0) thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số a.
  • Tính chất 1: Tích hai giá trị tương ứng luôn không đổi: x1y1 = x2y2 = x3y3 = … = a.
  • Tính chất 2: Tỉ số hai giá trị của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x1/x2 = y2/y1.
  • Chia tỉ lệ nghịch: x, y, z tỉ lệ nghịch với m, n, p nghĩa là mx = ny = pz, tương đương x, y, z tỉ lệ thuận với 1/m, 1/n, 1/p.

Muốn xem lại lý thuyết đầy đủ, em đọc bài Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch.

Mẹo nhận biết nhanh trong bài toán thực tế

Hãy tự hỏi: “Cái gì giữ nguyên?”. Đại lượng giữ nguyên chính là tích, cũng chính là hệ số a.

Đại lượng giữ nguyên (tích) Hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Quãng đường Vận tốc và thời gian
Khối lượng công việc Số người (máy) và số ngày làm
Số tiền mang theo Giá một đơn vị hàng và số lượng mua được
Lượng thức ăn dự trữ Số con vật và số ngày ăn
Số răng “đi qua” chỗ ăn khớp Số răng bánh xe và số vòng quay

2. Bài tập trắc nghiệm (6 câu)

Câu 1

Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi x = −4 thì y = 9. Hệ số tỉ lệ là:

A. 36    B. −36    C. 5    D. −13

Đáp án B. a = xy = (−4)·9 = −36. Phương án A sai dấu; C và D là kết quả khi lấy tổng hoặc hiệu thay cho tích. Đó là lỗi nhầm với đại lượng tỉ lệ thuận hoặc làm ẩu.

Câu 2

y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 15. Khi x = −5 thì y bằng:

A. 3    B. −75    C. −3    D. 10

Đáp án C. y = 15/x = 15/(−5) = −3. Phương án B là lấy 15·(−5), tức là làm theo công thức tỉ lệ thuận y = ax.

Câu 3

Bảng nào dưới đây cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch?

  • A. x: 1; 2; 3 và y: 12; 6; 4
  • B. x: 1; 2; 3 và y: 4; 8; 12
  • C. x: 1; 2; 3 và y: 12; 10; 8
  • D. x: 1; 2; 3 và y: 6; 3; 1

Đáp án A. Các tích 1·12 = 2·6 = 3·4 = 12 đều bằng nhau. Bảng B có y/x không đổi nên là tỉ lệ thuận. Bảng C có y giảm đều 2 đơn vị, các tích là 12; 20; 24. Bảng D có tích 6; 6; 3, không bằng nhau. Lưu ý: “x tăng mà y giảm” chưa đủ để kết luận tỉ lệ nghịch, em phải kiểm tra tích.

Câu 4

8 công nhân xây xong một bức tường trong 10 ngày. Nếu có 20 công nhân (cùng năng suất) thì xây xong bức tường đó trong:

A. 25 ngày    B. 4 ngày    C. 16 ngày    D. 5 ngày

Đáp án B. Số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch nên 8·10 = 20·t, suy ra t = 4. Phương án A sai vì tính theo kiểu tỉ lệ thuận (nhiều người hơn lại làm lâu hơn là vô lí).

Câu 5

Với cùng một số tiền, trước đây bác An mua được 10 lít dầu, nay giá tăng nên chỉ mua được 8 lít. Giá dầu đã tăng:

A. 20%    B. 80%    C. 25%    D. 125%

Đáp án C. Gọi giá cũ là x, giá mới là y. Số tiền không đổi nên 10x = 8y, suy ra y = 1,25x = 125%·x. Giá tăng 125% − 100% = 25%. Phương án A là lỗi hay gặp nhất: lấy (10 − 8)/10 = 20%, đó là mức giảm của số lít, không phải mức tăng của giá. Phương án D là giá mới so với giá cũ, chưa trừ 100%.

Câu 6

y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a, x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số b. Khi đó:

A. y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số ab
B. y tỉ lệ thuận với z theo hệ số a/b
C. y tỉ lệ thuận với z theo hệ số ab
D. y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số a/b

Đáp án B. Ta có y = a/x và x = b/z nên y = a : (b/z) = (a/b)·z. Mẹo nhớ: “nghịch của nghịch là thuận”, giống như hai lần lấy nghịch đảo thì về số ban đầu.

Muốn luyện thêm dạng trắc nghiệm, em làm bộ 20 câu trắc nghiệm Đại lượng tỉ lệ nghịch.

