Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo: tổng hợp kiến thức trọng tâm

Tập một: lượng giác, dãy số và giới hạn

Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Góc lượng giác có số đo bằng radian hoặc độ, với π rad = 180°. Trên đường tròn lượng giác bán kính 1, góc α xác định một điểm mà hoành độ là cos α, tung độ là sin α. Hai hệ thức nền: sin²α + cos²α = 1, và tan α = sin α / cos α khi cos α khác 0.

Công thức cộng dùng nhiều nhất: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b; cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. Kiểm tra với a = b = 30°: sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) = √3/2, khớp giá trị đã biết.

Hàm y = sin x và y = cos x xác định trên R, lấy giá trị trong [−1; 1], chu kỳ 2π. Hàm y = tan x xác định khi x khác π/2 + kπ, chu kỳ π.

Phương trình cơ bản, k là số nguyên:

• sin x = m, với |m| ≤ 1, có nghiệm x = (−1)^k arcsin m + kπ. Nếu |m| > 1 thì vô nghiệm.
• cos x = m, với |m| ≤ 1, có nghiệm x = ±arccos m + k2π.
• tan x = m, mọi m, có nghiệm x = arctan m + kπ, và x khác π/2 + kπ.

Ví dụ: sin x = 1/2. arcsin(1/2) = π/6, nên x = (−1)^k π/6 + kπ. Với k = 0 được π/6; với k = 1 được −π/6 + π = 5π/6. Hai họ này phủ các nghiệm.

Chương 2. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Dãy số là hàm từ tập số nguyên dương vào tập số thực. Cấp số cộng có công sai d không đổi: u_n = u₁ + (n − 1)d. Tổng n số hạng đầu: S_n = n/2 × (u₁ + u_n) = n/2 × (2u₁ + (n − 1)d).

Ví dụ: u₁ = 3, d = 4. Số hạng thứ 10: u₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39. Tổng: S₁₀ = 10/2 × (3 + 39) = 210. Công thức kia cho cùng kết quả: 5 × (6 + 36) = 210.

Cấp số nhân có công bội q: u_n = u₁ × q^{n − 1}. Nếu q khác 1, S_n = u₁ × (qⁿ − 1)/(q − 1). Nếu q = 1 thì S_n = n × u₁.

Ví dụ: u₁ = 2, q = 3. u₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. S₅ = 2 × (3⁵ − 1)/(3 − 1) = 2 × 242/2 = 242. Cộng trực tiếp 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

Chương 3. Giới hạn và hàm số liên tục

Dãy có giới hạn L khi n tiến ra vô cực nếu số hạng càng lúc càng sát L. Với phân thức hai đa thức cùng bậc, giới hạn là tỉ số hệ số cao nhất. (2n + 1)/(n + 3) = (2 + 1/n)/(1 + 3/n) tiến tới 2/1 = 2.

Giới hạn hàm số tại một điểm dùng cùng ý “tiến sát”. Nếu thay trực tiếp ra dạng 0/0, em rút gọn trước. (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 khi x khác 2, nên giới hạn khi x tiến tới 2 bằng 4. Hàm này gián đoạn tại 2 nếu chưa được định nghĩa tại đó. Đặt thêm f(2) = 4 thì hàm thành liên tục tại 2, vì giới hạn trùng giá trị hàm.

Hàm đa thức liên tục trên cả trục số. Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác 0) của các hàm liên tục vẫn liên tục trên tập đang xét.

Tập một: song song trong không gian và mẫu ghép nhóm

Chương 4. Đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song

Trong không gian, một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, hoặc bởi một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm ấy, hoặc bởi hai đường thẳng cắt nhau, hoặc bởi hai đường thẳng song song.

Hai đường thẳng phân biệt song song khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi chúng không cắt nhau. Dấu hiệu hay dùng: nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng (P) và d không nằm trên (P), thì d song song với (P).

Hai mặt phẳng phân biệt song song khi chúng không cắt nhau. Dấu hiệu: mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau, lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (Q), thì (P) song song với (Q).

Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, giữ tỉ số độ dài trên cùng một đường hoặc trên hai đường song song, và giữ tính song song. Nếu phương chiếu không vuông góc và cũng không song song với mặt phẳng chứa đường tròn thì hình chiếu là một elip. Phép chiếu song song không giữ số đo góc nói chung.

