Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hàm số lượng giác và đồ thị

2.2 K

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Giải SBT Toán 11 trang 26

Bài 1 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y=2sin3x;

b) y=tanx2π6;

c) y=cot2xπ4;

d) y=13cos2x.

Lời giải:

a) y=2sin3x xác định khi sin3x ≠ 0, tức là 3x ≠ kπ, k  ℤ hay xkπ3,k

Vậy tập xác định của hàm số là kπ3k

b) y=tanx2π6 xác định khi x2π6π2+kπ,k, hay x4π3+k2π,k.

Vậy tập xác định của hàm số là 4π3+k2πk.

c) y=cot2xπ4 xác định khi 2xπ4kπ,k hay xπ8+kπ2,k.

Vậy tập xác định của hàm số là π8+kπ2k.

d) Vì ‒1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 cos2x ≤ 1 với mọi x  ℝ. Suy ra cos2 ≠ 3 với mọi  ℝ.

Do đó hàm số y=13cos2x xác định với mọi  ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là .

Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y=sin3xx;

b) y=5x2+cosx2;

c) y=x1+cos2x;

d) y=cotx2sinx;

e) y=x+tanx;

f) y=tanx+π4.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số y=sin3xx là D=\0  thoả mãn điều kiện ‒ D với mọi  D.

Ta có sin3xx=sin3xx=sin3xx=sin3xx.

Vậy hàm số y=sin3xx là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số y=5x2+cosx2 là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒ D với mọi  D.

Ta có 5(x)2+cosx2=5x2+cosx2.

Vậy hàm số y=5x2+cosx2 là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y=x1+cos2x là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒ D với mọi  D.

Ta có x1+cos2x=x1+cos2x.

Vậy hàm số y=x1+cos2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y=cotx2sinx là D=\kπk thoả mãn điều kiện ‒ D với mọi  D.

Ta có cotx2sinx=cotx+2sinx=cotx2sinx.

Vậy hàm số y=cotx2sinx là hàm số lẻ.

e) Tập xác định của hàm số y=x+tanx là D=\π2+kπk thoả mãn điều kiện ‒ D với mọi  D.

Đặt fx=x+tanx. Xét hai giá trị π4 và -π4 thuộc D, ta có:

fπ4=π4+tanπ4=π4+1 và fπ4=π4+tanπ4=π41. 

Do fπ4fπ4 và fπ4fπ4 nên y=x+tanx không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

g) Tập xác định của hàm số y=x+tanx là D=\π4+kπk không thoả mãn điều kiện ‒ D với mọi  D vì π4D mà π4D.

Vậy hàm số y=tanx+π4 không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Bài 3 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y=52cosπ3x;

b) y=sin3x1;

c) y = 2tanx + 3;

d) y=1sinx+2.

Lời giải:

a) y=52cosπ3x

TXĐ: D = .

Ta có 1cosπ3x1

22cosπ3x2

752cosπ3x3

Vậy tập giá trị của hàm số là [3; 7].

b) y=sin3x1

TXĐ: D .

Ta có: 0sin3x1

1sin3x10

Vậy tập giá trị của hàm số là [1; 0].

c) y = 2tanx + 3

TXĐ: D=\π2+kπ|k.

Ta có tập giá trị của tanx là  nên tập giá trị của hàm số cũng là .

d) y=1sinx+2

Ta có 1sinx1 nên 21sinx0 nên hàm số xác định trên 

Khi đó 01sinx2

Suy ra 21sinx+22+2

Vậy tập giá trị của hàm số là 2;2+2 .

Giải SBT Toán 11 trang 27

Bài 4 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1Cho hàm số y = sinx với x ∈ [‒2π; 2π]

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của x5π3;7π3 sao cho sinπ3x=1.

c) Tìm các giá trị của x9π8;7π8 sao cho sin2x+π4>0.

d) Tìm m để có 4 giá trị α  [‒2π; 2π] phân biệt thỏa mãn sinα = m.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] như sau:

Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hàm số lượng giác và đồ thị (ảnh 1)

Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; sinx) với x [‒π; π] và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π].

Vì hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π nên để vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn  [‒2π; 2π], ta vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [‒π; π], sau đó lặp lại đồ thị trên đoạn này trên từng đoạn [2π; ‒π] và [π; 2π].

Ta có đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] như sau:

Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hàm số lượng giác và đồ thị (ảnh 2)

b) Đặt t=π3x

 5π3x7π3 nên π35π3π3xπ37π3, suy ra ‒2π ≤ t ≤ 2π.

Ta có đồ thị hàm số y = sint trên [2π; 2π] như sau:

Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hàm số lượng giác và đồ thị (ảnh 3)

Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:

sint = ‒1 khi và chỉ khi t=π2 hoặc t=3π2.

Hay π3x=π2  hoặc π3x=3π2

Do đó x=5π6 hoặc x=7π6.

c) Đặt t=2x+π4.

Vì 9π8x7π8 nên 9π42x7π4, suy ra 9π4+π42x+π47π4+π4

Do đó ‒2π ≤ t ≤ 2π.

Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:

sint > 0 khi và chỉ khi ‒2π < t < ‒π hoặc 0 < t < π.

Suy ra 2π2x+π4π hoặc 02x+π4π

Do đó 9π8<x<5π8 hoặc π8<x<3π8.

d) Có bốn giá trị α [‒2π; 2π] thoả mãn sinα = m khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = sinα tại bốn điểm. Từ đồ thị hàm số ở trên, ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi ‒1 < m < 0 hoặc 0 < m < 1.

