Với giải HĐ2 trang 30 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 14: Phương trình mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng

HĐ2 trang 30 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow{n}=\left(b{c}^{\text{'}}-b^{\text{'}}c;c{a}^{\text{'}}-c^{\text{'}}a;a{b}^{\text{'}}-a^{\text{'}}b\right)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay không?

b) $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=\left(b{c}^{\text{'}}-b^{\text{'}}c\right).a+\left(c{a}^{\text{'}}-c^{\text{'}}a\right).b+\left(a{b}^{\text{'}}-a^{\text{'}}b\right).c$

= bc'a – b'ca + ca'b – c'ab + ab'c – a'bc

= (bc'a – c'ab) + (ab'c – b'ca) + (ca'b – a'bc)

= 0.

Do đó vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ta có $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}=\left(b{c}^{\text{'}}-b^{\text{'}}c\right).a^{\text{'}}+\left(c{a}^{\text{'}}-c^{\text{'}}a\right).b^{\text{'}}+\left(a{b}^{\text{'}}-a^{\text{'}}b\right).c^{\text{'}}$

= bc'a' – b'ca' + ca'b' – c'ab' + ab'c' – a'bc'

= (bc'a' – c'a'b) + (ab'c' – b'c'a) + (ca'b' – a'b'c)

= 0.

Do đó vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{v}$.

Suy ra vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả 2 vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

b) Nếu $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$ thì $\left\{\begin{array}{l}b{c}^{\text{'}}-b^{\text{'}}c=0\\ c{a}^{\text{'}}-c^{\text{'}}a=0\\ a{b}^{\text{'}}-a^{\text{'}}b=0\end{array}\right.$ (I).

+) Nếu a = b = c = 0 thì (I) luôn đúng khi đó $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương với nhau.

+) Nếu a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0 thì (I) ta suy ra $\left\{\begin{array}{l}\frac{b^{\text{'}}}{b}=\frac{c^{\text{'}}}{c}\\ \frac{a^{\text{'}}}{a}=\frac{c^{\text{'}}}{c}\\ \frac{a^{\text{'}}}{a}=\frac{b^{\text{'}}}{b}\end{array}\right.$.

Do đó, a' = ka; b' = kb, c' = kc (k ∈ ℝ).

Suy ra $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$. Do đó $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương với nhau.

Vậy $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.