Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1.2 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông chi tiết sách Toán 9 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Khởi động trang 82 Toán 9 Tập 1: Hình 12 mô tả đường lên dốc ở Hình 11, trong đó góc giữa BC và phương nằm giữa BA là ABC^=15°.

Khởi động trang 82 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC (Hình 12) có liên hệ với nhau như thế nào?

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: sinB = ACBC do đó AC = BC.sinB = BC.sin15°.

Hoạt động 1 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 13).

Hoạt động 1 trang 82 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Biểu diễn sinB, cosC theo AC, BC.

b) Viết công thức tính AC theo BC và sinB.

c) Viết công thức tính AC theo BC và cosC.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: sinB = ACBC và cosB = ABBC.

b) Từ sinB = ACBC (câu a) ta có AC = BC.sinB.

c) Từ cosB = ABBC (câu a) ta có AC = BC.cosB.

1. Tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Luyện tập 1 trang 83 Toán 9 Tập 1: Tính độ cao AC trong Hình 12 khi BC = 20 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Luyện tập 1 trang 83 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: AC = BC.sinB = 20.sin15° ≈ 5,2 (m).

Luyện tập 2 trang 83 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Biểu diễn CK theo AC và sinA. Từ đó, chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng 12.AB.AC.sinA.

Lời giải:

Luyện tập 2 trang 83 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ACK vuông tại K, ta có: sinA = CKAC do đó CK = AC.sinA.

Khi đó, diện tích của tam giác ABC là

12CK.AB = 12.AC.sinA.AB= 12.AB.AC.sinA.

2. Tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông còn lại và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hoạt động 2 trang 84 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 17).

Hoạt động 2 trang 84 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Biểu diễn tanB, cotC theo AB, AC.

b) Viết công thức tính AC theo AB và tanB.

c) Viết công thức tính AC theo AB và cotC.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: tanB = ACAB và cotC = ACAB.

b) Từ tanB = ACAB (câu a) ta có AC = AB.tanB.

c) Từ cotC = ACAB (câu a) ta có AC = AB.cotC.

Luyện tập 3 trang 84 Toán 9 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong Hình 17 khi AC = 4 cm và B^=34° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Luyện tập 3 trang 84 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có AB = AC.cotB = 4.cot34° ≈ 5,9 (m).

3.Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để giải tam giác vuông

Luyện tập 4 trang 85 Toán 9 Tập 1: Tìm độ dài cạnh góc vuông AC và số đo các góc nhọn B, C của tam giác vuông ABC, biết cạnh góc vuông AB = 5 cm và cạnh huyền BC = 13 cm.

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 85 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

⦁ BC2 = AB2 + AC2 (theo định lí Pythagore)

Suy ra AC2 = BC2 – AB2 = 132 – 52 = 144.

Do đó AC = 12 (cm) (do AC > 0).

⦁ sinB = ACBC=1213 suy ra B^67°.

⦁ B^+C^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra C^=90°B^90°67°=23°.

Luyện tập 5 trang 85 Toán 9 Tập 1: Tìm số đo góc nhọn C và độ dài cạnh góc vuông AB, cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, biết cạnh góc vuông AC = 7 cm và B^=55°.

Lời giải:

Luyện tập 5 trang 85 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

⦁ B^+C^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra C^=90°B^=90°55°=35°.

⦁ AB = AC.tanC = 7.tan35° ≈ 4,9 (cm).

⦁ AC = BC.sinB, suy ra BC=ACsinB=7sin55°8,5(cm).

Luyện tập 6 trang 86 Toán 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD thoả mãn AC = 6 cm, BAC^=47°. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AD.

Lời giải:

Luyện tập 6 trang 86 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABC vuông tại B, ta có:

⦁ AB = AC.cosBAC^ = 6.cos47o 4.1 (cm).

⦁ BC = AC.sinBAC^ = 6.sin47o  4,4 (cm).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC ≈ 4,4 cm (tính chất hình chữ nhật).

Bài tập

Bài 1 trang 86 Toán 9 Tập 1: Tìm x, y trong mỗi hình 23a, 23b, 23c (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Bài 1 trang 86 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

a) Từ hình ta có:

⦁ x = 6.cos56° ≈ 3,4 (cm).

⦁ y = 6.sin56° ≈ 5,0 (cm).

b) Từ hình ta có:

⦁ x = 1,5.cot32° ≈ 2,4 (cm).

⦁ 1,5 = y.sin32°, suy ra y=1,5sin32°2,8 (cm).

c) Từ hình ta có:

⦁ 0,8 = x.cos70°, suy ra x=0,8cos70°2,3 (cm).

⦁ y = 0,8.tan70° ≈ 2,2 (cm).

Bài 2 trang 86 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 6 cm, B^=40°,C^=35°. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BH, AC, BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Lời giải:

Bài 2 trang 86 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

⦁ sinB = AHAB, suy ra AB = AHsin40o = 6sin40°9,3 (cm).

⦁ BH = AH.cotB = 6.cot40° ≈ 7,2 (cm).

Xét ∆ACH vuông tại H, ta có:

⦁ sinC = AHAC suy ra AC = AHsin35°=6sin35°10,5 (cm).

⦁ CH = AH.cotC = 6.cot35° ≈ 8,6 (cm).

Khi đó, BC = BH + HC ≈ 7,2 + 8,6 = 15,8 (cm).

Bài 3 trang 86 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=30°. Chứng minh AC = 12BC.