Chương 5. Số đặc trưng của mẫu ghép nhóm

Khi số liệu được gom thành các lớp, em không còn từng giá trị gốc. Số trung bình cộng lấy giá trị đại diện là trung điểm lớp c_i, tần số n_i: x̄ = (tổng n_i × c_i) / n.

Mốt gần đúng của lớp có tần số lớn nhất, bề rộng h, đầu trái x₀, tần số lớp ấy n_m, tần số lớp kề trước n₁ và lớp kề sau n₂:

M_o = x₀ + h × (n_m − n₁) / (2n_m − n₁ − n₂).

Trung vị rơi vào lớp mà tần số cộng dồn lần đầu đạt ít nhất n/2. Nếu F là tần số cộng dồn của các lớp đứng trước lớp ấy thì

M_e = x₀ + h × (n/2 − F) / n_m.

Ví dụ năm lớp điểm, bề rộng 2:

Lớp	Tần số	Điểm giữa	Tích	Cộng dồn
[0; 2)	2	1	2	2
[2; 4)	3	3	9	5
[4; 6)	8	5	40	13
[6; 8)	5	7	35	18
[8; 10]	2	9	18	20

n = 20. Tổng tích = 2 + 9 + 40 + 35 + 18 = 104. Trung bình = 104/20 = 5,2. Lớp mốt là [4; 6). M_o = 4 + 2 × (8 − 3) / (16 − 3 − 5) = 4 + 10/8 = 5,25. n/2 = 10, lớp trung vị cũng là [4; 6) vì cộng dồn trước lớp này bằng 5 và trong lớp này mới vượt 10. M_e = 4 + 2 × (10 − 5) / 8 = 4 + 1,25 = 5,25.

Tập hai: mũ, lôgarit và đạo hàm

Chương 6. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Với a > 0, a khác 1: a^m × aⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn, a^m / aⁿ = a^m−n. Lôgarit cùng cơ số: log_a(bc) = log_a b + log_a c, log_a(bⁿ) = n log_a b, và đổi cơ số log_a b = log_c b / log_c a.

Kiểm tra: log₂ 8 = 3, log₂ 32 = 5, nên log₂(8 × 32) = 8. Vì 8 × 32 = 256 = 2⁸, kết quả khớp.

Hàm y = a^x luôn dương. Nếu a > 1, hàm đồng biến; nếu 0 < a < 1, hàm nghịch biến. Hàm y = log_a x chỉ xác định khi x > 0, và cùng chiều biến thiên với hàm mũ cùng cơ số.

Phương trình mũ và lôgarit thường đưa về cùng cơ số rồi cân bằng số mũ, hoặc đặt ẩn phụ. Điều kiện xác định phải viết trước khi biến đổi: biểu thức trong lôgarit dương, cơ số dương và khác 1.

Chương 7. Đạo hàm

Đạo hàm của f tại x₀ là giới hạn của [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h khi h tiến tới 0, nếu giới hạn đó tồn tại. Về hình học, f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀.

Quy tắc cần thuộc: (xⁿ)’ = n xⁿ⁻¹; (sin x)’ = cos x; (cos x)’ = −sin x; (e^x)’ = e^x; (ln x)’ = 1/x với x > 0. Cộng trừ giữ nguyên từng đạo hàm. (uv)’ = u’v + uv’. (u/v)’ = (u’v − uv’) / v². Đạo hàm hàm hợp: nếu y = f(u) và u là hàm của x thì y’ = f'(u) × u’.

Ví dụ: y = x³ − 3x + 1. y’ = 3x² − 3. Tại x = 2, y’ = 3 × 4 − 3 = 9 và y(2) = 8 − 6 + 1 = 3. Tiếp tuyến: Y − 3 = 9(x − 2), tức Y = 9x − 15. Thử một điểm: tại x = 2, Y = 18 − 15 = 3, trùng điểm tiếp xúc.

Tập hai: vuông góc trong không gian và xác suất

Chương 8. Quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc

Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°, kể cả khi chúng không cắt nhau và không đồng phẳng. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ấy. Hệ quả: nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó.

Trên hệ trục Oxyz, trục Oz có vectơ chỉ phương (0; 0; 1), vuông góc với cả Ox (1; 0; 0) và Oy (0; 1; 0). Hai đường này cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng Oxy, nên Oz vuông góc với mặt phẳng Oxy.

