Bài 5.1 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −3), B(2; 1; 0), C(3; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 1; 3), $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ = (2; 2; 4).

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right|\right)$

     = (−2; 2; 0) = −2(1; −1; 0).

$\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (1; −1; 0) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

1(x – 1) – 1(y – 0) + 0(z + 3) = 0 hay x – y – 1 = 0.

Bài 5.2 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: A(2; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 1) nên phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo phương trình mặt phẳng đoạn chắn là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{1}=1$.

Bài 5.3 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x – 2y – 2z + 9 = 0 và điểm A(2; −1; 3).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α).

Lời giải:

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là:

$\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\left(\mathrm{\alpha }\right)\right)=\frac{\left|2-2.(-1)-2.3+9\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}$ = $\frac{7}{3}$.

b) Phương trình mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α) có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}=\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$= (1; −2; −2).

Do đó, ta có phương trình mặt phẳng (β) là: 1(x – 2) – 2(y + 1) – 2(z – 3) = 0  hay x – 2y – 2z + 2 = 0.

Bài 5.4 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 0), B(3; 1; 2) và mặt phẳng (α): x + 2y + 3z – 1 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa A, B và song song với (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với trục Ox.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (1; 2; 3), $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 2; 2).

Do đó, $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right|\right)$ = (−2; 1; 0).

Vậy phương trình mặt phẳng (β) là:

−2(x – 2) + 1(y + 1) + 0(z – 0) = 0

⇔ −2x + y + 5 = 0 hay 2x – y – 5 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 2; 2), $\overrightarrow{\mathrm{i}}$ = (1; 0; 0) ($\overrightarrow{\mathrm{i}}$ là vectơ chỉ phương của Ox).

Do mặt phẳng (P) chứa A, B và (P) ∥ Ox nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{i}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|\right)$ = (0; 2; −2) = 2(0; 1; −1).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 2) + 1(y + 1) – 1(z – 0) = 0 ⇔ y – z + 1 = 0.

Bài 5.5 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(3; 2; 4).

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (với A, B, C đều không trùng khớp với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}$ = (3; 2; 4), $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ = (0; 1; 0) ($\overrightarrow{\mathrm{j}}$ là vectơ chỉ phương của Oy).

Vì mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy nên

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}},\overrightarrow{\mathrm{j}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ = (−4; 0; 3).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

−4(x – 0) + 0(y – 0) +3(z – 0) = 0

⇔ −4x + 3z = 0.

b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥ (ABC)

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}$ = (3; 2; 4) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

3(x – 3) + 2(y – 2) + 4(z – 4) = 0

⇔ 3x + 2y + 4z – 29 = 0.

Bài 5.6 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một máy phát sóng đặt tại vị trí A(1; 2; 1) và có bán kính phủ sóng là 2. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) là h = d(A, (Oxy) = 1.

Bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu tâm A, bán kính bằng R = 2 với mặt phẳng (Oxy) là r = $\sqrt{{\mathrm{R}}^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Vậy bán kính vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) bằng $\sqrt{3}$.

Bài 5.7 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng (α): x + 2y + 2z – 1 = 0 và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng (β): x + 2y + 2z – 3 = 0. Hỏi chiều cao của căn phòng đó có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?

Lời giải:

Ta có: phương trình mặt phẳng chứa mặt sàn căn phòng: x + 2y + 2z – 1 = 0.

Phương trình mặt phẳng chứa trần căn phòng là: x + 2y + 2z – 3 = 0.

Lấy điểm M(3; 0; 0) thuộc mặt phẳng trần căn phòng.

Khoảng cách giữa mặt sàn và trần căn phòng là: d = $\frac{\left|3-1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$ = $\frac{2}{3}$ < 1 nên không thể kê được chiếc tủ có chiều cao bằng 1.

Bài tập cuối chương 4

Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Bài 17: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5