Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Dãy số

Admin Vietjack Ngày: 09-11-2023 Lớp 11

890

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Giải SBT Toán 11 trang 57

Bài 1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1} .$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

Lời giải:

Ta có: $\frac{n + 1}{2 n + 1} = \frac{8}{15}$

Suy ra 15(n + 1) = 8(2n + 1), hay 15n + 15 = 16n + 8, nên n = 7.

Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bảy của dãy số.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n), biết $\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \end{cases}$

Lời giải:

Bốn số hạng đầu tiên của dãy u_n là:

u₁ = ‒2;

$u_{2} = - 2 - \frac{1}{- 2} = - \frac{3}{2};$

$u_{3} = - 2 - \frac{1}{- \frac{3}{2}} = - \frac{4}{3};$

$u_{4} = - 2 - \frac{1}{- \frac{4}{3}} = - \frac{5}{4};$

Ta dự đoán được số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$

Bài 3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 4 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n (n \geq 1) . \end{cases}$ Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.

Lời giải:

Ta có:

u₂ = u₁ + 1 = 4 + 1 = 5;

u₃ = u₂ + 2 = 5 + 2 = 7;

u₄ = u₃ + 3 = 7 + 3 = 10

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là u₅ = u₄ + 4 = 10 + 4 = 14.

Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (‒1)ⁿ.

Lời giải:

Ta có:

u₁ = (‒1)¹ = −1; u₃ = (‒1)³ = −1; …

u₂ = (‒1)² = 1; u₄ = (‒1)⁴ = 1; …

Do đó ‒1 ≤ u_n ≤ 1, suy ra (u_n) là dãy bị chặn.

Giải SBT Toán 11 trang 58

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2};$

b) $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1};$

c) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} .$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$ nên $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

$= \frac{(2 n - 11) (3 n - 2) - (2 n - 13) (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{6 n^{2} - 37 n + 22 - (6 n^{2} - 37 n - 13)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{\frac{2}{3} (3 n - 2) - \frac{35}{3}}{3 n - 2} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)}$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 > 0 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} > 0$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} < \frac{2}{3}$

Suy ra $- 11 \leq u_{n} < \frac{2}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ , suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{{(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 1}{(n + 1) + 1} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2}$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

$= \frac{(n^{2} + 5 n + 5) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{3} + n^{2} + 5 n^{2} + 5 n + 5 n + 5 - (n^{3} + 2 n^{2} + 3 n^{2} + 6 n + n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{2} + 3 n + 3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ *$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_{n} > \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n + 1} = n + 1 \geq 2, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + (n + 1) + {(n + 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n + 1}}} = \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3 n + 3}} < 1, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n \geq 1; n^{2} \geq 1 \Rightarrow 1 + n + n^{2} \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0 < u_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1};$

b) $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}};$

c) $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1) - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] - (n + \sqrt{n^{2} - 1})$

$= 1 - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1} - \sqrt{n^{2} - 1} < 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra u_n+1 < u_n

Do đó $(u_{n})$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}},$ ta có: $u_{1} = 0; u_{2} = \frac{3}{4}; u_{3} = \frac{2}{9}$ , suy ra $\{\begin{cases} u_{2} > u_{1} \\ u_{3} < u_{2} \end{cases}$ .

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có:

u_n+1 - u_n = $\frac{3^{n + 1} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} = \frac{{3.3}^{n} - 1}{{2.2}^{n}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}}$

$= \frac{{3.3}^{n} - 1 - 2 (3^{n} - 1)}{{2.2}^{n}} = \frac{{3.3}^{n} - 1 - {2.3}^{n} + 2}{{2.2}^{n}}$

$= \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} > 0, \forall n \in ℕ * .$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} .$

Lời giải:

Ta có:

$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}; u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}$ , suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n}, \forall n \in ℕ * .$