Lời giải:

Bài 3 trang 86 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: AC = BC.sinB = BC.sin30o = 12BC.

Vậy AC = 12BC.

Bài 4 trang 87 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh AB = AC = 22BC.

Lời giải:

Bài 4 trang 87 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên B^=C^=45° và AB = AC.

Ta có AB = BC.sinC = BC.22 = 22BC.

Mà AB = AC nên AB = AC = 22BC.

Bài 5 trang 87 Toán 9 Tập 1: Trong Hình 24, cho O^=α, AB = m và OAB^=OCA^=ODC^=90°.

Bài 5 trang 87 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Chứng minh:

a) OA = m.cotα;

b) AC = m.cosα;

c) CD = m.cos2α.

Lời giải:

a) Xét ∆OAB vuông tại A, ta có: OA = AB.cotO = m.cotα.

b) Xét ∆OAC vuông tại C, ta có:

AC = OA.sinO = m.cotα.sinα = m.cosαsinα.sinα = mcosα.

(Theo kết quả câu b, Bài 7, SGK Toán 9, Tập 1, trang 81 ta có cotα = cosαsinα).

c) Xét ∆OAC vuông tại C, ta có:

OC = OA.cosO = m.cotα.cosα = m.cosαsinα.cosα = m.cos2αsinα.

(Theo kết quả câu b, Bài 7, SGK Toán 9, Tập 1, trang 81 ta có cotα = cosαsinα)

Xét ∆OCD vuông tại D, ta có:

CD = OC.sinO = m.cos2αsinα.sinα = mcos2α.

Bài 6 trang 87 Toán 9 Tập 1: Tính độ dài đường gấp khúc ABCDEGH (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét), biết các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEG, OGH là các tam giác vuông tại các đỉnh lần lượt là B, C, D, E, G, H; các góc O1, O2, O3, O4, O5, O6 đều bằng 30° và OA = 2 cm (Hình 25).

Bài 6 trang 87 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Xét ∆OAB vuông tại B, có O^1=30°, theo Bài 3, SGK Toám 9, Tập 1, trang 86, ta có: AB = 12AO = 12.2 = 1 (cm).

Ta cũng có BO = AO.cosO^1 = 2.cos30o = 2.32 = 3 (cm).

Tương tự, ta cũng có:

⦁ BC = 12BO = 12.3 = 32(cm) và CO = BO.cosO2^ = 3.32 = 32 (cm).

⦁ CD = 12CO = 12.32 = 34 (cm) và DO = CO.cosO3^ = 32.32 = 334(cm).

⦁ DE = 12DO = 12.334 = 338 (cm) và EO = DO.cosO4^ = 334.32 = 98 (cm).

⦁ EG = 12EO = 12.98 = 916 (cm) và GO = EO.cosO5^ = 98.32 = 9316 (cm).

⦁ GH = 12GO = 12.9316 = 9332 (cm).

Vậy độ dài đường gấp khúc ABCDEGH là:

1+32+34+338+916+9332

=3232+16332+2432+12332+1832+9332=74+373324,3 (cm).

Bài 7 trang 87 Toán 9 Tập 1: Hình 26 minh hoạ một phần con sông có bề rộng AB = 100 m. Một chiếc thuyền đi thẳng từ vị trí B bên này bờ sông đến vị trí C bên kia bờ sông. Tính quãng đường BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết ABC^=35°.

Bài 7 trang 87 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

cos B = ABBC, suy ra BC = ABcosB = 100cos35o 122,1 (m).

Bài 8 trang 87 Toán 9 Tập 1: Từ vị trí A ở phía trên một tòa nhà có chiều cao AD = 68 m, bác Duy nhìn thấy vị trí C cao nhất của một tháp truyền hình, góc tạo bởi tia AC và tia AH theo phương nằm ngang là CAH^=43°. Bác Duy cũng nhìn thấy chân tháp tại vị trí B mà góc tạo bởi tia AB và tia AH là BAH^=28°, điểm H thuộc đoạn thẳng BC (Hình 27). Tính khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà và chiều cao BC của tháp truyền hình (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Bài 8 trang 87 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Vì AH ⊥ BC và BD ⊥ BC nên AH // BD. Do đó ABD^=BAH^=28° (so le trong).

Khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà là:

BD = AD.cotABD^ = 68.cot28o  127,9 (m).

Do tứ giác ADBH có ADB^=AHB^=DBH^=90° nên ADBH là hình chữ nhật.

Suy ra AH = DB ≈ 127, 9 (m) và HB = AD = 68 (m).

Do ∆AHC vuông tại H, ta có CH = AH.tanCAH^  127,9.tan43o  119,3 (m).

Chiều cao BC của tháp truyền hình là:

BC = BH + HC ≈ 68 + 119,3 = 187,3 (m).

Vậy khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà khoảng 127,9 mét và chiều cao BC của tháp truyền hình khoảng 187,3 mét.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

§2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

§3. Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài tập cuối chương 4

§1. Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

§2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. Tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) × (sin góc đối)

= (cạnh huyền ) × (cosin góc kề)

Ví dụ 1:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 1)

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

b=a.sinB=a.cosC;c=a.sinC=a.cosB.

2. Tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông còn lại và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề.

Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại ) × (tan góc đối) 

= (cạnh góc vuông còn lại ) × (cot góc kề)

Ví dụ 2:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 2)

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

b=c.tanB=c.cotC;c=b.tanC=b.cotB.

3. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tìm tất cả độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác đó.

Đánh giá

0

0 đánh giá