3. Bài tập tự luận (9 bài)

Dạng 1: Tìm hệ số tỉ lệ, biểu diễn và tính giá trị

Bài 7. Cho x và y tỉ lệ nghịch, khi x = 6 thì y = −4.
a) Tìm hệ số tỉ lệ. b) Biểu diễn y theo x. c) Tính y khi x = −8; tính x khi y = 12.

Lời giải.

  1. a = xy = 6·(−4) = −24.
  2. y = −24/x.
  3. Khi x = −8: y = −24/(−8) = 3. Khi y = 12: x = −24/12 = −2.

Bài 8. Cho x và y tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào bảng:

x 2 3 −4 6 ?
y 9 ? ? ? −1,5

Lời giải. Cột đầu cho đủ cả x và y nên a = 2·9 = 18. Từ đó:

  • x = 3 thì y = 18 : 3 = 6;
  • x = −4 thì y = 18 : (−4) = −4,5;
  • x = 6 thì y = 18 : 6 = 3;
  • y = −1,5 thì x = 18 : (−1,5) = −12.

Kinh nghiệm: Trong bài điền bảng, luôn tìm cột có đủ hai giá trị để tính a trước.

Bài 9. Cho x và y tỉ lệ nghịch. Biết x1 = 2, x2 = 5 và y1 − y2 = 9. Tìm y1, y2.

Lời giải. Từ x1y1 = x2y2 ta có 2y1 = 5y2, suy ra y1/5 = y2/2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

y1/5 = y2/2 = (y1 − y2)/(5 − 2) = 9/3 = 3.

Vậy y1 = 15, y2 = 6. Thử lại: 2·15 = 5·6 = 30, đúng.

Dạng 2: Bài toán thực tế hai đại lượng

Bài 10. Một ô tô đi từ A đến B hết 5 giờ với vận tốc 48 km/h. Muốn đi hết 4 giờ thì ô tô phải đi với vận tốc bao nhiêu?

Lời giải. Gọi v (km/h) là vận tốc cần tìm. Trên cùng quãng đường AB, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch nên 48·5 = v·4, suy ra v = 240 : 4 = 60. Vậy ô tô cần đi với vận tốc 60 km/h.

Bài 11. Bánh răng A có 60 răng, mỗi phút quay 30 vòng, ăn khớp với bánh răng B có 40 răng. Mỗi phút bánh B quay bao nhiêu vòng?

Lời giải. Trong một phút, số răng đi qua chỗ ăn khớp của hai bánh bằng nhau, nên số răng và số vòng quay tỉ lệ nghịch. Gọi n là số vòng của bánh B: 60·30 = 40·n, suy ra n = 1800 : 40 = 45. Bánh B quay 45 vòng/phút. Kết quả hợp lí: bánh nhỏ hơn thì quay nhanh hơn.

Dạng 3: Bài toán có thay đổi giữa chừng

Đây là dạng nhiều bạn sai nhất. Chìa khoá: chỉ áp dụng tỉ lệ nghịch cho phần công việc (hoặc phần thức ăn) còn lại.

Bài 12. Một đội có 12 máy cày dự định cày xong cánh đồng trong 15 ngày. Làm được 3 ngày thì đội được bổ sung thêm 4 máy cùng năng suất. Hỏi đội cày xong cánh đồng sớm hơn dự định mấy ngày?

Lời giải.

  1. Sau 3 ngày, phần còn lại nếu vẫn dùng 12 máy thì cần 15 − 3 = 12 ngày.
  2. Số máy lúc này là 12 + 4 = 16 máy. Gọi t là số ngày cày phần còn lại: 12·12 = 16·t, suy ra t = 9.
  3. Tổng thời gian là 3 + 9 = 12 ngày, sớm hơn dự định 15 − 12 = 3 ngày.

Lỗi hay gặp: lấy 12·15 = 16·t để được t = 11,25 ngày. Cách làm này sai vì 3 ngày đầu chỉ có 12 máy làm việc.

Bài 13. Một trang trại có lượng cỏ khô đủ cho 40 con bò ăn trong 30 ngày. Sau 10 ngày, trang trại bán đi 15 con. Số cỏ còn lại đủ cho đàn bò ăn thêm bao nhiêu ngày (khẩu phần mỗi con như cũ)?

Lời giải. Sau 10 ngày, số cỏ còn lại đủ cho 40 con ăn 20 ngày. Lúc này còn 40 − 15 = 25 con. Gọi t là số ngày: 40·20 = 25·t, suy ra t = 800 : 25 = 32. Số cỏ còn lại đủ cho đàn bò ăn thêm 32 ngày.

Dạng 4: Chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch

Phương pháp: x, y, z tỉ lệ nghịch với m, n, p thì mx = ny = pz = k. Khi đó x = k/m, y = k/n, z = k/p. Thay vào điều kiện tổng (hoặc hiệu) để tìm k.

