Với giải Bài 5 trang 31 SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 5: Phương trình lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài 5 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (‒π; π)

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=1;$

b) $2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{3};$

c) $\tan \left(x+\frac{\pi }{9}\right)=\tan \frac{4\pi }{9}.$

Lời giải:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=1$

$\iff 3x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

$-\pi <\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}<\pi$ $\iff -1<\frac{5}{18}+k\frac{2}{3}<1$ $\iff -\frac{23}{12}<k<\frac{13}{12}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0; 1}.

Với k = ‒1, ta có: $x=\frac{5\pi }{18}-1\cdot \frac{2\pi }{3}=-\frac{7\pi }{18}$

Với k = 0, ta có: $x=\frac{5\pi }{18}+0\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}$

Với k = 1, ta có: $x=\frac{5\pi }{18}+1\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{17\pi }{18}$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left\{-\frac{7\pi }{18};\frac{5\pi }{18};\frac{17\pi }{18}\right\}.$

b) $2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$

$\iff 2x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 2x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{11\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

⦁ $-\pi <\frac{11\pi }{24}+k\pi <\pi$ $\iff -1<\frac{11}{24}+k<1$ $\iff -\frac{35}{24}<k<\frac{13}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

⦁ $-\pi <\frac{7\pi }{24}+k\pi <\pi$ $\iff -1<\frac{7}{24}+k<1$ $\iff -\frac{31}{24}<k<\frac{17}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

Với k = ‒1, ta có $x=\frac{11\pi }{24}+\left(-1\right)\cdot \pi =-\frac{13\pi }{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\left(-1\right)\cdot \pi =\frac{-17\pi }{24}$

Với k = 0, ta có $x=\frac{11\pi }{24}+0\cdot \pi =\frac{11\pi }{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+0\cdot \pi =\frac{7\pi }{24}$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left\{-\frac{17\pi }{24};-\frac{13\pi }{24};\frac{7\pi }{24};\frac{11\pi }{24}\right\}.$

c) $\tan \left(x+\frac{\pi }{9}\right)=\tan \frac{4\pi }{9}$

$\iff x+\frac{\pi }{9}=\frac{4\pi }{9}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lại có x ∈ (‒π; π) nên ta có:

$-\pi <\frac{\pi }{3}+k\pi <\pi$ $\iff -1<\frac{1}{3}+k<1$ $\iff -\frac{4}{3}<k<\frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {–1; 0}.

Với k = −1, ta có: $x=\frac{\pi }{3}+\left(-1\right)\cdot \pi =-\frac{2\pi }{3};$

Với k = 0, ta có: $x=\frac{\pi }{3}+0\cdot \pi =\frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left\{-\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right\}.$