Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Cấp số cộng

Admin Vietjack Ngày: 09-11-2023 Lớp 11

865

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Giải SBT Toán 11 trang 60

Bài 1 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) u_n = 2n + 3;

b) u_n = ‒3n + 1;

c) u_n = n² + 1;

d) $u_{n} = \frac{2}{n} .$

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 2.1 + 3 = 5; u_n = 2n + 3 và u_n+1 = 2(n + 1) +3 = 2n + 5

Do đó u_n+1 – u_n = 2n + 5 – (2n + 3) = 2.

Vậy u_n = 2n + 3 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 2.

b) Ta có: u₁ = ‒3.1 + 1 = −2; u_n = ‒3n + 1 và u_n+1 = ‒3(n + 1) + 1 = ‒3n – 2.

Do đó u_n+1 – u_n = ‒3n – 2 – (‒3n + 1) = – 3.

Vậy u_n = ‒3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = −2 và công sai d = ‒3.

c) Xét u_n = n² + 1 có:

u₁ = 1² + 1 = 2;

u₂ = 2² + 1 = 5;

u₃ = 3² + 1 = 10

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy u_n = n² + 1 không phải là cấp số cộng.

d) Xét $u_{n} = \frac{2}{n}$ có:

$u_{1} = \frac{2}{1} = 2;$ $u_{2} = \frac{2}{2} = 1;$ $u_{3} = \frac{2}{3} .$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_{n} = \frac{2}{n}$ không phải là cấp số cộng

Bài 2 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) u_n = 3n + 1;

b) u_n = 4 ‒ 5n;

c) $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5};$

d) $u_{n} = \frac{n + 1}{n};$

e) $u_{n} = \frac{n}{2^{n}};$

g) u_n = n² + 1.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u_n = 3n + 1; và u_n₊₁ = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4.

Do đó u_n+1 – u_n = 3n + 4 – (3n + 1) = 3.

Vậy u_n = 3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = 3.

b) Ta có: u₁ = 4 ‒ 5.1 = ‒1; u_n = 4 ‒ 5n và u_n+1 = 4 – 5(n + 1) = −1 – 5n.

Do đó u_n+1 – u_n = −1 – 5n – (4 ‒ 5n) = −5.

Vậy u_n = 4 ‒ 5n là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = ‒1 và công sai d = ‒5.

c) Ta có $u_{1} = \frac{2 \cdot 1 + 3}{5} = 1;$ $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$ và $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) + 3}{5} = \frac{2 n + 5}{5}$

Do đó $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 5}{5} - \frac{2 n + 3}{5} = \frac{2}{5}$

Vậy $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$ là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai $d = \frac{2}{5} .$

d) Xét $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$ có: $u_{1} = \frac{1 + 1}{1} = 2;$ $u_{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2};$ $u_{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3};$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$ không phải là cấp số cộng.

e) Xét $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ có:

$u_{1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}; u_{2} = \frac{2}{2^{2}} = \frac{1}{2}; u_{3} = \frac{3}{2^{3}} = \frac{3}{8};$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ không phải là cấp số cộng.

g) Xét u_n = n² + 1 có u₁ = 1² + 1 = 2; u₂ = 2² + 1 = 5; u₃ = 3² + 1 = 10.

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy u_n = n² + 1 không phải là cấp số cộng.

Bài 3 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng tổng quát: u_n = 7n ‒ 3.

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n).

b) Tìm u₂₀₁₂.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n).

d) Số 1 208 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng (u_n)?

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 7.1 ‒ 3 = 4; u₂ = 7.2 ‒ 3 = 11.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = u₂ ‒ u₁ = 11 ‒ 4 = 7.

b) u₂₀₁₂ = 7.2012 ‒ 3 = 14 081.

c) u₁₀₀ = 7.100 ‒ 3 = 697.

