Trả lời nhanh
Với bài toán “xí nghiệp sản xuất x nghìn sản phẩm, chi phí gồm 10 triệu đồng cố định cộng chi phí biến đổi”, ta lập hàm chi phí C(x) = 10 + (phần biến đổi), hàm doanh thu R(x) = giá bán × x, rồi lợi nhuận L(x) = R(x) − C(x). Xí nghiệp có lãi khi L(x) > 0 và lãi lớn nhất tại đỉnh parabol khi L là hàm bậc hai.
Đề gốc của bài này bị cắt ở cụm “gồm 10 triệu…”, nên các số liệu phía sau (chi phí biến đổi, giá bán) mỗi đề một khác. Vì vậy dưới đây thầy cô hướng dẫn phương pháp chung và giải một ví dụ tự đặt. Em chỉ cần thay số của đề mình vào đúng các bước là ra đáp án.
Hiểu đúng các đại lượng trong đề
- x: số sản phẩm làm ra trong một tuần, đơn vị là nghìn sản phẩm (x ≥ 0).
- Chi phí cố định: 10 triệu đồng, không đổi dù làm ít hay nhiều (tiền thuê xưởng, máy móc…).
- Chi phí biến đổi: phụ thuộc x, thường cho dạng ax² + bx hoặc bx (triệu đồng).
- Chi phí sản xuất: C(x) = chi phí cố định + chi phí biến đổi.
- Doanh thu: R(x) = (giá bán một nghìn sản phẩm) × x.
- Lợi nhuận: L(x) = R(x) − C(x).
Lỗi hay gặp: quên đơn vị. Nếu x tính bằng nghìn sản phẩm thì giá bán phải tính theo “triệu đồng cho một nghìn sản phẩm”, tiền cũng tính bằng triệu đồng cho đồng bộ.
Các bước giải tổng quát
- Viết C(x) = 10 + (chi phí biến đổi).
- Viết R(x) = p·x với p là giá bán.
- Lập L(x) = R(x) − C(x) và rút gọn về dạng ax² + bx + c.
- Hỏi “có lãi”: giải bất phương trình L(x) > 0. Hỏi “hoà vốn”: giải L(x) = 0.
- Hỏi “lãi lớn nhất”: nếu a < 0, L đạt max tại x = −b/(2a), giá trị max là L(−b/(2a)).
- Kết luận kèm đơn vị và nhớ kiểm tra nghiệm có thoả x ≥ 0.
Ví dụ minh hoạ (số liệu tự đặt)
Giả sử chi phí biến đổi là x² + 4x (triệu đồng) và mỗi nghìn sản phẩm bán được 12 triệu đồng.
Bước 1. C(x) = x² + 4x + 10.
Bước 2. R(x) = 12x.
Bước 3. L(x) = 12x − (x² + 4x + 10) = −x² + 8x − 10.
Câu a: Khi nào xí nghiệp có lãi? Giải −x² + 8x − 10 > 0, tức x² − 8x + 10 < 0. Δ’ = 16 − 10 = 6 nên hai nghiệm là x = 4 − √6 ≈ 1,55 và x = 4 + √6 ≈ 6,45. Hệ số a = 1 > 0 nên biểu thức âm giữa hai nghiệm. Vậy xí nghiệp có lãi khi 4 − √6 < x < 4 + √6, nghĩa là sản xuất khoảng từ 1,55 đến 6,45 nghìn sản phẩm mỗi tuần.
Câu b: Lãi lớn nhất? L(x) = −x² + 8x − 10 có a = −1 < 0 nên đạt max tại x = −8/(2·(−1)) = 4. Khi đó L(4) = −16 + 32 − 10 = 6. Vậy sản xuất 4 nghìn sản phẩm/tuần thì lãi lớn nhất, bằng 6 triệu đồng.
Câu c: Chi phí trung bình thấp nhất? Chi phí trung bình cho một nghìn sản phẩm là C(x)/x = x + 10/x + 4. Theo bất đẳng thức Cô-si, x + 10/x ≥ 2√10, dấu bằng khi x = √10 ≈ 3,16. Vậy chi phí trung bình nhỏ nhất là 4 + 2√10 ≈ 10,32 triệu đồng cho một nghìn sản phẩm.
Để ý: mức sản xuất có chi phí trung bình thấp nhất (3,16) không trùng mức lãi lớn nhất (4). Đừng nhầm hai câu hỏi này với nhau.
Mẹo nhớ
- “Lãi = Thu − Chi”: luôn bắt đầu bằng L(x) = R(x) − C(x).
- Có lãi → bất phương trình bậc hai; lãi nhiều nhất → đỉnh parabol; chi phí trung bình → Cô-si hoặc khảo sát hàm.
- Sau khi tính, thử lại: thay x tìm được vào L(x) xem có ra số hợp lý (dương khi “có lãi”).
Bài luyện tập
Bài 1. Chi phí cố định 8 triệu, chi phí biến đổi x² + 2x triệu, giá bán 10 triệu mỗi nghìn sản phẩm. Tìm mức sản xuất để lãi lớn nhất và giá trị lãi đó.
Đáp án: L(x) = 10x − (x² + 2x + 8) = −x² + 8x − 8. Max tại x = 4, L(4) = −16 + 32 − 8 = 8 triệu đồng.
Bài 2. Chi phí cố định 10 triệu, chi phí biến đổi 2x² triệu, giá bán 10 triệu mỗi nghìn sản phẩm. Xí nghiệp có lãi khi sản xuất trong khoảng nào?
Đáp án: L(x) = −2x² + 10x − 10 > 0 ⇔ x² − 5x + 5 < 0. Nghiệm x = (5 ± √5)/2, tức khoảng 1,38 < x < 3,62. Lãi lớn nhất tại x = 2,5 với L = 2,5 triệu đồng.
Bài 3. Với số liệu ở Bài 1, tìm các mức sản xuất hoà vốn.
Đáp án: Giải −x² + 8x − 8 = 0 ⇔ x² − 8x + 8 = 0, nghiệm x = 4 ± 2√2, khoảng 1,17 và 6,83 nghìn sản phẩm.
Câu hỏi thường gặp
Chi phí cố định 10 triệu đồng có thay đổi theo số sản phẩm không?
Không. Chi phí cố định giữ nguyên dù sản xuất ít hay nhiều. Chỉ phần chi phí biến đổi mới phụ thuộc vào x.
Làm sao tìm mức sản xuất cho lãi lớn nhất?
Lập hàm lợi nhuận L(x) = doanh thu − chi phí. Nếu L là hàm bậc hai có a < 0 thì lãi lớn nhất tại x = −b/(2a); thay x đó vào L để ra mức lãi.
Nếu x tính bằng nghìn sản phẩm thì tiền tính thế nào?
Nên đổi tất cả về triệu đồng và giá bán theo triệu đồng cho một nghìn sản phẩm để các đơn vị đồng bộ, tránh sai lệch hệ số.
Số liệu trong ví dụ có phải của đề gốc không?
Không, đó là số liệu tự đặt để minh hoạ phương pháp. Em thay số trong đề của mình vào các bước tương tự là ra đáp án.