Với giải Hoạt động 4 trang 37 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Hoạt động 4 trang 37 Toán 12 Tập 2: Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).

a) Tìm hàm số y = f(x).

b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x; f(x)) (– r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) chính là phương trình của nửa đường tròn tâm O, bán kính r.

Ta có phương trình đường tròn tâm O, bán kính r là x² + y² = r².

Suy ra y = f(x) = $\sqrt{r^2-x^2}$ (do nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox (Hình 24)).

b) Hình tròn tâm H bán kính f(x) có diện tích là S(x) = πf²(x).

Thể tích của hình cầu tâm O bán kính r là:

$V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi f^2\left(x\right)dx=\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}\left(r^2-x^2\right)dx$

$=\pi {\left.\left(r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-r}^r$$=\pi \left[\left(r^2\cdot r-\frac{r^3}{3}\right)-\left(r^2\cdot \left(-r\right)-\frac{{\left(-r\right)}^3}{3}\right)\right]$$=\frac{4}{3}\pi r^3$