$S_{100} = \frac{100 (u_{1} + u_{100})}{2} = \frac{100 (4 + 697)}{2} = 35 050.$

d) Ta có u_n = 1 208

Do đó 7n ‒ 3 = 1 208

Suy ra n = 173

Vậy số 1 208 là số hạng thứ 173

Bài 4 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = 5 và d = 3.

a) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n).

b) Tìm u₉₉.

c) Số 1 502 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng (u_n)?

d) Cho biết S_n = 34 275. Tìm n.

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là:

u_n = u₁ + (n ‒ 1)d = 5 + (n ‒ 1).3 = 3n + 2.

b) Ta có u₉₉ = 3.99 + 2 = 299.

c) Ta có: u_n = 1 502 nên 3n + 2 = 1 502, suy ra n = 500.

Vậy số 1 502 là số hạng thứ 500 .

d) $S_{n} = 34 275 = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2} = \frac{n [2 \cdot 5 + (n - 1) 3]}{2}$

Suy ra n(10 + 3n – 3) = 2 . 34 275

Hay 3n² + 7n – 68 550 = 0

Suy ra $[\begin{array}{l} n = 150 \\ n = - \frac{457}{3} \end{array}$

Mà n ≥ 2 nên n = 150.

Bài 5 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁₈ ‒ u₃ = 75. Tìm công sai d.

Lời giải:

Ta có:

u₁₈ = u₁ + 17d;

u₃ = u₁ + 2d.

Do đó:

u₁₈ ‒ u₃ = 75

⇔ u₁ + 17d ‒ (u₁ + 2d) = 75

⇔ 15d = 75

⇔ d = 5.

Vậy cấp số cộng (u_n) có công sai d = 5.

Giải SBT Toán 11 trang 61

Bài 6 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₄ + u₁₂ = 90. Tìm S₁₅.

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công sai là d.

Ta có:

u₄ = u₁ + 3d;

u₁₂ = u₁ + 11d.

Do đó: u₄ + u₁₂ = 90

⇔ u₁ + 3d + u₁ + 11d = 90

⇔ 2u₁ + 14d = 90.

Khi đó $S_{15} = \frac{15 [2 u_{1} + (15 - 1) d]}{2}$ $= \frac{15 (2 u_{1} + 14 d)}{2} = \frac{15 \cdot 90}{2} = 675.$

Bài 7 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết:

a) $\{\begin{cases} u_{1} + u_{6} = 18 \\ u_{3} + u_{7} = 22; \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} u_{9} - u_{4} = 15 \\ u_{3} \cdot u_{8} = 184; \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} u_{6} = 8 \\ u_{2}^{2} + u_{4}^{2} = 16. \end{cases}$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ và công sai là d.

a) $\{\begin{cases} u_{1} + u_{6} = 18 \\ u_{3} + u_{7} = 22 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + u_{1} + 5 d = 18 \\ u_{1} + 2 d + u_{1} + 6 d = 22 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u_{1} + 5 d = 18 \\ 2 u_{1} + 8 d = 22 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = \frac{17}{3} \\ d = \frac{4}{3} \end{cases}$

Vậy $u_{1} = \frac{17}{3}$ và $d = \frac{4}{3} .$

b) $\{\begin{cases} u_{9} - u_{4} = 15 \\ u_{3} \cdot u_{8} = 184 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 8 d - (u_{1} + 3 d) = 15 \\ (u_{1} + 2 d) (u_{1} + 7 d) = 184 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 d = 15 \\ (u_{1} + 2 d) (u_{1} + 7 d) = 184 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 3 \\ (u_{1} + 2 d) (u_{1} + 7 d) = 184 \end{cases}$

Với d = 3 ta có: (u₁ + 2.3)(u₁ + 7.3) = 184

$\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 27 u_{1} - 58 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} u_{1} = 2 \\ u_{1} = - 29 \end{array}$

Vậy $\{\begin{cases} d = 3 \\ u_{1} = 2 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} d = 3 \\ u_{1} = - 29 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} u_{6} = 8 \\ u_{2}^{2} + u_{4}^{2} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 5 d = 8 \\ {(u_{1} + d)}^{2} + {(u_{1} + 3 d)}^{2} = 16 (*) \end{cases}$