Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị
Bài 1 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải:
a) xác định khi sin3x ≠ 0, tức là 3x ≠ kπ, k ∈ ℤ hay
Vậy tập xác định của hàm số là
b) xác định khi , hay .
Vậy tập xác định của hàm số là .
c) xác định khi hay .
Vậy tập xác định của hàm số là .
d) Vì ‒1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Suy ra cos2 ≠ 3 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ.
Vậy tập xác định của hàm số là ℝ.
Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có
Vậy hàm số là hàm số chẵn.
b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có
Vậy hàm số là hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có
Vậy hàm số là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có .
Vậy hàm số là hàm số lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Đặt . Xét hai giá trị và - thuộc D, ta có:
và
Do và nên không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là không thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D vì mà .
Vậy hàm số không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Bài 3 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a)
b)
c) y = 2tanx + 3;
d)
Lời giải:
a)
TXĐ: D = ℝ.
Ta có
Vậy tập giá trị của hàm số là [3; 7].
b)
TXĐ: D = ℝ.
Ta có:
Vậy tập giá trị của hàm số là [−1; 0].
c) y = 2tanx + 3
TXĐ:
Ta có tập giá trị của tanx là ℝ nên tập giá trị của hàm số cũng là ℝ.
d)
Ta có nên nên hàm số xác định trên ℝ
Khi đó
Suy ra
Vậy tập giá trị của hàm số là .
Bài 4 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = sinx với x ∈ [‒2π; 2π]
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của sao cho
c) Tìm các giá trị của sao cho
d) Tìm m để có 4 giá trị α ∈ [‒2π; 2π] phân biệt thỏa mãn sinα = m.
Lời giải:
a) Ta có bảng giá trị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] như sau:
Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; sinx) với x ∈ [‒π; π] và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π].
Vì hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π nên để vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π], ta vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [‒π; π], sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn [‒2π; ‒π] và [π; 2π].
Ta có đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] như sau:
b) Đặt .
Vì nên suy ra ‒2π ≤ t ≤ 2π.
Ta có đồ thị hàm số y = sint trên [‒2π; 2π] như sau:
Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:
sint = ‒1 khi và chỉ khi hoặc .
Hay hoặc
Do đó hoặc .
c) Đặt .
Vì nên suy ra
Do đó ‒2π ≤ t ≤ 2π.
Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:
sint > 0 khi và chỉ khi ‒2π < t < ‒π hoặc 0 < t < π.
Suy ra hoặc
Do đó hoặc .
d) Có bốn giá trị α∈ [‒2π; 2π] thoả mãn sinα = m khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = sinα tại bốn điểm. Từ đồ thị hàm số ở trên, ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi ‒1 < m < 0 hoặc 0 < m < 1.
Bài 5 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = tanx với
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của sao cho
c) Tìm các giá trị của sao cho
Lời giải:
a) Ta có bảng giá trị của hàm số y = tanx trên đoạn như sau:
Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; tanx) với và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = tanx trên khoảng .
Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π, nên để vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên ta vẽ đồ thị của hàm số trên khoảng sau đó lặp lại đồ thị trên khoảng này trên
Ta có đồ thị của hàm số với như sau:
b) Ta có khi và chỉ khi .
Đặt . Vì nên , hay .
Hàm số y = tant xác định khi .
Kết hợp với điều kiện , suy ra .
Đồ thị hàm số y = tant với như sau:
Từ đồ thị hàm số trên, ta có:
khi và chỉ khi hoặc .
Hay hoặc
Do đó hoặc .
c) Đặt . Vì nên , hay .
Tương tự câu b, từ đồ thị hàm số trên, ta có:
khi và chỉ khi hoặc .
Hay hoặc
Do đó hoặc .
Bài 6 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn.
a)
b) y = (cos2x ‒ 1)sinx.
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {π + k2π| k ∈ ℤ}.
Với mọi x ∈ D, ta có:
x ± 2π ∈ D và = =
Do đó hàm số là hàm số tuần hoàn.
b) Hàm số có tập xác định là ℝ.
Với mọi x ∈ ℝ, ta có: x ± 2π ∈ ℝ và
[cos2(x + 2π) – 1]sin(x + 2π) = [cos(2x + 4π) – 1]sinx = (cos2x – 1)sinx.
Do đó hàm số y = (cos2x ‒ 1)sinx là hàm số tuần hoàn.
a) Chứng minh p(t) là một hàm số tuần hoàn.
b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương.
Lời giải:
a) Hàm số p(t) có tập xác định là ℝ. Với mọi t ∈ ℝ, ta có và
= =
Do đó p(t) là một hàm số tuần hoàn.
b) Vì ‒1 ≤ cos150πt ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ nên 105 ≤ p(t) ≤ 135 với mọi t ∈ ℝ.
Vậy chỉ số huyết áp của người đó là 135/105.
Lời giải:
Trong 4 giây đầu, ta có 0 ≤ t ≤ 4, suy ra .
Đặt , khi đó x ∈ [0; 2π]. Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; 2π] như sau:
Ta có: khi hay
Dựa vào đồ thị trên đoạn [0; 2π], ta có khi và chỉ khi
Hay , do đó .
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Các công thức lượng giác
Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị
Bài 5: Phương trình lượng giác
Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị
1. Hàm số lượng giác
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là .
Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thì và . Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu thì và . Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
b, Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T 0 sao cho với mọi ta có và
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
* Nhận xét:
Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2.
Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì .
3. Đồ thị của các hàm số lượng giác
a, Hàm số y = sinx
Tập xác định là .
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2.
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.
b, Hàm số y = cosx
Tập xác định là .
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2.
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
c, Hàm số y = tanx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
d, Hàm số y = cotx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.