Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết sách Toán 9 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khởi động trang 88 Toán 9 Tập 1: Hình 28 minh họa một máy bay cất cánh từ vị trí A trên đường băng của sân bay và bay theo đường thẳng AB tạo với phương nằm ngang AC một góc là 20°. Sau 5 giây, máy bay ở độ cao BC = 110 m.

Có thể tính khoảng cách AB bằng cách nào?

Lời giải:

Ta có thể tính khoảng cách AB dựa vào độ cao BC và góc tạo bởi đường bay với phương nằm ngang.

Xét ∆ABC vuông tại C, ta có BC = AB.sinA, suy ra AB = $\frac{BC}{\sin A}$.

Luyện tập 1 trang 89 Toán 9 Tập 1: Hãy giải bài toán ở phần mở đầu và tính AB trong Hình 29b (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Lời giải:

⦁ Bài toán ở phần mở đầu:

Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:

BC = AB.sinA, suy ra AB = $\frac{BC}{\sin A}$ = $\frac{110}{\sin 20°}$ $\approx$321,62 (m).

⦁ Hình 29b:

Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:

AC = AB.cosA, suy ra AB = $\frac{AC}{\cos A}=\frac{4}{\cos 81°}\approx$25,57 (m).

Luyện tập 2 trang 90 Toán 9 Tập 1: Mặt cắt đứng của khung thép có dạng tam giác cân ABC với $\hat{B}=23°,$ AB = 4 m (Hình 33). Tính độ dài đoạn thẳng BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải:

Kẻ AH ⊥ BC.

Vì ∆ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến, do đó H là trung điểm của BC, nên BC = 2BH.

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có: BH = AB.cosB = 4.cos23° ≈ 3,7 (m).

Do đó BC = 2BH ≈ 2.3,7 = 7,4 (m).

Vậy BC ≈ 7,4 m.

Bài tập

Bài 1 trang 90 Toán 9 Tập 1: Hình 35 mô tả ba vị trí A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông và không đo được trực tiếp các khoảng cách từ C đến A và từ C đến B. Biết AB = 50 m, $\widehat{ABC}=40°.$ Tính các khoảng cách CA và BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

⦁ CA = AB.tan$\widehat{ABC}$ = 50.tan40^o $\approx$ 42(m).

⦁ AB = BC.cos$\widehat{ABC}$, suy ra BC = $\frac{AB}{\cos \widehat{ABC}}=\frac{50}{\cos 40°}\approx 65\text{(m).}$

Bài 2 trang 91 Toán 9 Tập 1: Để ước lượng chiều cao của một cây trong sân trường, bạn Hoàng đứng ở sân trường (theo phương thẳng đứng), mắt bạn Hoàng đặt tại vị trí C cách mặt đất một khoảng CB = DH = 1,64 m và cách cây một khoảng CD = BH = 6 m. Tính chiều cao AH của cây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét), biết góc nhìn ACD bằng 38° minh hoạ ở Hình 36.

Lời giải:

Xét ∆ACD vuông tại D, ta có:

AD = CD.tan$\widehat{ACD}$ = 6.tan38^o $\approx$4,69 (m).

Ta có AG = AD + DH ≈ 4,69 + 1,64 = 6,33 (m).

Vậy chiều cao AH của cây khoảng 6,33 m.

Bài 3 trang 91 Toán 9 Tập 1: Người ta cần ước lượng khoảng cách từ vị trí O đến khu đất có dạng hình thang MNPQ nhưng không thể đo được trực tiếp, khoảng cách đó được tính bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng MN. Người ta chọn vị trí A ở đáy MN và đo được OA = 18 m, $\widehat{OAN}=44°$ (Hình 37). Tính khoảng cách từ vị trí O đến khu đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải:

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến MN.

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có: OH = OA.sinA = 18.sin44° ≈ 12,5 (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí O đến khu đất khoảng 12,5 m.

Bài 4 trang 91 Toán 9 Tập 1: Một mảnh gỗ có dạng hình chữ nhật ABCD với đường chéo AC = 8 dm. Do bảo quản không tốt nên mảnh gỗ bị hỏng phía hai đỉnh B và D. Biết $\widehat{BAC}=64°$ (Hình 38). Người ta cần biết độ dài AB và AD để khôi phục lại mảnh gỗ ban đầu. Độ dài AB, AD bằng bao nhiêu decimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại B, ta có:

AB = AC.cos$\widehat{BAC}$ = 8.cos64^o ≈ 3,5 (dm).