Bài 14. Chia số 156 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; 4.

Lời giải. Gọi ba phần là x, y, z, với 2x = 3y = 4z = k. Ta có x = k/2, y = k/3, z = k/4, nên:

x + y + z = k(1/2 + 1/3 + 1/4) = k·13/12 = 156, suy ra k = 144.

Vậy x = 72, y = 48, z = 36. Thử lại: 72 + 48 + 36 = 156 và 2·72 = 3·48 = 4·36 = 144.

Bài 15. Ba đội máy cày cày ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội I cày xong trong 4 ngày, đội II trong 6 ngày, đội III trong 8 ngày. Ba đội có tổng cộng 26 máy (năng suất các máy như nhau). Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy?

Lời giải. Gọi số máy của ba đội là x, y, z (x, y, z nguyên dương), ta có x + y + z = 26. Các cánh đồng có diện tích bằng nhau nên số máy tỉ lệ nghịch với số ngày: 4x = 6y = 8z = k. Từ đó:

k(1/4 + 1/6 + 1/8) = k·13/24 = 26, suy ra k = 48.

Vậy x = 12, y = 8, z = 6. Đội I có 12 máy, đội II có 8 máy, đội III có 6 máy. Thử lại: 12 + 8 + 6 = 26, đúng.

Bài toán mở rộng. Ba xe đi cùng quãng đường AB với vận tốc 40 km/h, 50 km/h và 60 km/h. Tổng thời gian đi của ba xe là 7,4 giờ. Thời gian của ba xe tỉ lệ nghịch với vận tốc nên 40t1 = 50t2 = 60t3 = AB. Ta có AB·(1/40 + 1/50 + 1/60) = AB·37/600 = 7,4, suy ra AB = 120 km. Do đó t1 = 3 giờ, t2 = 2,4 giờ (2 giờ 24 phút), t3 = 2 giờ.

4. Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm sang tỉ lệ thuận: viết x1/y1 = x2/y2. Sau khi tính, hãy kiểm tra xem kết quả có hợp lí không (thêm người mà lâu hơn là sai).
  • Chia tỉ lệ nghịch với m, n, p nhưng lại đặt x/m = y/n = z/p. Đúng phải là mx = ny = pz.
  • Bài có thay đổi giữa chừng: quên trừ phần đã làm.
  • Bài phần trăm: nhầm mức giảm số lượng với mức tăng giá (xem Câu 5).
  • Quên đổi đơn vị: chẳng hạn 2,25 giờ = 2 giờ 15 phút, không phải 2 giờ 25 phút.

5. Bài tự luyện (có đáp số)

  1. 6 vòi nước như nhau chảy đầy một bể trong 8 giờ. Nếu chỉ mở 4 vòi thì bao lâu đầy bể? Đáp số: 12 giờ (vì 6·8 = 4·t).
  2. Chia số 94 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 4; 5. Đáp số: 40; 30; 24 (k = 120).
  3. Cho x, y tỉ lệ nghịch; khi x = −2 thì y = 7,5. Tính y khi x = 3. Đáp số: a = −15, y = −5.

6. Tài liệu học tiếp

Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 đầy đủ, chi tiết; Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2: mục lục đầy đủ 9 chương; Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT.

Câu hỏi thường gặp

Làm sao phân biệt đại lượng tỉ lệ nghịch với tỉ lệ thuận?

Tỉ lệ thuận thì thương y/x không đổi. Tỉ lệ nghịch thì tích x·y không đổi. Trong bài toán thực tế, em tìm đại lượng giữ nguyên (quãng đường, khối lượng công việc, số tiền…). Nếu nó bằng tích của hai đại lượng kia thì hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch.

Chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch với 2, 3, 4 thì đặt ẩn thế nào?

Đặt 2x = 3y = 4z = k, suy ra x = k/2, y = k/3, z = k/4. Thay vào điều kiện tổng để tìm k, sau đó tính từng phần. Không được đặt x/2 = y/3 = z/4, vì đó là cách đặt cho tỉ lệ thuận.

Hệ số tỉ lệ nghịch có thể là số âm không?

Có. Hệ số a chỉ cần khác 0. Ví dụ x = −4, y = 9 thì a = −36. Trong các bài toán thực tế, các đại lượng đều dương nên a dương.

Nếu x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số a thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số nào?

Vẫn là hệ số a, vì xy = a cũng có nghĩa là yx = a. Đại lượng tỉ lệ thuận thì khác: nếu y = kx thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/k.

Bài học liên quan