Hai mặt phẳng vuông góc khi mặt này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt kia. Trong hình lập phương, mặt bên vuông góc với mặt đáy vì cạnh bên vuông góc với đáy.

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng. Hình lập phương cạnh 4 thì khoảng cách từ đỉnh trên tới mặt đáy bằng 4, chính là cạnh bên.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng. Trong hình lập phương cạnh a, đường chéo không gian AC’ có hình chiếu trên đáy là AC. Tam giác ACC’ vuông tại C, AC = a√2, CC’ = a, AC’ = a√3. Gọi θ là góc giữa AC’ và đáy, tức góc tại A của tam giác ấy. tan θ = CC’ / AC = 1/√2 = √2/2. sin θ = 1/√3 và cos θ = √(2/3); bình phương hai số này cộng lại bằng 1/3 + 2/3 = 1.

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng chung một cạnh, được đo bằng góc phẳng của nó: góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với cạnh, mỗi đường nằm trên một mặt.

Chương 9. Biến cố giao, biến cố hợp

Biến cố giao A ∩ B là biến cố “cả A và B cùng xảy ra”. Nếu A và B độc lập thì P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Biến cố hợp A ∪ B là biến cố “A hoặc B hoặc cả hai”. Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Nếu A và B xung khắc, giao rỗng, số hạng trừ bằng 0.

Ví dụ số: P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. Hợp: 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7. Tích P(A) × P(B) = 0,2, đúng bằng giao đã cho, nên với bộ số này A và B độc lập.

Ví dụ tổ hợp: túi có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần lượt hai bi, không trả lại. Xác suất cả hai bi đỏ: (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10. Cách khác: số cách lấy 2 bi đỏ là C(3, 2) = 3, số cách lấy 2 bi trong 5 là C(5, 2) = 10, tỉ số 3/10. Hai cách khớp nhau.

Khi ôn cuối năm, em không học lệch mỗi đại số. Đề học kỳ thường trộn một câu lượng giác hoặc mũ–logarit, một câu đạo hàm hoặc giới hạn, một câu hình không gian và một câu thống kê hoặc xác suất. Với mỗi chương, em thuộc đúng một công thức gốc, một điều kiện áp dụng, và tự tính lại một ví dụ số như các ví dụ ở trên trước khi xem đáp số.

Câu hỏi thường gặp

Toán 11 Chân trời sáng tạo có những chương nào?

Chín chương: lượng giác, cấp số, giới hạn, quan hệ song song, mẫu ghép nhóm, hàm mũ và lôgarit, đạo hàm, quan hệ vuông góc, xác suất biến cố giao và hợp.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?

u_n = u_1 + (n − 1)d, với d là công sai. Tổng n số hạng đầu bằng n/2 nhân (u_1 + u_n).

Đạo hàm của x^3 − 3x + 1 tại x = 2 bằng bao nhiêu?

Đạo hàm là 3x^2 − 3. Thay x = 2 được 12 − 3 = 9. Tiếp tuyến tại đó là Y = 9x − 15.

Số trung bình của mẫu ghép nhóm tính ra sao?

Lấy trung điểm mỗi lớp nhân với tần số lớp, cộng lại rồi chia cho tổng tần số. Ở ví dụ năm lớp trong bài, trung bình bằng 5,2.

Quy tắc cộng xác suất viết thế nào?

P(A hợp B) = P(A) + P(B) − P(A giao B). Nếu hai biến cố độc lập thì P(A giao B) = P(A) nhân P(B).

Phương trình sin x = 1/2 có nghiệm thế nào?

x = (−1) mũ k nhân π/6, cộng kπ, với k nguyên. Hai nghiệm đại diện trong một vòng là π/6 và 5π/6.

Bài học liên quan

• Giao tuyến (BCD) và (MNP) là đường thẳng PI
• Gieo xúc xắc 4 lần: xác suất mặt 3 chấm đúng một lần
• Giao tuyến của mặt SAC và SBD trong hình chóp S.ABCD là SO
• Tập xác định của hàm số y = căn(1 − cos 2x) là ℝ
• Toán 11 Chân trời sáng tạo: giải SGK Tập 1, Tập 2 đủ 9 chương
• Giải phương trình sin5x+2cos^2x=1 đầy đủ hai họ nghiệm