Bài 5 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1Cho hàm số y = tanx với x3π2;π2π2;π2.

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của x7π4;π4 sao cho 3tanx+π4+1=0.

c) Tìm các giá trị của x5π6;π6 sao cho tan2x+π633.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số y = tanx trên đoạn π3;π3 như sau:

Cho hàm số y = tanx trang 27 SBT Toán 11 Tập 1

Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; tanx) với xπ2;π2 và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = tanx trên khoảng π2;π2.

Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π, nên để vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên 3π2;π2π2;π2, ta vẽ đồ thị của hàm số trên khoảng π2;π2, sau đó lặp lại đồ thị trên khoảng này trên 3π2;π2.

Ta có đồ thị của hàm số y=tanx với x3π2;π2π2;π2 như sau:

Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hàm số lượng giác và đồ thị (ảnh 5)

b) Ta có 3tanx+π4+1=0 khi và chỉ khi tanx+π4=33.

Đặt t=x+π4. Vì 7π4xπ4 nên 3π2tπ2, hay t3π2;π2.

Hàm số y = tant xác định khi tπ2+kπ,k.

Kết hợp với điều kiện t3π2;π2, suy ra t3π2;π2π2;π2.

Đồ thị hàm số y = tant với t3π2;π2π2;π2 như sau:

Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hàm số lượng giác và đồ thị (ảnh 4)

Từ đồ thị hàm số trên, ta có:

tant=33 khi và chỉ khi t=7π6 hoặc t=π6.

Hay x+π4=7π6 hoặc x+π4=π6

Do đó x=17π12 hoặc x=5π12.

c) Đặt t=2x+π6. Vì 5π6xπ6 nên 3π2tπ2, hay t3π2;π2.

Tương tự câu b, từ đồ thị hàm số trên, ta có:

tant33 khi và chỉ khi 7π6t<π2 hoặc π6t<π2.

Hay 7π62x+π6<π2 hoặc π62x+π6<π2

Do đó 2π3x<π3 hoặc π6x<π6.

Bài 6 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn.

a) y=sinx3tanx2;

b) y = (cos2x ‒ 1)sinx.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {π + k2π| k ∈ ℤ}.

Với mọi x ∈ D, ta có:

x ± 2π ∈ D và sinx+2π3tanx+2π2 sinx3tanx2+π = sinx3tanx2.

Do đó hàm số y=sinx3tanx2 là hàm số tuần hoàn.

b) Hàm số y=cos2x1sinx có tập xác định là ℝ.

Với mọi x ∈ ℝ, ta có: x ± 2π ∈ ℝ và

[cos2(x + 2π) – 1]sin(x + 2π) = [cos(2x + 4π) – 1]sinx = (cos2x – 1)sinx.

Do đó hàm số y = (cos2x ‒ 1)sinx là hàm số tuần hoàn.

Bài 7 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức: p(t) = 120 + 15cos150πt, trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimets thủy ngân) và thời gian t tính theo đơn vị phút.

a) Chứng minh p(t) là một hàm số tuần hoàn.

b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương.

Lời giải:

a) Hàm số p(t) có tập xác định là ℝ. Với mọi t ∈ ℝ, ta có t±175 
pt+175=120+15cos150πt+175

               = =120+15cos150πt+2π 120+15cos150πt=pt

Do đó p(t) là một hàm số tuần hoàn.

b) Vì ‒1 ≤ cos150πt ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ nên 105 ≤ p(t) ≤ 135 với mọi t ∈ ℝ.

Vậy chỉ số huyết áp của người đó là 135/105.

Bài 8 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình s=3sinπ2t với s tính bằng cm và t tình bằng giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 4 giây đầu thì s32.

Lời giải:

Trong 4 giây đầu, ta có 0 ≤ t ≤ 4, suy ra 0π2t2π.

Đặt x=π2t, khi đó x ∈ [0; 2π]. Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; 2π] như sau:

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình trang 27 SBT Toán 11 Tập 1

Ta có: s32 khi 3sinx32 hay sinx12

Dựa vào đồ thị trên đoạn [0; 2π], ta có sinx12 khi và chỉ khi 7π6x11π6

Hay 7π6π2t11π6, do đó 73t113.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số lượng giác

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là R.

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là R.

Hàm số cho bằng công thức y=sinαcosαđược gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là R{π2+kπ|kZ}.

Hàm số cho bằng công thức y=cosαsinα được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là R{kπ|kZ}.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu xDthì xD và f(x)=f(x). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu xDthì xD và f(x)=f(x). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T  0 sao cho với mọi xDta có x±TD và f(x+T)=f(x)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2π.

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì π.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

 a, Hàm số y =  sinx

Tập xác định là R.

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2π.

Đồng biến trên mỗi khoảng (π2+k2π;π2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π2+k2π;3π2+k2π).

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

b, Hàm số y =  cosx

Tập xác định là R.

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2π.

Đồng biến trên mỗi khoảng (π+k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π;π+k2π).

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

c, Hàm số y =  tanx

Tập xác định là R{π2+kπ|kZ}.

Tập giá trị là R.

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì π.

Đồng biến trên mỗi khoảng (π2+kπ;π2+kπ)kZ.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

d, Hàm số y =  cotx

Tập xác định là R{kπ|kZ}.

Tập giá trị là R.

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì π.

Đồng biến trên mỗi khoảng (kπ;π+kπ)kZ.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đánh giá

0

0 đánh giá