BC = AC.sin$\widehat{BAC}$ = 8.sin64^o ≈ 7,2 (dm).

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC ≈ 7,2 dm.

Vậy AB ≈ 3,5 dm và AD ≈ 7,2 dm.

Bài 5 trang 91 Toán 9 Tập 1: Trên mặt biển, khi khoảng cách AB từ ca nô đến chân tháp hải đăng là 250 m, một người đứng trên tháp hải đăng đó, đặt mắt tại vị trí C và nhìn về phía ca nô theo phương CA tạo với phương nằm ngang Cx một góc là $\widehat{ACx}=32°$(Hình 39). Tính chiều cao của tháp hải đăng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết AB // Cx và độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh tháp hải đăng là 3,2 m.

Lời giải:

Vì Cx // AB nên $\widehat{CAB}=\widehat{xCA}=32°$ (so le trong).

Xét ∆ABC vuông tại B, ta có: BC = AB.tan$\widehat{CAB}$ = 250.tan32^o ≈ 156,2 (m).

Vậy chiều cao của tháp là khoảng 156,2 + 3,2 = 159,4 (m).

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

§3. Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài tập cuối chương 4

§1. Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

§2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

§3. Tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Ước lượng khoảng cách

Từ xưa, người ta đã biết cách ứng dụng lượng giác để ước lượng khoảng cách. Bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có thể ước lượng khoảng cách giữa hai vị trí khi khó đo trực tiếp khoảng cách giữa hai vị trí đó.

Ví dụ 1. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B, C khi không thể đo trực tiếp (Hình a), người ta có thể làm như sau (Hình b):

– Sử dụng giác kế (một loại dụng cụ để đo góc, xem hình dưới), chọn điểm A ở vị trí thích hợp sao cho góc ACB là góc vuông. Đo khoảng cách AC;

– Sử dụng giác kế để đo góc BAC;

– Từ đó, tính khoảng cách BC.

a) Theo cách làm trên, nêu công thức tính khoảng cách giữa hai vị trí B, C.

b) Tính khoảng cách giữa hai vị trí B, C, biết AC = 5 m và $\widehat{BAC}=72°$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại C nên BC = AC.tanA.

b) Ta có AC = 5 m và $\widehat{BAC}=72°$.

Suy ra BC = 5.tan72° ≈ 15,39 (m)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C bằng khoảng 15,39 m.

Ví dụ 2. Tia nắng mặt trời tạo với phương thẳng đứng một góc 56° và tháp cao 58 m (hình vẽ). Tính chiều dài của bóng tháp trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Tam giác OAB vuông tại A nên:

$OA=AB\cdot \tan \widehat{OBA}=58\cdot \tan 56°\approx 86$ (m).

Vậy chiều dài của bóng tháp bằng khoảng 86 m.

2. Ước lượng chiều cao

Ví dụ 3. Để ước lượng chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh tháp, người ta sử dụng giác kế, thước cuộn, máy tính cầm tay.

Chẳng hạn, ở hình vẽ trên, để đo chiều cao AD của tháp, người ta đặt giác kế tại một điểm quan sát cách chân tháp một khoảng CD = OB = a, trong đó chiều cao của điểm đặt giác kế là OC = b. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm thanh này ta nhìn thấy đỉnh A của tháp, đọc trên giác kế số đo α của góc AOB.Tính chiều cao của tháp, biết α = 54°; b = 22,31 m; a = 106 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hướng dẫn giải

Vì tam giác OAB vuông tại B nên:

$AB=OB\cdot \tan \widehat{AOB}=106\cdot \tan 54°\approx 145,90$ (m).

Vậy chiều cao của tháp khoảng 145,90 + 22,31 = 168,21 (m).

Ví dụ 4. Một người đứng cách tòa nhà một khoảng 10 m. Góc nâng từ chỗ người đó đứng đến nóc nhà là 40°. Nếu người đó dịch chuyển ra xa sao cho góc nâng là 35° thì lúc đó người đó cách tòa nhà bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A nên $AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=10\cdot \tan 40°\approx 8,39$ (m).

Tam giác ABD vuông tại A nên $AD=AB\cdot \cot \widehat{ADB}\approx 8,39\cdot \cot 35°\approx 11,98$ (m).

Vậy nếu người đó dịch chuyển ra xa sao cho góc nâng là 35° thì lúc đó người đó cách tòa nhà khoảng 11,98 m.